高中知識總結

1、高中數學知識點總結1. 對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。如：集合 Ax|ylg x ，By|ylg x ，C(x, y)|ylg x ， A、 B、C中元素各表示什么？2. 進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況。注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合 Ax|x 22x30 ， Bx|ax1若 BA ，則實數 a的值構成的集合為1（答：1，0，）33. 注意下列性質：（ 1）集合 a1， a2 ，, ， an 的所有子集的個數是 2n ；（2）若ABABA，ABB；（3）德摩根定律：

2、CU ABCUACUB ，CU ABCUACUB4. 你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）如：已知關于 x的不等式ax5M 且 5M ，求實數 ax20的解集為 M ，若 3a的取值范圍。（ 3M ， a· 35032a， 59，25）a 1M ， a·553 5052a5. 可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”( ) ，“且” ( ) 和“非” ( ).若 p q為真，當且僅當 p、q均為真若 p q為真，當且僅當 p、q至少有一個為真若 p為真，當且僅當 p為假7. 對映射的概念了解嗎？映射 f：A B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中與之對應

3、元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？（一對一，多對一，允許B 中有元素無原象。）8. 函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？（定義域、對應法則、值域）9. 求函數的定義域有哪些常見類型？例：函數 yx 4x的定義域是lg x23（答： 0， 22， 33，4 ）10. 如何求復合函數的定義域？如：函數 f ( x)的定義域是a， b ， ba0，則函數 F(x )f ( x)f ( x )的定義域是 _。（答：a，a ）11. 求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？如： fx1exx，求 f (x).令tx1，則 t0xt 21f ( t)t21t21ex 21

4、x21 x 0 f ( x) e12. 反函數存在的條件是什么？（一一對應函數）求反函數的步驟掌握了嗎？（反解 x；互換 x、y；注明定義域）1xx0如：求函數 f (x)2x的反函數x0x 1x1（答： f 1( x)x）x013. 反函數的性質有哪些？互為反函數的圖象關于直線yx 對稱；保存了原來函數的單調性、奇函數性；設 yf(x) 的定義域為 A ，值域為 C，aA ，bC，則 f(a) = bf 1( b)af 1 f (a)f 1 (b)a， f f 1 (b)f (a)b6. 命題的四種形式及其相互關系是什么？14. 如何用定義證明函數的單調性？（互為逆否關系的命題是等價命題。）

5、（取值、作差、判正負）原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。如何判斷復合函數的單調性？（ yf ( u) ， u( x)，則 yf(x)（外層）（內層）當內、外層函數單調性相同時 f ( x) 為增函數，否則 f(x) 為減函數。）如：求 ylog 1x22x 的單調區(qū)間2（設 ux 22x，由 u0則 0 x 2且 log 1 u， ux121，如圖：2uO12x當 x(0，1時， u，又 log 1u， y2當 x1， 2)時， u，又 log 1u， y2 , ）15. 如何利用導數判斷函數的單調性？在區(qū)間 a， b 內，若總有 f '( x)0則f (x)為增函數

6、。（在個別點上導數等于零，不影響函數的單調性），反之也對，若f '( x)0呢？如：已知 a 0，函數 f (x)x 3ax在 1，上是單調增函數，則 a的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3（令 f '( x) 3x2a 3 xaxa033則 xa 或 xa33由已知 f (x)在 1，) 上為增函數，則a1，即 a 33a 的最大值為 3）16. 函數 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（ f(x) 定義域關于原點對稱）若 f ( x)f ( x )總成立f (x)為奇函數函數圖象關于原點對稱若f (x)f (x) 總成立f ( x )為偶函數函數圖象

7、關于 y軸對稱注意如下結論：（ 1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。（ 2）若 f(x) 是奇函數且定義域中有原點，則f(0)0。如：若 f ( x)a· 2 xa 2 為奇函數，則實數a2 x1（ f (x ) 為奇函數， xR，又 0 R， f (0)0即 a· 2 0a 20， a 1）201又如： f ( x) 為定義在 (1， 1)上的奇函數，當2 x，x ( 0， 1) 時， f ( x)4 x1求 f ( x) 在1，1 上的解析式。（令 x1， 0 ，則 x0， 1 ， f ( x)2 x

8、4 x1又 f ( x)為奇函數， f (x)2 x2 x4 x114x2xx，0)( 1又f( 0)， f x)4 x1x0）0(2 xx，14 x1017. 你熟悉周期函數的定義嗎？（若存在實數 T（ T0），在定義域內總有 f xTf (x)，則 f ( x) 為周期函數， T 是一個周期。）如：若 f xaf ( x)，則（答： f ( x) 是周期函數， T2a為f ( x) 的一個周期）又如：若 f ( x) 圖象有兩條對稱軸 xa， xb即f ( ax)f ( ax) ，f ( bx)f ( bx)則f ( x) 是周期函數， 2 ab 為一個周期如：18. 你掌握常用的圖象變換

9、了嗎？f (x) 與f (x) 的圖象關于y軸 對稱f (x) 與f (x) 的圖象關于 x軸 對稱f (x) 與f ( x )的圖象關于 原點 對稱f (x) 與 f1 ( x )的圖象關于直線 yx 對稱f (x) 與f ( 2ax) 的圖象關于 直線 xa 對稱f (x) 與f (2ax)的圖象關于 點 ( a， 0) 對稱將 y f ( x) 圖象左移 a( a 0)個單位yf (xa)右移 a( a 0)個單位yf (xa)上移 b(b0)個單位yf ( xa)b下移 b(b0)個單位yf ( xa)b注意如下“翻折”變換：f (x)f ( x)f (x)f (| x|)如： f (

10、 x)log 2 x1作出 ylog 2 x1 及ylog 2 x1的圖象yy=log 2xO1x(k<0)y(k>0)y=bO (a,b)Oxx=a（1）一次函數： ykxbk0（ 2）反比例函數： yk k0 推廣為 ybkk0 是中心 O'( a， b)xxa的雙曲線。2b 2（ 3）二次函數 yax2bxc a 0a xb4ac2a4a圖象為拋物線頂點坐標為b ， 4acb 2，對稱軸 xb2a4a2a開口方向： a0，向上，函數 ymin4acb24aa4acb20，向下， y max4a應用：“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系二次方程ax2bx

11、 c 0，0時，兩根 x 1、 x2 為二次函數 yax2bxc的圖象與 x軸的兩個交點，也是二次不等式 ax2bxc 0 (0) 解集的端點值。求閉區(qū)間m， n上的最值。求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。一元二次方程根的分布問題。0如：二次方程 ax2bxc0的兩根都大于 kbk2af (k )019. 你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？y(a>0)Okx1x2x一根大于 k，一根小于 kf ( k)0（ 4）指數函數： yaxa0，a1（ 5）對數函數 ylog a x a0，a1由圖象記性質?。ㄗ⒁獾讛档南薅ǎ。﹜y=ax(a>1)(0<a<1)y=lo

12、g ax(a>1)1O1x(0<a<1)（ 6）“對勾函數”yxkk0x利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？ykOkx20. 你在基本運算上常出現錯誤嗎？指數運算： a01 ( a 0)， ap1ap ( a 0)mm1a nn am (a 0) ，a n(a 0)n am對數運算： log a M ·Nlog a Mlog a N M 0，N 0aMaa，an1al o gNl o g M l o g Nl o gMl o g Mn對數恒等式： alog a xx對數換底公式： log a blog c blog m bn nlog a blo

13、g c aam21. 如何解抽象函數問題？（賦值法、結構變換法）如：（ 1）xR， f ( x) 滿足 f ( xy)f (x) f ( y) ，證明 f (x )為奇函數。（先令 xy0f (0)0再令 yx， , ）（ 2）xR，f (x)滿足 f (xy)f ( x)f (y)，證明 f (x)是偶函數。（先令 xyt f (t )( t )f (t·t)f ( t)f ( t)f (t )f ( t) f ( t) f ( t), ）（ 3）證明單調性：f ( x 2 )fx 2x 1x 2,22. 掌握求函數值域的常用方法了嗎？（二次函數法（配方法），反函數法，換元法，均值

14、定理法，判別式法，利用函數單調性法，導數法等。）如求下列函數的最值：（1） y2x3134x（ 2）y2 x4x3（ 3） x3， y2x 2x3（ 4） yx 49x 2 設 x3cos ，0，（ 5） y4x9 ， x(0，1x23. 你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為 ，半徑為 R 的弧長公式和扇形面積公式嗎？（ l·R， S扇1 l· R1·R2）22R1 弧度OR24. 熟記三角函數的定義，單位圓中三角函數線的定義s i nMP， c o sOM， t a nATyTBSPOMAx如：若0，則 sin， cos ， tan 的大小順序是8又如：求函數y1

15、2 cosx 的定義域和值域。2（ 12 cosx ）12 sin x02 sin x2 ，如圖：25x 2kk Z ， 0 y1 2 2k4425. 你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數的圖象嗎？并由圖象寫出單調區(qū)間、對稱點、對稱軸嗎？s i nx1， c o sx1yytgxxO22對稱點為k， 0 ， kZ2ysi nx的增區(qū)間為2k， 2k2kZ2減區(qū)間為2k， 2k3kZ22圖象的對稱點為 k， 0 ，對稱軸為 xkk Z2yc o sx的增區(qū)間為2k， 2kkZ減區(qū)間為2k， 2k2kZ圖象的對稱點為k， 0 ，對稱軸為 xkkZ2yt a nx的增區(qū)間為k2， kkZ226. 正弦型

16、函數 y = Asinx +的圖象和性質要熟記?；騳 A cos x（1）振幅 |A |，周期 T2| |若fx 0A ，則 xx0 為對稱軸。若fx 00，則 x 0， 0為對稱點，反之也對。（ 2）五點作圖：令x依次為0， ， 3， 2 ，求出 x與 y，依點22（ x， y）作圖象。（ 3）根據圖象求解析式。（求 A 、 、 值）( x1 )0如圖列出( x2 )2解條件組求、 值正切型函數yA tanx， T|27. 在三角函數中求一個角時要注意兩個方面先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍。如： cos x62 ， x， 3，求 x值。22（x375， x5， x13，x634）26

17、61228. 在解含有正、余弦函數的問題時，你注意（到）運用函數的有界性了嗎？如：函數 ysin xsin|x|的值域是（ x0時， y2 sin x2， 2 ，x0時， y0， y2， 2 ）29. 熟練掌握三角函數圖象變換了嗎？（平移變換、伸縮變換）平移公式：，x'xh（1）點 P（x，y）a ( h k)P' （x '，y '），則yk平移至y'（ 2）曲線 f (x， y)0沿向量 a(h， k ) 平移后的方程為 f ( xh， y k) 0如：函數y2 sin 2x1 的圖象經過怎樣的變換才能得到y(tǒng)sin x 的4圖象？（ y2 sin 2x

18、1橫坐標伸長到原來的2倍y 2 sin 21 x1424左平移4個單位上平移 1個單位2 sin x1y 2 sin x1y2 sin x縱坐標縮短到原來的1倍2 y sin x）30. 熟練掌握同角三角函數關系和誘導公式了嗎？如： 1 sin 2cos2sec2tan 2tan· cotcos · sectan4sincos0, 稱為1的代換。2“ k·”化為的三角函數“奇變，偶不變，符號看象限”，2“奇”、“偶”指k 取奇、偶數。9tan7sin 21如： cos64sintan，則 y的值為又如：函數 ycotcosA. 正值或負值B. 負值C. 非負值D.

19、 正值sinsinsin2cos1cos（y0），coscos2sin0cos1sin31. 熟練掌握兩角和、差、倍、 降冪公式 及其逆向應用了嗎？理解公式之間的聯(lián)系：s i ns i n c o s c o s s i n令s i n22 s i n c o sc o sc o s c o ssin sin令cos2cos2sin 2t a nt a n t a n21 12 sin21t a n · t a n2 c o s21c o s22 t a nc o s2t a n2221c o s21 t a ns i n2a s i nb cosa2b2 sin， tanbas i

20、 nc o s2 s i n4s i n3 cos2 sin3應用以上公式對三角函數式化簡。 （化簡要求：項數最少、函數種類最少，分母中不含三角函數，能求值，盡可能求值。）4具體方法：（ 1）角的變換：如，2,22（ 2）名的變換：化弦或化切（ 3）次數的變換：升、降冪公式（ 4）形的變換：統(tǒng)一函數形式，注意運用代數運算。sincos2，求 tan2的值。如：已知1， tan31cos2（由已知得：sin coscos12 sin 22sin1， tan2又 tan2321t ant a n1 t a n 2t a n32）1t an· t a n218·12332. 正、

21、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現邊、角轉化，而解斜三角形？余弦定理： a2b2c22bc cosAcosAb 2c2a22bc（應用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）abca2R sin A正弦定理：b2R sin Bsin Asin B2RsinCc2R sin CS 1 a· b s i nC2 A BC， ABC s i nABABCs i nC， s i n2cos如 ABC 中， 2 sin 2 AB22cos2C1（1）求角 C；（ 2）若 a2b 2 c 2，求 cos2Acos2B的值。2（ 1）由已知式得： 1cos AB2 cos2 C 1 1又

22、 A BC， 2 cos2 C cosC1 0 cosC1 或 cosC1（舍）2又 0 C， C3（ 2）由正弦定理及 a2b21c 2 得：222232 s i n A 2 s i n B s i n C s i n431 cos2A1 cos2B343 c o 2sAc o s2B）433. 用反三角函數表示角時要注意角的范圍。反正弦： arcsin x2， x1，12反余弦： arccosx0，x1，1反正切： arctanx2， xR234. 不等式的性質有哪些？（1） ac0acbcb，0acbcc（ 2）ab，c d a c b d（ 3）ab 0，c d 0 ac bd（ 4）

23、 ab 01 1 ， a b 01 1abab（5）ab 0 anb n ， n an b（ 6）|x|a a 0a x a， |x|axa或x a如：若110，則下列結論不正確的是（）abA . a2b2B. ab b 2C. |a| |b| |a b|D . ab2ba答案： C35. 利用均值不等式：a b2a2b2，R；求最值時，你是否注2ab a ba b 2 ab ab2意到“ a，bR ”且“等號成立”時的條件，積(ab 或和ab 其中之一為定)()值？（一正、二定、三相等）注意如下結論：a2b2a b2ab，2aba ba b R22當且僅當 ab時等號成立。a2b2c2abb

24、cca a，bR當且僅當 abc時取等號。ab0，m0， n0，則bbmanaaam1nbb如：若 x0， 23x4 的最大值為x（設 y23x422 1224 3x當且僅當 3x4 ，又 x0， x23 時， ymax2 43）x3又如： x2y1，則 2 x4 y 的最小值為（ 2x22 y22 x2y2 21 ，最小值為 22）36. 不等式證明的基本方法都掌握了嗎？（比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等）并注意簡單放縮法的應用。11,12如：證明 1232n2211,11111（132n21223,22n 1 n1 1 111,11223n1 n1）22nf (x )37. 解分式不等

25、式a a0 的一般步驟是什么？g( x)（移項通分，分子分母因式分解，x 的系數變?yōu)?，穿軸法解得結果。）38. 用“穿軸法”解高次不等式“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始如： x1 x1 2 x2 30如：對數或指數的底分 a1或 0a1討論40. 對含有兩個絕對值的不等式如何去解？（找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）例如：解不等式 |x3| x111（解集為x|x）241. 會用不等式 |a| |b| |ab| |a| |b|證明較簡單的不等問題如：設 f ( x)x 2x 13，實數 a滿足 |xa| 1求證： f ( x )f (a)2(|a| 1)證明： |f

26、(x)f ( a)|( x 2x13)( a2a 13)|( xa)( xa1)| ( |xa|1)|xa|xa1| |xa1|x| |a| 1又|x| |a| |x a|1， | x| |a| 1 f (x)f (a)2|a| 22 |a| 1（按不等號方向放縮）42. 不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉化為最值問題，或“”問題）如： af (x)恒成立af ( x) 的最小值af ( x) 恒成立af ( x)的最大值af ( x) 能成立af ( x)的最小值例如：對于一切實數 x，若 x3x2a恒成立，則 a的取值范圍是（設 u x3 x 2 ，它表示數軸上到兩定點2和 3

27、距離之和um i n 32 5，5a，即 a 5或者： x3 x 2x 3 x25， a5）43. 等差數列的定義與性質定義： an1 a n d (d為常數 ) ，a na1n1 d等差中項： x，A ，y成等差數列2Axy39. 解含有參數的不等式要注意對字母參數的討論前 n項和 Sna1 an nn n12na1d2性質： an是等差數列（1）若 mnpq，則 amanapaq ；（ 2）數列a2n 1 ， a2n ， ka nb 仍為等差數列；Sn ，S2nSn ， S3 nS2 n , 仍為等差數列；（ 3）若三個數成等差數列，可設為ad，a，ad；（ 4）若 a n ， bn 是等

28、差數列 Sn ， Tn 為前 n項和，則 amS2 m 1 ；b mT2 m 1（ 5） an為等差數列Snan2bn（a，b為常數，是關于 n的常數項為0 的二次函數）Sn 的最值可求二次函數 Snan2bn的最值；或者求出an 中的正、負分界項，即：當 a10，dan00，解不等式組可得 Sn 達到最大值時的 n值。an10當 a10，d0，由a n0可得 Sn 達到最小值時的 n值。a n10如：等差數列an ， Sn18， ana n 1a n 23，S31，則 n（由 anan 1an 233an 13， an 11又 Sa1a3·33a2，1321a231a1an na2

29、an 1 · n1 n Sn318222n 27）44. 等比數列的定義與性質定義： an 1q（ q為常數， q0）， ana1q n 1an等比中項： x、G、y成等比數列G 2xy ，或 Gxyna1 (q1)前n項和： Sna1 1q n（要注意 ! ）(q 1)1 q性質： an 是等比數列（1）若 m np q，則 am ·anap · aq（ 2）Sn ， S2 n Sn ，S3 n S2 n , 仍為等比數列45. 由 Sn 求an 時應注意什么？（n1時， a1S1 ，n2時， anSnSn 1）46. 你熟悉求數列通項公式的常用方法嗎？例如：（

30、 1）求差（商）法如： an11a2,12n 51滿足 a1222n an2解： n1時， 1 a121 5， a1142n 2時，11,1an 12n 1 52a12 a2n 122212得： 1nan22an2n 1 an14(n1)2 n 1( n2)練習數列 an滿足 SnSn 15 an 1 ， a14，求 an3（注意到 an1Sn 1Sn 代入得： Sn14Sn又S14， Sn是等比數列， Sn4 nn 2時， anSnSn 1,3·4 n 1（ 2）疊乘法例如：數列an 中， a1an 1n，求 an3，n1an解： a2 · a3 ,an1· 2,n 1 ， an1a1a2an 123na1n又 a13， a n3n（3）等差型遞推公式由 anan1f ( n) ，a1a0 ，求 an ，用迭加法n2時， a2a1f (