高中數(shù)學圓錐曲線解題技巧方法總結及高考試題

1、圓錐曲線1. 圓錐曲線的兩定義 ：第一定義 中要 重視“括號” 內的限制條件 ：橢圓中 ，與兩個定點 F 1 ， F 2 的距離的和等于常數(shù) 2a ，且此 常數(shù) 2a 一定要大于 F1 F2 ，當常數(shù)等于 F1F2 時，軌跡是線段 F 1 F 2 ，當常數(shù)小于 F1 F2 時，無軌跡； 雙曲線中，與兩定點F 1 ， F 2 的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a ，且此常數(shù)2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ，定義中的 “絕對值”與 2a |F1 F 2 | 不可忽視 。若 2a |F1F2 | ，則軌跡是以 F1 ，F(xiàn)2為端點的兩條射線， 若 2a |F 1 F 2 | ，則軌跡不存在。 若去

2、掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如 方 程( x 6)2y2(x 6)2y28表示的形的面積最大值為1 時，則橢圓長軸的最小值為_（答：2 2 ）x2y2（2）雙曲線 （以a21 （ a 0, b 0 ）為b2例）： 范圍 ： xa 或 xa, y R ； 焦點：兩個焦點 ( c,0) ； 對稱性 ：兩條對稱軸 x 0, y 0 ，一個對稱中心（0,0 ），兩個頂點 ( a,0) ，其中實軸長為2 a ，虛軸長為2 b ，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為x2 y2k, k0 ； 準線 ：兩條準線 xa2； cc離 心 率 ： ee 1 ， 等 軸 雙 曲

3、線，雙曲線ae2 ， e 越小，開口越小，e 越大，開口越大；于雙曲線 Sb2（1）短軸長為5 ，。 如tan2練習：點 P 是雙曲線上 x 2y 21 上一點， F1, F2 為12雙曲線的兩個焦點， 且 PF1PF2=24，求PF1 F2 的周長。8、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質 ：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切； （2）設 AB為焦點弦， M 為準線與 x 軸的交點，則 AMF BMF；（3）設 AB為焦點弦， A、 B 在準線上的射影分別為 A1 ，B1 ，若 P 為 A1 B1 的中點，則 PAPB；（ 4）若 AO的延長線交準線于 C，則 BC平行于 x 軸，反

4、之，若過 B 點平行于 x 軸的直線交準線于 C 點，則 A， O， C三點共線。曲線是 _（答：雙曲線的左支）2. 圓錐曲線的標準方程 （標準方程是指中心 （頂點） 在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程） ： 兩條漸近線 ： yb x 。9、弦長公式 ：若直線 y kx b 與圓錐曲線相交于兩（ 3 ）拋物線 （以 y2a點 A 、 B，且 x1, x2 分別為 A 、 B 的橫坐標，則 AB 2 px( p 0) 為例）： 范圍 ：（ 1 ） 橢 圓 ： 焦 點 在 x 軸 上 時 x 2y 2 1a 2b 2b 0 ）， 焦 點 在 y 軸 上 時 y22（ a2x2 1（ ab 0

5、 ）。方程 Ax2By 2abC 表示橢圓的充要條件是什么？（ ABC 0，且 A ， B ，C 同號， A B ）。若 x, yR ，且 3x22y26 ，則 xy 的最大值是 _， x2y2的最小值是 _（答：5,2）22（ 2）雙曲線 ：焦點在 x 軸上： x 2y2 =1，焦22ab點 在 y 軸 上 ： y2x2 1 （ a 0, b0 ）。方程abAx2By2C 表示雙曲線的充要條件是什么？（ ABC 0，且 A ，B 異號）。如 設中心在坐標原點 O ，焦點 F1 、 F2 在坐標軸上，離心率 e2 的雙曲線 C過點 P(4, 10) ，則 C的方程為 _（答： x2y26）（

6、3）拋物線 ：開口向右時y22 px( p0) ，開口 向 左 時 y22 p x( p 0，) 開 口 向 上 時x22 p y( p0，)開口向下時x22 py( p0) 。x0, y R ；焦點：一個焦點( p ,0) ，其中 p 的幾2何意義是： 焦點到準線的距離； 對稱性 ：一條對稱軸y0，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）； 準線 ：一 條 準 線 xpc； 離 心 率 ： e，拋物線2ae 1。如設 a 0, a R，則拋物線 y 4ax2 的焦點坐標為_ （答： ( 0,1) ）；16a5 、點 P( x0 , y0 ) 和橢圓 x 2y 21（ ab 0 ）的a 2b 2x

7、02y02關系 ：（ 1）點 P( x0 , y0 ) 在橢圓外1；（2）a2b2點 P( x0 , y0 ) 在 橢 圓 上x02y02a2b2 1；（3）點x22yP( x0 , y0 ) 在橢圓內001a2b26直線與圓錐曲線的位置關系：（ 1）相交：0直線與橢圓相交；0直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有0 ，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲1k2x1x2，若 y1 , y2 分別為 A 、B 的縱坐標，則AB 112y1 y2 ，若弦 AB 所在直線方程設為kxkyb ，則 AB 1 k2 y1 y2 。特別地，焦點弦（過焦點的弦） ：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長

8、公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。10、圓錐曲線的中點弦問題： 遇到中點弦問題常用 “韋達定理”或“點差法” 求解。x 2y21中，以 P( x0 , y0 ) 為中點的弦所在在橢圓2b2a2直線的斜率k= b x0 ；a 2 y0弦所在直線的方程：垂直平分線的方程：在雙曲線 x2y21中，以 P( x0 , y0 ) 為中點的弦所在a2b2直線的斜率 k= b 2 x0；在拋物線 y 22 px( p 0) 中，a 2 y0以 P( x0 , y0 ) 為中點的弦所在直線的斜率k=p 。y3. 圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程， 然后線相交且只有一個交點

9、，故0 是直線與雙曲線相交再判斷）：的充分條件，但不是必要條件；0直線與拋物（ 1）橢圓 ：由 x 2 ,y 2 分母的大小決定，焦點在線相交，但直線與拋物線相交不一定有0，當直線分母大的坐標軸上。與拋物線的對稱軸平行時， 直線與拋物線相交且只有一個交點，故0 也僅是直線與拋物線相交的充分條如已知方程x 2y 2表示焦點在y軸1件，但不是必要條件。m12m（2）相切：0直線與橢圓相切；0直上的橢圓，則 m 的取值范圍是 _（答：1)3)）線與雙曲線相切；0直線與拋物線相切；( ,(1,（3）相離：0直線與橢圓相離；0直2（ 2）雙曲線 ：由 x2y2線與雙曲線相離；0直線與拋物線相離。,項系數(shù)

10、的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；提醒 ：（ 1）直線與雙曲線、 拋物線只有一個公共點（ 3）拋物線 ：焦點在一次項的坐標軸上，一次項時的位置關系有兩種情形：相切和相交。 如果直線與雙的符號決定開口方向。曲線的漸近線平行時 ,直線與雙曲線相交,但只有一個交提醒 ：在橢圓中， a 最大， a2b2c2 ，在雙曲點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交 ,線中， c 最大， c2a2b2 。也只有一個交點； （ 2） 過雙曲線 x222y2 1 外一點4. 圓錐曲線的幾何性質：abP( x0 , y0 ) 的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如（ 1）橢圓（以 x2y21（ ab0 ）為

11、例）：下： P 點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內a2b2時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相 范圍 ： a xa,byb ； 焦點 ：兩個焦點切的兩條切線， 共四條； P 點在兩條漸近線之間且包( c,0) ； 對稱性 ：兩條對稱軸 x0, y0 ，一個對含雙曲線的區(qū)域內時， 有兩條與漸近線平行的直線和只稱中心（ 0,0 ），四個頂點 (a,0),(0,b) ，其中長軸長與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； P 在兩條漸為 2 a ，短軸長為2 b ； 準線 ：兩條準線xa2；近線上但非原點， 只有兩條： 一條是與另一漸近線平行c的直線，一條是切線； P 為原點時不存在這樣的

12、直線；c（ 3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有，橢圓0e 1 ， e 越小，橢圓一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。 離心率 ： ea7、焦點三角形 （橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點越圓； e 越大，橢圓越扁。所構成的三角形）問題： S2tanc | y0 | ，當如（ 1）若橢圓 x2y210 ，則 mb1的離心率 e25m5| y0 | b 即 P 為短軸端點時，Smax 的最大值為 bc；對的值是 _（答： 3 或 25 ）；3（ 2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角0提醒 ：因為0 是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件， 故在求解有關弦長、對稱問題時， 務必別忘

13、了檢驗0 ！11了解下列結論（ 1）雙曲線 x2y 21 的漸近線方程為xy；b 20a2ab（ 2）以 yb x 為漸近線（即與雙曲線x2y 2ax 2y21共漸近線）的雙曲線方程為(a 2b 2a 2b 2 0）。為參數(shù)，（ 3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為22mxny1；（ 4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為2b2a，焦準距（焦點到相應準線的距離）為 b2，拋物線的通徑為2p ，焦準距為p ；c（ 5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（ 6）若拋物線 y22 px( p0) 的焦點弦為 AB，A( x1 , y1), B( x2 , y2

14、 ) ，則 | AB |x1x2p ；p2, y1 y2p2 x1 x24（ 7）若 OA、OB是過拋物線 y22 px( p0) 頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB 恒經(jīng)過定點(2 p,0)12.圓錐曲線中線段的最值問題：例 1、 (1)拋物線 C:y2 =4x 上一點 P 到點 A(3,42 )與到準線的距離和最小,則點 P的坐標為故k的取值范圍為_(11, 3)3(1,1)3(2) 拋物線 C: y 2=4x 上一點 Q 到點 B(4,1) 與到焦點153223F 的距離和最小 ,則點 Q 的坐標為。2、在平面直角坐標系xOy 中，已知點 A(0,-1)，B 點在分析：（ 1 ） A

15、在拋物線外，如圖，連PF，則直線 y = -3上，AM點滿足HQPH PF ，因而易發(fā)現(xiàn)，當 A 、 P、 F 三點共線時，MB/OA， MA?ABPB= MB?BA， M點的軌跡為曲F線 C。距離和最小。（）求 C 的方程；（） P（ 2） B 在拋物線內，如圖，作QR l 交于 R，則為 C 上的動點， l 為 C 在 P 點處得切線，求O點到 l距當 B、 Q、 R 三點共線時，距離和最小。解：（ 1）（2，離的最小值。2 ）（2）（ 1 ,1）4( ) 設 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以MA=1、已知橢圓 C 的方程為x 2y21，雙曲線 C 的左、（ -

16、x,-1-y）, MB =(0,-3-y),AB =(x,-2).再由愿意142右焦點分別為C1 的左、右頂點，而C2 的左、右頂點分得知（ MA +MB ）?AB =0,即 （ -x,-4-2y）別是1 的左、右焦點。C?(x,-2)=0.(1)求雙曲線 C2的方程；(2)若直線 l ： ykx212所以曲線 C的方程式為 y= 1 x2 -2.( ) 設 P(x0,y0)與橢圓 C 及雙曲線 C4l 與 C 的兩個交點 A 和 B 滿恒有兩個不同的交點，且1 x 2 -2上一點， 因為 y ' = 12為曲線 C：y=x, 所以 l 的足OA OB6 ( 其中 O為原點 ) ，求

17、k 的取值范圍。42斜率為1x因 此 直 線 l220的方程為2解：（）設雙曲線C2的方程為 x2y21，則y y00 。ab1 x0 (x x0 ) ，即 x0 x 2 y 2 y0 x2a 24 1 3, 再由 a 2b 2c 2 得 b21.2| 2 y0x02 |. 又 y01 x02x2則 O 點到 l 的距離 d2 ，故 C2的方程為y21.（II） 將x0244312ykx2代入x2y21得(14k2) x28 2kx所以 d2x041 ( x0244) 2,44 0.24224x0x0由直線 l 與橢圓 C1 恒有兩個不同的交點得當 x02=0 時取等號，所以O點到 l 距離的

18、最小值為2.1(82) 2 k216(14k 2 )16(4k21)0,3 設雙曲線 x2y21（ a 0,b 0）的漸近線與拋物k 21.a2b2即線 y=x 2 +1 相切，則該雙曲線的離心率等于4()將 ykx2代入 x 2y21得 (1 3k 2 ) x26 2kx 9 0 x2y21( ab0 )的左焦點F 作 x 軸34 、過橢圓22ab1. 由直線 l 與雙曲線C2 恒有兩個不同的交點A，B 得13k20,的垂線交橢圓于點P ，F(xiàn)2 為右焦點，若F1PF260 ，即k 21且 k21.2k) 23k 2 )k2 )2(636(136(10.3 則橢圓的離心率為5 、已知雙曲線x

19、2y20) 的左、右焦點分別設 A( x, y), B( x, y),則 xx6 2k , x x221(bAAB9bABBB13k 2A13k 2由OA OB6得 xA xByA yB6, 而是1、2，其一條漸近線方程為yx ，點P( 3, y0 )FFxA xByA yBxA xB(kxA2)( kxB2)在雙曲線上 .則 PF1 · PF2 ( )0(k 21) xA xB2k( xAxB ) 26、已知直線 yk x 2k0 與拋物線 C : y28x(k 2 1)192k 6 2k2相交于 A、B兩點， F 為C的焦點，若3k 213k 2|FA| 2|FB |()3k27

20、 .，則 k3k21于是3k 276,即15k 2137 、已知直線 l1 : 4x 3y60 和直線 l2 : x 1，拋3k 213k 20.解此不等式得1物線 y24x 上一動點 P 到直線 l1 和直線 l 2 的距離之k 213 或 k 21 .15311或13和的最小值是（）由、得k 2k 21.43158、設已知拋物線 C 的頂點在坐標原點，焦點為F(1，0)，直線 l與拋物線 C 相交于 A， B 兩點。若 AB 的中13, 1).點為（ 2， 2），則直線 l 的方程為(,)(15x2y2的焦點為 F1, F2 ，點 P 在橢圓上，9、橢圓192若 |PF1|4，則 |PF2

21、 |；F1PF2 的大小為.10、過拋物線y22 px( p0) 的焦點F 作傾斜角為45 的直線交拋物線于 A、B 兩點，若線段 AB 的長為 8，則 p_'【解析】設切點 P( x0 , y0 ) ，則切線的斜率為y |x x02x0 .由題意有y02x0又y0x0 2 1解 得 :x0x021,b2,e1 ( b ) 25aa雙曲線 x2y 21 的 一條 漸近線 為 yb x , 由方程 組a 2b2ayb x, 消去y, 得 x2b10 有唯一解, 所以axyx21a=( b )240,所以abca2b21b)25a2 , ea(aa由漸近線方程為yx 知雙曲線是等軸雙曲線，

22、雙曲線方程是 x2y 22 ，于是兩焦點坐標分別是 （ 2，0）和（2，0），且P(3,1)或P(3,1).不妨去P(3,1)，則PF1(23,1)，PF2(23,1) . PF1 · PF2 (23,1)(23,1)(23)(23)10【解析】設拋物線 C : y 28x的準線為 l : x2 直線ykx2 k0 恒過定點P2,0.如圖過 A、B分別 作A MlM,BNl于N,由于|FA |2|FB |,則|AM|2|BN |,點 B 為 AP的中點 .連結 OB ,則|OB |1|AF |,2|OB |BF|點B的橫坐標為1, 故點B的坐標為(1,22)k220221(2)3,故

23、選DA x1, y1 , B x2 , y2 ,則有 x1x2， y124x16（D）2 3y224x22322x2 ，y1y248.( 全國卷 II)雙曲線 x2y21的漸近線方程是 ( C)兩式相減得， y1y2 4 x1x1x2y1149y224(A)y(B)y(C)直線 l 的方程為 y-2=x-2,即y=xxx39y3(D)y9xx24（ D）A30oB45oC 60oD90o17. （湖北卷）雙曲線x 2y21(mn 0) 離心率為mn2，有一個焦點與拋物線y 24x 的焦點重合，則的值為mn2005 年高考全國試題分類解析（圓錐曲線）一、選擇題：1重慶卷)若動點 ( x, y)

24、在曲線 x2y 21( b>0) 上變4b 2化，則 x2y 的最大值為 (A )(A)b24(0 b4)(B)4；(b4)2bb22) ； (C)b24( 0 b4 ；(D)442b(b2)2b；2. ( 浙江 ) 函數(shù) y ax2 1 的圖象與直線 y x 相切，則a ( B)(A)111(D)1(B)(C)2843. （天津卷）設雙曲線以橢圓x2y2251 長軸的兩99.( 全國卷 II)已知雙曲線 x2y21的焦點為 F1 、F2 ，63點 M 在雙曲線上且 MF1x 軸，則 F1到直線 F2M 的距離為 (C )(A)36(B)56(C)566(D)55610. 拋物線 x24 y 上一點 A 的縱坐標為4，則點 A 與拋物線焦點的距離為 (D )(A) 2(B) 3(C) 411. ( 全國卷 III) 設橢圓的兩個焦點分別為 F1、F2，過F2 作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若 F1PF2 為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（D）（ A）2（ B）21（ C）222 2（D） 2112.（遼寧卷） 已知雙曲線的中心在原點，離心率為 3 .若它的一條準線與拋物線y 24x的準線重合， 則該雙曲線與拋物線y 24x的交點到原點的距離是（ B）A 23 + 6B21(D) 5個端點為焦點， 其準線過橢圓的焦點， 則雙曲線的漸近線的斜率為A