第5章_剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、1剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動第五章第五章大學(xué)物理學(xué)大學(xué)物理學(xué)力學(xué)力學(xué)25.1 剛體轉(zhuǎn)動的描述剛體轉(zhuǎn)動的描述 第五章第五章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 5.4 定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系 5.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律和角動量守恒定律5.5 剛體的進(jìn)動剛體的進(jìn)動3二、二、 剛體的平動和轉(zhuǎn)動剛體的平動和轉(zhuǎn)動 一、剛體（理想化模型）一、剛體（理想化模型）ar、即各質(zhì)點的即各質(zhì)點的 均相同。均相同。 剛體上所有質(zhì)點運動都相同剛體上所有質(zhì)點運動都相同,可用其上任何可用其上任何一點的運動來代表整體的運動（如

2、質(zhì)心）。一點的運動來代表整體的運動（如質(zhì)心）。平動平動: 在運動中，連接剛體內(nèi)在運動中，連接剛體內(nèi)任意兩點的直線在各個時刻的任意兩點的直線在各個時刻的位置都彼此平行。位置都彼此平行。平 動5.1 剛體轉(zhuǎn)動的描述剛體轉(zhuǎn)動的描述 任何情況下形狀和體積都不變化的物體任何情況下形狀和體積都不變化的物體4（1）定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動: 剛體上所有質(zhì)點均作圓周運剛體上所有質(zhì)點均作圓周運動，且各圓心都在同一條固定的直線（即轉(zhuǎn)動，且各圓心都在同一條固定的直線（即轉(zhuǎn)軸）上軸）上 ,各質(zhì)點的各質(zhì)點的 均相同。均相同。,轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)動： （2）定點轉(zhuǎn)動定點轉(zhuǎn)動：剛體上只有一點在運動中固：剛體上只有一點在運動中固定不動，整個剛

3、體繞過該定點的某一瞬時軸線定不動，整個剛體繞過該定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸方向不斷變化。轉(zhuǎn)軸方向不斷變化。5 (3) (3)一般運動一般運動：可看成平動和轉(zhuǎn)動的疊加。：可看成平動和轉(zhuǎn)動的疊加。如車輪的轉(zhuǎn)動如車輪的轉(zhuǎn)動三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量描述三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量描述oPx1.1.角坐標(biāo)角坐標(biāo)2.2.角位移角位移6oPx3.3.角速度角速度dtdtt0limdtdtt0limddt4.4.角加速度角加速度dtd7 定軸轉(zhuǎn)動的角量和線量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動的角量和線量的關(guān)系rr22rrandtdatdtdrrr8 設(shè)設(shè)t = 0時滑輪的角速度和角坐標(biāo)分別為時滑輪的角速度和角坐標(biāo)分別為 ，試求滑輪

4、在試求滑輪在t時刻的角速度和角坐標(biāo)。時刻的角速度和角坐標(biāo)。00和解：由角加速度定義解：由角加速度定義dtd342btatdtd所以所以dtbtatd）（342積分積分dtbtatdt03420420btat 滑輪在滑輪在t時刻的角速度時刻的角速度例題例題1 一滑輪繞定軸轉(zhuǎn)動，其角加速度隨時間變化一滑輪繞定軸轉(zhuǎn)動，其角加速度隨時間變化的關(guān)系為的關(guān)系為 , 式中，式中，a、b 均為常量。均為常量。342btat 9滑輪在滑輪在t時刻的角坐標(biāo)時刻的角坐標(biāo)420btat dtd由角速度定義由角速度定義420btatdtddtbtatd）（420dtbtatdt）（4200053005131btatt1

5、0ZO轉(zhuǎn)動平面sinrFM FrM5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 Fr/FF力力 對對o點的力矩點的力矩：FFrMFFr/FrFr/rFMim11 只能引起軸的變形只能引起軸的變形, , 對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)。力力 對對oz軸的力矩軸的力矩：FFrMz/FrFr對轉(zhuǎn)動有貢獻(xiàn)對轉(zhuǎn)動有貢獻(xiàn),在定軸轉(zhuǎn)動中必須考慮。在定軸轉(zhuǎn)動中必須考慮。在定軸轉(zhuǎn)動中不予考慮。在定軸轉(zhuǎn)動中不予考慮。zMZO轉(zhuǎn)動平面Fr/FFim12ozimir在剛體內(nèi)任選質(zhì)量元在剛體內(nèi)任選質(zhì)量元im外力外力內(nèi)力內(nèi)力iFifiFifii應(yīng)用牛頓第二定律，得：應(yīng)用牛頓第二定律，得：iiiimafF采用自然坐標(biāo)系，上式的切向分

6、量式為：采用自然坐標(biāo)系，上式的切向分量式為：iiitiiiiirmamfFsinsin（在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)）（在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)）（在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)）（在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)）13用用 乘以上式左右兩端：乘以上式左右兩端：ir2sinsini iii iii iFrf rmr 設(shè)剛體由設(shè)剛體由N 個質(zhì)點構(gòu)成，對每個質(zhì)點可寫個質(zhì)點構(gòu)成，對每個質(zhì)點可寫出上述類似方程，將出上述類似方程，將N 個方程左右相加，得：個方程左右相加，得：2111sinsin()NNNi iii iii iiiiFrf rm r0sin1Niiiirf 根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)(每一對內(nèi)力等值、反向、共每一對內(nèi)力等值、反向、共線線,對同一軸力矩之代

7、數(shù)和為零對同一軸力矩之代數(shù)和為零)，得：，得：14211sin()NNi iii iiiFrmr則則 上式左端為剛體所受外力的合外力矩，上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以以M表示；右端求和符號內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)表示；右端求和符號內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)無關(guān)，稱為剛體無關(guān)，稱為剛體轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量，以，以J 表示。表示。JM JM 15（2）轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性大小的量度；轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性大小的量度；（1）M 的正負(fù)的正負(fù)：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方向加速的力矩為正；向加速的力矩為正；討論：討論：（3）轉(zhuǎn)動慣量）轉(zhuǎn)動慣量 和總質(zhì)量有關(guān)；和質(zhì)量分布和總質(zhì)量有關(guān)；和質(zhì)量分布有關(guān)；有關(guān)；

8、和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。iiirmJ2JM 16三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)點系對質(zhì)點系:iiirmJ2對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體:mdmrJ2計算轉(zhuǎn)動慣量的幾條規(guī)律計算轉(zhuǎn)動慣量的幾條規(guī)律1、對同一個定軸，轉(zhuǎn)動慣量、對同一個定軸，轉(zhuǎn)動慣量具有可疊加性。具有可疊加性。 iiJJdVdm體分布的剛體體分布的剛體:面分布的剛體面分布的剛體:線分布的剛體線分布的剛體:dSdmdldm172mdJJc 2. 平行軸定理平行軸定理CdmJCJ平行平行定理表述：定理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸的軸轉(zhuǎn)動剛體繞平行于質(zhì)心軸的軸轉(zhuǎn)動, ,其轉(zhuǎn)動慣量其轉(zhuǎn)動慣量J 等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量等于繞質(zhì)

9、心軸的轉(zhuǎn)動慣量Jc 加加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積. .例題例題2 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 （1 1）均勻圓環(huán)：）均勻圓環(huán)：22mRRmJiicRmC C18（2 2）均勻圓盤均勻圓盤：mcdmrJ2221mRRocdrrRmJ322dVdmrdrRm22rldrlRm22rRdrml（3 3）均勻桿：）均勻桿：CAml2l22121mlJC231mlJA例題例題3 已知：已知：R=0.2 m, m=1 kg , v0=0 , h=1.5 m, 繩繩輪之間無相對滑動輪之間無相對滑動,且繩不可伸長，下落時間且繩不可伸長，下落時間 t=3s。求：輪對

10、求：輪對o軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量RTGNJRT 解：解：對輪進(jìn)行受力、受力矩分析：對輪進(jìn)行受力、受力矩分析：由由轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律：agmTmaTmg對對m 應(yīng)用牛頓定律：應(yīng)用牛頓定律：運動學(xué)關(guān)系：運動學(xué)關(guān)系：Ra 221ath 定軸定軸ORthmv0=0繩繩20 聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：2212mRhgtJ2mkg14. 1例題例題4 定滑輪半徑為定滑輪半徑為 R= 0.1m , 對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為為 (kg m2 ), 一變力一變力 F= 0.5t（N）。）。 3101J 沿切線方向作用在滑輪邊緣上，使滑輪由靜止開始沿切線方向作用在滑輪邊緣上，使滑輪由靜止開始轉(zhuǎn)動。求它在轉(zhuǎn)

11、動。求它在 t =1 s 末的角速度。末的角速度。FR解：由解：由 轉(zhuǎn)動定律：轉(zhuǎn)動定律：JM dtdJRFdtdt.31015010tdtd5001050tdtdrad/s2521例題例題5 質(zhì)量為質(zhì)量為 m，長為，長為 L 的勻質(zhì)細(xì)桿，在水平面上的勻質(zhì)細(xì)桿，在水平面上可繞其一端可繞其一端 o 轉(zhuǎn)動。初始角速度為轉(zhuǎn)動。初始角速度為 。設(shè)桿與水平。設(shè)桿與水平面之間的滑動摩擦系數(shù)為面之間的滑動摩擦系數(shù)為 ，求：，求：0（1） 桿所受的摩擦力矩桿所受的摩擦力矩 M=?（2） 設(shè)桿在轉(zhuǎn)動過程中僅受摩擦力矩的作用，設(shè)桿在轉(zhuǎn)動過程中僅受摩擦力矩的作用，求桿在停止轉(zhuǎn)動之前共轉(zhuǎn)動了多少圈？求桿在停止轉(zhuǎn)動之前共

12、轉(zhuǎn)動了多少圈？dxx0o解解（1）細(xì)桿質(zhì)量線密度為：細(xì)桿質(zhì)量線密度為：L/mdxdmxdfdMgdmdfgdxxgdmx22dMMmgLxdxgL210 JM2LgmLmgL23312122202停止時：停止時：0gL320gLn6220dxx0o（rev）作業(yè)作業(yè)5.25.85.115.1223討論力矩對時間的積累效應(yīng)討論力矩對時間的積累效應(yīng)5.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律和角動量守恒定律一、剛體的角動量一、剛體的角動量對于定點轉(zhuǎn)動質(zhì)點對于定點轉(zhuǎn)動質(zhì)點 PrLmr Lrm o24iiiimrLkrmii 2 對于繞固定軸對于繞固定軸oz 轉(zhuǎn)動的整個剛體

13、轉(zhuǎn)動的整個剛體對于繞固定軸對于繞固定軸oz轉(zhuǎn)動的質(zhì)元轉(zhuǎn)動的質(zhì)元im JrmLNiii2 角動量的方向沿軸的正向或負(fù)向角動量的方向沿軸的正向或負(fù)向, ,所以可所以可用代數(shù)量來描述。用代數(shù)量來描述。 irim izLo25對對定軸定軸1221LLdtMttJL 剛體對定軸的角動量：剛體對定軸的角動量：dtJddtLd二二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理角動量隨時間的變化率角動量隨時間的變化率dtdJMJ積分形式積分形式微分形式微分形式LddtM26例題例題6 一輕繩繞過一半徑為一輕繩繞過一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m/4 的滑輪。的滑輪。 質(zhì)量為質(zhì)量為m的人抓住了繩的一端，而在繩的

14、另一端系了的人抓住了繩的一端，而在繩的另一端系了一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m/2的重物，如圖所示。求當(dāng)人相對于繩的重物，如圖所示。求當(dāng)人相對于繩以勻速以勻速u上爬時，重物上升的加速度是多少？上爬時，重物上升的加速度是多少？解：選人、滑輪與重物為系統(tǒng)。解：選人、滑輪與重物為系統(tǒng)。對對o軸，系統(tǒng)所受的外力矩為：軸，系統(tǒng)所受的外力矩為：g)m(RRmgM2Rmg21 設(shè)設(shè)v 為重物上升的速度為重物上升的速度, u為人相對繩的均勻速度。為人相對繩的均勻速度。oRm2m4m27則系統(tǒng)對則系統(tǒng)對o軸的角動量為軸的角動量為:JuRmmRL22421RmJmRumRL813根據(jù)角動量定理：根據(jù)角動量定理：dt/dL

15、M mRumRdtdmgR81321有0dtdugdtda134解出：解出：oRm2m4m280M當(dāng)當(dāng) 時時常矢量12LL三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律1221LLdtMtt角動量定理角動量定理 剛體在定軸轉(zhuǎn)動中，當(dāng)對轉(zhuǎn)軸的合外力剛體在定軸轉(zhuǎn)動中，當(dāng)對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變，矩為零時，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變， 這一規(guī)律就是定軸轉(zhuǎn)動的這一規(guī)律就是定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律角動量守恒定律 。29討討 論論1、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)角動量守恒角動量守恒時，若時，若轉(zhuǎn)動慣量保持不變轉(zhuǎn)動慣量保持不變, 則剛體的角速度恒定則剛體

16、的角速度恒定;12JJ122211JJ2、角動量守恒角動量守恒時，若轉(zhuǎn)動慣量改變時，若轉(zhuǎn)動慣量改變,剛體角剛體角速度的大小也要改變速度的大小也要改變,但兩者之積保持恒定；但兩者之積保持恒定；3 3、系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒時，時，若剛體由幾部分組若剛體由幾部分組成成( (相當(dāng)于系統(tǒng)相當(dāng)于系統(tǒng)) )，且都繞同一個定軸轉(zhuǎn)動，且都繞同一個定軸轉(zhuǎn)動，這時角動量可在內(nèi)部傳遞。這時角動量可在內(nèi)部傳遞。30花樣滑冰運動員的花樣滑冰運動員的“旋旋”動作動作跳水運動員的跳水運動員的“團(tuán)身團(tuán)身- -展體展體”動動作作31注意：注意： 系統(tǒng)內(nèi)的各個剛體或質(zhì)點的角動量系統(tǒng)內(nèi)的各個剛體或質(zhì)點的角動量必須對同一個固定

17、軸來求。必須對同一個固定軸來求。212211JJJJ32萬向支架受合外力矩為零受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布軸摩擦及空氣阻力很小軸摩擦及空氣阻力很小角動量守恒角動量守恒恒矢量恒矢量回轉(zhuǎn)儀定向原理回轉(zhuǎn)儀定向原理其中轉(zhuǎn)動慣量為常量其中轉(zhuǎn)動慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向使其以一定的角速度高速旋轉(zhuǎn)使其以一定的角速度高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會受基座改向的影響而不會受基座改向的影響基 座回轉(zhuǎn)體JL JL33 用外力矩用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩34輪、轉(zhuǎn)臺與人系統(tǒng)，人臺反向轉(zhuǎn)動。輪、轉(zhuǎn)臺與人系統(tǒng)

18、，人臺反向轉(zhuǎn)動。共軸系統(tǒng)的角動量守恒共軸系統(tǒng)的角動量守恒35例題例題7 質(zhì)量為質(zhì)量為3m的勻質(zhì)棒長為的勻質(zhì)棒長為L，可繞水平軸，可繞水平軸o在豎直在豎直平面內(nèi)無摩擦地轉(zhuǎn)動，開始時棒自然地豎直懸垂。現(xiàn)平面內(nèi)無摩擦地轉(zhuǎn)動，開始時棒自然地豎直懸垂?，F(xiàn)有質(zhì)量為有質(zhì)量為m的子彈以速率的子彈以速率v從棒的一端從棒的一端A點點射入棒中而射入棒中而不復(fù)出，如圖所示。求：不復(fù)出，如圖所示。求：棒開始運動時的角速度棒開始運動時的角速度。ALo解：子彈與棒碰撞，對解：子彈與棒碰撞，對o軸角動量守恒。軸角動量守恒。JLm22331mLLmJL236是力矩的空間積累效應(yīng)是力矩的空間積累效應(yīng)一、力矩的功一、力矩的功rdF

19、dA rdFcos rdFt MddA 21MdA5.4 定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系 PrZxFrdd37dtdJJM 21dJddtdJ二、二、 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 21MdA21222121 JJ剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能2k21JE 21221k2k2121JJEEA38 合外力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所合外力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于它的轉(zhuǎn)動動能的增量。做的功等于它的轉(zhuǎn)動動能的增量。21222121JJAcPmghE 三三、剛體重力勢能剛體重力勢能iiiPghmEmmhmgiiiC0PEchihim39四四、定軸轉(zhuǎn)動的功能原理、機(jī)械能守恒

20、定律定軸轉(zhuǎn)動的功能原理、機(jī)械能守恒定律質(zhì)點系質(zhì)點系功能原理功能原理對剛體仍成立：對剛體仍成立： 1122PkPkEEEEAA 內(nèi)內(nèi)非非外外0 內(nèi)非內(nèi)非外外若若AA機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒常量常量 PkEE例題例題8 如圖所示，勻質(zhì)圓盤如圖所示，勻質(zhì)圓盤 M 靜止，有一粘土塊靜止，有一粘土塊 m從高從高 h處下落，在處下落，在P點與圓盤粘在一起。已知點與圓盤粘在一起。已知M=2m，= 600。求：。求：221mmgh gh2解：解：m下落過程下落過程 （m、地）系統(tǒng)機(jī)械能守恒、地）系統(tǒng)機(jī)械能守恒MoPmhxy0勢點勢點？0（1）碰撞后瞬間圓盤的角速度）碰撞后瞬間圓盤的角速度？（2）P 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到x 軸

21、時圓盤的角速度軸時圓盤的角速度？角加速度角加速度41（1）m、M 碰撞過程碰撞過程 t 極小，對極小，對 m + M 系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對故重力對O軸力矩可忽略，軸力矩可忽略，系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒。0090sinJRm222221mRmRMRJcosRgh220（2） m +M一起繞一起繞O軸轉(zhuǎn)動過程軸轉(zhuǎn)動過程 對對 m+ M+地球地球 系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。MomxyR422202121sinJJmgR令令 m 與與x重合時，重合時，0pEsincos222RgRghRhgR34221060RgmRmgRJM222由轉(zhuǎn)動定律：由轉(zhuǎn)動定律：

22、MomxyR,mgMomR43求（求（1） 桿下擺桿下擺 角后，角速度角后，角速度?（2 2）軸對桿作用力）軸對桿作用力? N解解(1) (1) 選桿選桿+ +地球為系統(tǒng)地球為系統(tǒng)只有重力（保守內(nèi)力）作功，機(jī)械能守恒。只有重力（保守內(nèi)力）作功，機(jī)械能守恒。例題例題9 均勻直桿質(zhì)量為均勻直桿質(zhì)量為m，長為，長為l ，初始時水平靜初始時水平靜止，止，AO= =l /4 ,/4 ,軸光滑。軸光滑。ABco01kE01PE令令初態(tài)初態(tài):22k21JEsin42lmgEP末態(tài)：末態(tài)：44 10sin4212lmgJ由平行軸定理由平行軸定理2mdJJc224121lmml 24872mlABco由機(jī)械能守

23、恒定律由機(jī)械能守恒定律 得：得：由由21lg7sin62（此結(jié)果也可以由轉(zhuǎn)動定律來求解）（此結(jié)果也可以由轉(zhuǎn)動定律來求解）45(2)(2)應(yīng)用質(zhì)心運動定理：應(yīng)用質(zhì)心運動定理：camgmN 3sincllmaNmg 4cttmaNcosmgABcomgNNlNt 5sin7642glacl4lactJmgl090sin4/由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律 67cos3gact46tlemgemgNcos74sin71316sin15372mgNctgtgNNtglt13411sin713mgNlcosmgNt74由（由（3）（）（4）（）（5）（）（6）可解出：）可解出：coNNlNt作業(yè)作業(yè)5.145.165.175.1847一、基本特征一、基本特征 (1) (1) 繞對稱軸高速旋轉(zhuǎn)繞對稱軸高速