泰勒公式的講解PPT課件

1、一、高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), ),(yxfxzx 若這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z = f ( x , y )的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):),(yxfyzy 首頁第1頁/共58頁)(xz)(yzx )(xzy yxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxy類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).z = f (x , y) 的三階偏導(dǎo)數(shù)共有八 ( 23 ) 種情形：),()(33322yxfxzxzxx ),()(22322yxfyxzxzyyx x xx xf (x,y);f (x,y); 2 22 2

2、z zx x x x 2 2y yy y2 2zzzz()f (x,y)()f (x,y)yyyyy y 首頁第2頁/共58頁又如 z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , ) (yyxznn111nnxz二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).再關(guān)于 y 的一階偏導(dǎo)數(shù)為首頁第3頁/共58頁yxe22例1 求函數(shù) yxez2.23xyz解 xz22xz) ( 223xyzxxyzyz22 yzyxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二階偏導(dǎo)數(shù)及 2 2z zx yx y 首頁2 2z zy xy x 第4頁/共58頁注意 從上面兩個(gè)例子看到，有但這一結(jié)論

3、并不總成立.2222zzzz, ,x yy xx yy x 首頁.arctan2的所有二階偏導(dǎo)數(shù)求函數(shù)例xyz 第5頁/共58頁0,)(4222224224yxyxyyxxx0,)(4222224224yxyxyyxxyyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如),(yxfxxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yxy0y0y ylimlimy y 1 1 xyxyf (0,0)f (0,0) 首頁第6頁/共58頁則則連連續(xù)續(xù)都都在在點(diǎn)

4、點(diǎn)和和若若,),()()(00yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx 定理17.7例如 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明 本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí), 有而初等今后除特別指出外，都假設(shè)相應(yīng)的混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從而混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān).首頁第7

5、頁/共58頁例6 證明函數(shù) 222,1zyxrru0222222zuyuxu證 xu利用對(duì)稱性 , 有222222zuyuxu滿足拉普拉斯方程xrrxrrdud 21321rxrxr 31rxrrx4352223)(33rzyxr02222235235u13 yu13 y, ,yrryrr 2222235235u13 zu13 zzrrzrr 2 2353513 x13 xrrrr 2 22 2u ux x u u首頁第8頁/共58頁注意 多元抽象復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到,下列幾個(gè)例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).首頁第9頁/共58頁解解由由復(fù)

6、復(fù)合合函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式),(vufz 于于是是xvvfxuufxz 1fxz 得),(1),(21yxxfyyxxf 1 2f y1 ,yxvxu 設(shè)設(shè)首頁.),(3222yxzxzyxxfz，求設(shè)例第10頁/共58頁),(1(),(2122yxxfyxyxxfxxz uf 1 111f11f xu vf 1xv (1y )22xvvfxuuf 1(121 fy122fy 2221fy yxvxu ,yf112 )122yf 121212121111( ,)( ,)( ,)( ,) zxxzxxfff xf xfff xf xxyyyyxyyyy首頁第11頁/共58頁),(1(),(2

7、12yxxfyyyxxfyyxz yvvfyuuf 1111f )1(yy )(1y 0 12f 2yx 221yf (1y 222231221fyfyxfyx 21f0 22f )2yx yxvxu , 2fyvvfyuuf 22首頁第12頁/共58頁),(1zyxzyxf 例 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.2zxw 解 ,zyxvzyxu xw ),(vufw 1f 2f ),(2zyxzyxfzy )()(212fzyzfzzxw 11f 11f 12f y zy 121 fyxf 2212)(fzxy 222fzyx 2fy 1 zy 1 yx 2f首頁第13

8、頁/共58頁二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式10 DyxPyxP ),(),(222111 凸區(qū)域 若區(qū)域 D 上任意兩點(diǎn)的連線都含于 D若 D 為區(qū)域，則對(duì)任何 恒有DyyyxxxP )(),(,(121121 凸區(qū)域非凸區(qū)域1P2P 內(nèi)，則稱 D 為凸區(qū)域. 1P2P首頁第14頁/共58頁1 17 7. .8 8定定理理（中中值值定定理理）內(nèi)內(nèi)任任意意二二點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)可可微微，則則對(duì)對(duì)連連續(xù)續(xù)，在在DDint，存存在在某某，)10(int),(),( DkbhaQbaP使使得得kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),(),(),( ),(baP),(kbhaQ ),(

9、kbha 一元函數(shù)中值定理回顧上上在在凸凸開開域域設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)Df首頁第15頁/共58頁),()(tkbthaft 證令由定理的條件知 (t) 在 0, 1 上連續(xù)，在 ( 0, 1 ) 內(nèi)可微. )()0()1( 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則kkbhafhkbhafyx),(),()( )0()1(),(),( bafkbhaf于是由于 D 為凸區(qū)域，所以Dkbha ),( 從而有),(),(bafkbhaf PQ 于是根據(jù)一元函數(shù)中值定理，存在 使得kkbhafhkbhafyx),(),( 首頁第16頁/共58頁.0上為常值函數(shù)上為常值函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域，則函數(shù)，則函數(shù)內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，且內(nèi)存在

10、偏導(dǎo)數(shù)，且在區(qū)域在區(qū)域若函數(shù)若函數(shù)推論推論DfffDfyx B A 首頁第17頁/共58頁二、二元函數(shù)的泰勒公式二、二元函數(shù)的泰勒公式),(),(),(000000yxfykxhyxfhyhxf 內(nèi)有直到內(nèi)有直到1 n階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , ),(00hyhx 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn), ,則有則有 定理定理 設(shè)設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn) P0 0),(00yx的某鄰域的某鄰域 )(0PUnnRyxfykxhnyxfykxh ),(!1),(! 2100002)10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn一元函數(shù)泰勒公式回顧首頁第18頁/共58頁其中),()(0

11、0yxfykxh ),()(002yxfykxh ),()(00yxfykxhm),(),(0000yxyfkyxxfh 表示表示),(),(2),(0022200200222yxyfkyxyxfkhyxxfh 一般地, 表示表示).,(000yxyxfkhimimimimiimC 首頁第19頁/共58頁 上上述述公式稱為二元函數(shù)公式稱為二元函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的的n階階泰勒公式泰勒公式. . 當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,公式公式)1(成為成為 ),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 這正是二元函數(shù)的拉格朗日中值公式. Rn 稱為其拉格朗

12、日型余項(xiàng) .首頁第20頁/共58頁證 令其中 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf由定理的假設(shè)， 在 0, 1 在滿足一元函數(shù)泰勒定理?xiàng)l件，于是有)(t) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10()0()0()0()0()(!1!21nn 下面計(jì)算 , 2, 1),0()( nn 0000(t)f(xth,ytk) (0t1),(t)f(xth,ytk) (0t1),首頁第21頁/共58頁利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx2 2xx00 xx00(t)h f (xht, ykt)(t)h f (xht

13、, ykt) ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy0000(t)f(xth,ytk) (0t1),(t)f(xth,ytk) (0t1),0000 xyxy(0)(hk)f(x , y )(0)(hk)f(x , y ) 2 20000 xyxy(0)(hk) f(x , y )(0)(hk) f(x , y ) 首頁第22頁/共58頁),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn將上述導(dǎo)數(shù)代入公式： )0()0()0()0()(!1!21nn 即得二元函數(shù)泰勒公式. (m)m(

14、m)m0000 xyxy(0)(hk) f(x , y )(0)(hk) f(x , y ) 首頁第23頁/共58頁)(nnoR 若在泰勒公式中只要求余項(xiàng) 內(nèi)有直到內(nèi)有直到 n 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,便有便有 則僅需則僅需),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn) P0 0),(00yx的某鄰域的某鄰域 )(0PU)(),(!1),(),(1000000nnppoyxfykxhpyxfhyhxf 首頁第24頁/共58頁)0 , 0()0 , 0(),(fyyxxfyxf )10( )0 , 0(!1)0 , 0(! 212fyyxxnfyyxxn ),()!1(11yxfyyxxnn 首頁 在泰勒公

15、式中 ,如果取0, 000yx,則稱為n階麥克勞林公式. 第25頁/共58頁解解,ln),(xxyxfyy ,)1(),(2 yxxxyyyxf,ln),(11xyxxyxfyyxy ,)(ln),(2xxyxfyyy 帶入型余項(xiàng)的泰勒公式中：, 4)4 , 1(,),(1 xyxfyxyxf, 0)4 , 1( yf,12)4 , 1( xxf, 1)4 , 1( xyf, 0)4 , 1( yyf首頁().08. 141),(496. 3它計(jì)算（到二階為止），并用）的泰勒公式，在點(diǎn)（求例yxyxf第26頁/共58頁),(),(00yxfyxfxy )(),()()(!12210000 oy

16、xfyyyxxxppp ),()(),()(),(00000000yxfyyyxfxxyxfyx ),()(2),()(!2100000020yxfyyxxyxfxxxyxx )(),()(20020 oyxfyyyy 1)()4)(1()1(6)1(4122 oyxxx )1(4 x)()4)(1(2)1(122122 oyxx 首頁第27頁/共58頁)()4)(1()1(6)1(4122 oyxxxxy )4)(1()1(6)1(41)08. 1(296. 3 yxxxxy即令 x = 1.08 , y = 3.96 , 則有x -1= 0.08 , y -1= -0.04 , 1 08.

17、 04208. 06 04. 008. 0 3552. 1 把這個(gè)值與前面用全微分近似公式計(jì)算的結(jié)果相比較，這個(gè)結(jié)果更接近于真值 1.356307 .首頁第28頁/共58頁三三 極值問題極值問題定義 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).)()(0PfPf )()(0PfPf 或),(000yxPf 在點(diǎn)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有 注意：函數(shù)的極值點(diǎn)只可能是定義域的內(nèi)點(diǎn).首頁第29頁/共58頁xyz例如 在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無極值.2243yxz22yxz yxz xyzxyz首頁第30頁/

18、共58頁若例如,定理17.10 (必要條件) 函數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù),證取得極值 ,取得極值，取得極值， 穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn) ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 則稱 ( x0 , y0 ) 為 f 的穩(wěn)定點(diǎn)或駐點(diǎn) . 所以所以x00y00 x00y00f(x ,y )0 , f(x ,y )0f(x ,y )0 , f(x ,y )0 x00 x00f(x ,y )0 ,f(x ,y )0 , y00y00f(x ,y )0

19、.f(x ,y )0 . x00y00 x00y00f(x ,y )0 , f(x ,y )0f(x ,y )0 , f(x ,y )0首頁第31頁/共58頁在原點(diǎn) (0,0) 沒有偏導(dǎo)數(shù)，但它在原點(diǎn)有極小值;22yxz 所以，函數(shù)的極值只可能在穩(wěn)定點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取得.首頁第32頁/共58頁時(shí), 具有極值 定理17.11 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 令則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng) 3) 當(dāng)時(shí), 沒有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)),(yxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfA

20、yyyxxx),(00yx在點(diǎn)在點(diǎn)且2 2A AC C B B0 0 2 2ACB0ACB02 2ACB0ACB0首頁第33頁/共58頁證 由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx則有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00首頁第34頁/共58頁其中 , , 是當(dāng)h 0 , k 0 時(shí)的無窮小量 ,于是z)(22kh ,很小時(shí)因此當(dāng)kh(1)

21、當(dāng) ACB2 0 時(shí), 必有 A0 , 且 A 與C 同號(hào), )()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可見 ,0),(,0khQA時(shí)當(dāng)從而z0 , 因此),(yxf;),(00有極小值在點(diǎn)yx)(2o22221kkhh22221 12 2Ah2BhkCk Ah2BhkCk 1 12 2Q(h,k)Q(h,k) 的正負(fù)號(hào)可由 確定。z z Q(h ,k)Q(h ,k)首頁第35頁/共58頁,0),(,0khQA時(shí)當(dāng)從而 z0,在點(diǎn)因此),(yxf;),(00有極大值yx(2) 當(dāng) ACB2 0 時(shí), 若A , C不全為零, 無妨設(shè) A0, 則

22、 )(),(221kkBhAkhQA),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直線當(dāng)時(shí), 有,0kBhAAkhQ與故),(異號(hào);),(yx當(dāng),),(0000時(shí)接近沿直線yxyy,0k有AkhQ與故),(同號(hào).可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點(diǎn)因此),(yxf;),(00無極值yxxy),(00yxo2 2(ACB )(ACB ) 首頁第36頁/共58頁+xy),(00yxo若 AC 0 , 則必有 B0 ,不妨設(shè) B0 , 此時(shí) 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx對(duì)點(diǎn),同號(hào)時(shí)當(dāng)kh,0),(khQ,異號(hào)時(shí)當(dāng)kh,0),(khQ可見 z 在 (x

23、0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點(diǎn)因此),(yxf;),(00無極值yxkhB2,0z從而,0z從而(3) 當(dāng)ACB2 0 時(shí), 若 A0, 則21)(),(kBhAkhQA若 A0 , 則 B0 ,2),(kCkhQ可能),(khQ為零或非零首頁第37頁/共58頁此時(shí)因此 ,)(,0),(2確定的正負(fù)號(hào)由時(shí)因?yàn)閛zkhQ不能斷定 (x0 , y0) 是否為極值點(diǎn) . 2 21 12 2zQ(h,k)o()zQ(h,k)o()首頁第38頁/共58頁求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟極值的一般步驟： 第一步第一步 解方程組解方程組 , 0),( yxfx0),( yxfy求出實(shí)數(shù)解，得

24、求出實(shí)數(shù)解，得穩(wěn)定穩(wěn)定點(diǎn)點(diǎn). . 第二步第二步 對(duì)于每一個(gè)對(duì)于每一個(gè)穩(wěn)定穩(wěn)定點(diǎn)點(diǎn)),(00yx， 第三步第三步 定出定出2BAC 的符號(hào)，的符號(hào)，從而確從而確定定該該 并求出偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)是否是極值是否是極值點(diǎn)點(diǎn). . 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值：),(00yxfAxx ),(00yxfBxy ),(00yxfCyy 首頁第39頁/共58頁例求函數(shù)解 第一步 求穩(wěn)定點(diǎn)得穩(wěn)定點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別. 在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù) ,66),

25、( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12)0 , 1( xxfA5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233,0)0 , 1( xyfB. 6)0 , 1( yyfC 2BAC 2)0 , 1()0 , 1()0 , 1(xyyyxxfff. 0612 故 f 在( 1, 0 ) 有極值, 又因首頁第40頁/共58頁在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA

26、)2, 1 (f故 f 在( -3, 2 ) 有極值,又因2 2ACB12( 6)0 ,ACB12( 6)0 , 2 2ACB1260 ,ACB1260 , 2 2ACB12( 6)0 ,ACB12( 6)0 , A0 ,A0 , 首頁第41頁/共58頁例 討論函數(shù) 及在點(diǎn) ( 0,0 ) 是否取得極值.解 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 (0,0) 不是因此,022時(shí)當(dāng) yx為極小值.正負(fù)033yxz222)(yxz并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz的極值點(diǎn).33yxz222222z(x

27、y )z(xy )(0,0)(0,0)z0z0首頁第42頁/共58頁例例8 8 求 在原點(diǎn)是否有極值。 2222f(x,y)(yx )(y2x )f(x,y)(yx )(y2x )2 22 2f f( (x x, ,y y) )x x5 5y y6 6x x1 10 0y y6 6. . 例例 求求 的的極極值值6 62 2f f( (x x, ,y y) )x xx xy y. .7 7 求求是是否否有有極極值值例例首頁第43頁/共58頁最大值最小值（簡稱最值）問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 穩(wěn)定點(diǎn)、偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在

28、, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值(大) (大) 依據(jù)首頁第44頁/共58頁例解 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y 米 ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2 米3 的有蓋根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,長方體水箱，問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸(2Ayxyxy2)yxx2()yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.時(shí),才能使用料最省?米 ,2 2xyxy3333(2 ,2 )(2 ,2 )3 32 233333 32 222222

29、2 首頁第45頁/共58頁例 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,把它折起來做成解 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 , Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面首頁第46頁/共58頁cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 故此點(diǎn)即為所求.,0sin0 x0cos212xx0)sin(coscos2cos2422

30、xx(cm)8,603x2222A24x sin2x sinx cossinA24x sin2x sinx cossin 2 2( D : 0 x12 , 0)( D : 0 x12 , 0) 首頁第47頁/共58頁問題的提出: 已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系 yf (x) .,0(),(kyxkkoyx需要解決兩個(gè)問題: 1. 確定近似函數(shù)的類型 根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律 根據(jù)問題的實(shí)際背景2. 確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn) )(iixfy 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,不能要求), 1n最小二乘法 首頁第48頁/共58頁oyx 偏差)(iiixfyr有正有負(fù), 值都較小且便于計(jì)算, 可由偏差平方和最小 min)

31、(20iinixfy為使所有偏差的絕對(duì)來確定近似函數(shù) f (x) .最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線上, 通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法, 找出的函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗(yàn)公式 . ), 1 ,0(),(nkyxkk, 它們大體 首頁第49頁/共58頁特別, 當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),問題為確定 a, b 令),(baMaM0)(20kknkkxbxaybM0)(20bxayknkk滿足:使oyx得()axnkk02nkkkyx0bn) 1( nkky0解此線性方程組 即得 a, byaxbyaxbn n2 2kkkkk0k0(yaxb)min(yaxb)min ( ()

32、 )n nk kk0k0 xbxb ( () )n nk kk0k0 xaxa 首頁第50頁/共58頁例為了測(cè)定刀具的磨損速度, 每隔 1 小時(shí)測(cè)一次刀具的厚度, 得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:找出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式. 解 通過在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們大致在一條直線上,列表計(jì)算:故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為oyt27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7(mm)iy(h)itiyaxbyaxb首頁第51頁/共58頁得法方程組a140b28a285 .2088 b717解得 ,125.27,3036. 0ba故所求經(jīng)驗(yàn)公式為it0i2itiyiity