高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：第一章集合與函數(shù)概念_5667

1、高中數(shù)學(xué)必修1 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念【】集合的含義與表示（1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.（ 2）常用數(shù)集及其記法N 表示自然數(shù)集，N或 N表示正整數(shù)集，Z 表示整數(shù)集， Q 表示有理數(shù)集，R 表示實(shí)數(shù)集 .（ 3）集合與元素間的關(guān)系對(duì)象 a 與集合 M 的關(guān)系是 aM ，或者 aM ，兩者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合 . 描述法： x | x 具有的性質(zhì) ，其中 x 為集合的代表元素 . 圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合 .（ 5）集合的分類含有有限個(gè)元素的集合

2、叫做有限集. 含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集. 不含有任何元素的集合叫做空集().【 1.1.2】集合間的基本關(guān)系（ 6）子集、真子集、集合相等名稱記號(hào)意義性質(zhì)AB(1)AA子集（或A中的任一元素都屬(2)A于 B(3)若 AB 且 BC，則ACBA)(4)若 AB 且 BA，則 ABABAB，且 B中至少（1）A （ A 為非空子集）真子集有一元素不屬于 A（或 BA）(2)若 AB 且 BC，則AC集合A 中的任一元素都屬(1)ABAB于 B，B 中的任一元素相等(2)BA都屬于 A（ 7）已知集合 A 有 n(n1) 個(gè)元素，則它有 2n 個(gè)子集，它有2n 1個(gè)真子集，它有2n真子集 .

3、【 1.1.3】集合的基本運(yùn)算（ 8）交集、并集、補(bǔ)集名稱記號(hào)意義性質(zhì) x | x（1） AIAAA IA, 且交集B（2） AI（3） AIBAx B示意圖A(B)BA或BAA(B)1個(gè)非空子集，它有2n2 非空示意圖ABAIBB x | x（1）A, 或A U B（2）并集（3）xBAUAAA UAAUBAAUBBAB1A I (e A)2 A U e A U( U)U x | x U , 且x A痧U(AI B) (UA)U(?UB)補(bǔ)集e AU痧(AU B) (UA) I(? B)UU【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法（ 1）含絕對(duì)值的不等式的解法不等式解集| x |a

4、( a0) x |axa| x |a(a0)x | xa 或 xa把 axb 看 成 一 個(gè) 整 體 ， 化 成 | x | a ，| axb |c,| axb |c(c0)| x |a(a0) 型不等式來(lái)求解（2）一元二次不等式的解法判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程bb24acax2bx c 0( a 0)x1,22ax1bx22aO無(wú)實(shí)根的根（其中 x1x2 )ax2bxc0(a0) x | xb R x | x x1 或 x x2的解集2aax2bxc0( a0)xx2 x | x1的解集 1.2 函數(shù)及其表示【 】函數(shù)的概念（ 1）函數(shù)的概念設(shè) A

5、 、 B 是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f ，對(duì)于集合A 中任何一個(gè)數(shù) x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù)f ( x) 和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A ， B以及A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合A 到 B 的一個(gè)函數(shù)，記作f : AB 函數(shù)的三要素: 定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)（ 2）區(qū)間的概念及表示法設(shè) a, b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)， 且 ab ，滿足 a xb 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間， 記做 a, b ；滿足 ax b 的實(shí)數(shù) x的集合叫做開(kāi)區(qū)間， 記做 ( a,b) ；滿足 axb ，或 ax b 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做半

6、開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做 a, b) ，(a,b ；滿足 xa, xa, x b, xb 的實(shí)數(shù) x 的集合分別記做 a,),( a, ),( ,b,(,b) 注意： 對(duì)于集合 x | axb 與區(qū)間(a, b) ，前者 a 可以大于或等于b ，而后者必須a b （ 3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則： f ( x) 是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù) f ( x) 是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù) f ( x) 是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1 ytan x 中， xk(kZ ) 2零（負(fù)

7、）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若 f ( x) 是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是： 若已知 f (x) 的定義域?yàn)?a,b ，其復(fù)合函數(shù)f g (x) 的定義域應(yīng)由不等式 a g( x) b 解出對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義（ 4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與

8、值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法：若函數(shù)y f ( x) 可以化成一個(gè)系數(shù)含有y 的關(guān)于x 的二次方程 a( y) x2b( y) x c( y)0 ，則在a( y) 0時(shí)，由于x, y 為實(shí)數(shù)，故必須有b2 ( y)4a( y)c( y) 0 ，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)

9、化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【】函數(shù)的表示法（ 5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（ 6）映射的概念設(shè) A 、 B 是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f ，對(duì)于集合 A 中任何一個(gè)元素，在集合B 中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則f

10、）叫做集合 A 到 B 的映射，記作f : AB 給定一個(gè)集合A 到集合 B 的映射，且 aA, bB 如果元素 a 和元素 b 對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)【 】單調(diào)性與最大（?。┲担?1）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的定義性 質(zhì)如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x1 、x2 , 當(dāng) x1 < x 2 時(shí)，都有f(x)<f(x) ， 那 么 就說(shuō)12f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x 、 x ，當(dāng) x < x 時(shí)，都12

11、12有 f(x 1)>f(x 2 ) ， 那 么 就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù) 圖象y y=f(X)f(x2 )f(x1 )ox1x2xyy=f(X)f(x 1)f(x 2 )ox 1x 2x判定方法（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象上升為增）（ 4）利用復(fù)合函數(shù)（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（ 4）利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)對(duì)于復(fù)合函數(shù)yf g ( x) ，令 ug (x

12、) ，若 yf (u) 為增， ug (x) 為增，則yf g( x) 為增；若yf (u) 為減， ug ( x) 為減，則 yf g( x) 為增；若 yf (u) 為增， ug( x) 為減，則 yf g( x) 為減；若 yf (u) 為減， ug ( x) 為增，則 yf g( x) 為減（ 2）打“”函數(shù)f (x)xa (a0) 的圖象與性質(zhì)xf (x) 分別在 ( ,a 、a, ) 上為增函數(shù)， 分別在 a , 0) 、 (0,a 上為減函數(shù)（ 3）最大（?。┲刀xy一般地，設(shè)函數(shù) y f (x) 的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù)M 滿足：（ 1）對(duì)于任意的 xI ，都有oxf (

13、 x)M ；（2）存在 x0I ，使得 f ( x0 )M 那么，我們稱M 是函數(shù) f (x)的最大值，記作 fmax ( x) M 一般地，設(shè)函數(shù) yf ( x) 的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù)m 滿足：（ 1）對(duì)于任意的 xI ，都有 f (x)m ；（2）存在 x0I ，使得f (x0 ) m 那么，我們稱 m 是函數(shù)f (x) 的最小值，記作 fmax (x)m 【 】奇偶性（ 4）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)（ 1）利用定義（要先任意一個(gè) x，都有 f( x)=判斷定義域是否關(guān)于f(x) ,那么函數(shù) f(x)叫做奇函原點(diǎn)對(duì)稱）數(shù)（

14、 2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)（ 1）利用定義（要先任意一個(gè) x，都有 f( x)=f(x) ,判斷定義域是否關(guān)于那么函數(shù) f(x)叫做偶函數(shù) 原點(diǎn)對(duì)稱）（ 2）利用圖象（圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱）若函數(shù) f ( x) 為奇函數(shù)，且在x0 處有定義，則f (0)0 奇函數(shù)在y 軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y 軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)補(bǔ)充知識(shí)函數(shù)的圖象（ 1）作圖利用描點(diǎn)法作圖：確定函

15、數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫(huà)出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換y f ( x)h 0,左移 h個(gè)單位y f (x h) y f ( x)k 0,上移 k個(gè)單位y f (x) kh 0,右移 | h|個(gè)單位k 0,下移 | k|個(gè)單位伸縮變換yf ( x)01,伸1,縮yf ( x)0A 1,縮A 1,伸對(duì)稱變換y f ( x) y Af ( x)yf ( x)yf ( x)yf ( x)y f ( x)（ 2）識(shí)圖x軸f (x)yf (x)y軸yf (x)y原點(diǎn)f ( x)yf (