微積分下 無窮級數(shù) 3

1、第三節(jié)第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念一、函數(shù)項級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算 冪級數(shù)冪級數(shù) 一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念201nnxxx, 例如級數(shù)例如級數(shù) 12nux ,ux ,ux ,I設 是定義在區(qū)間 上的函設 是定義在區(qū)間 上的函 121nnnuxuxuxux 數(shù)，則數(shù)，則I.稱為定義在區(qū)間 上的函數(shù)項無窮級數(shù)稱為定義在區(qū)間 上的函數(shù)項無窮級數(shù)1.1.收斂點與收斂域收斂點與收斂域: : 0001nnxIuxx 如果，且數(shù)項級數(shù)收斂，則稱如果，且數(shù)項級數(shù)收斂，則稱 1nnux 為級數(shù)的收斂點，否則稱為發(fā)散點.為級數(shù)的

2、收斂點，否則稱為發(fā)散點. 1nnux 級數(shù)的所有收斂點的全體稱為收斂域，級數(shù)的所有收斂點的全體稱為收斂域，所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.lim( )( )nnS xS x 函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)項級數(shù)的部分和 sn(x)余項余項( )( )( )nnr xS xS x(x在收斂域上在收斂域上)lim( )0nnr x 2.2.和函數(shù)和函數(shù): :12( )( )( )( )nS xu xu xu x( (定義域是定義域是?)?) xS x在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是 的函數(shù)，在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是 的函數(shù)， S x稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).2

3、01,nnnxxxx 例如級數(shù)例如級數(shù)當當-1x1時，時，和函數(shù)和函數(shù) S(x)=2lim( )lim(1+)nnnnS xxxx 11lim11nnxxx 當當x-1或或x1時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散2011,1nnnxxxxx = =(11)x即：即：發(fā)散域發(fā)散域收斂域收斂域二、冪級數(shù)及其收斂區(qū)間二、冪級數(shù)及其收斂區(qū)間1 1形如形如20120nnnnna xaa xa xa x 01,naaa的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù).稱為的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù).稱為冪級數(shù)的系數(shù).冪級數(shù)的系數(shù).201,nnnxxxx 例如級數(shù)例如級數(shù)23011111!2!3!nnnxxxxxnn 都是冪級數(shù).都是冪級數(shù).冪級數(shù)更一

4、般的形式是:冪級數(shù)更一般的形式是: 20010200()nnnaxxaaxxaxx 0.nnaxx 0 x此種冪級數(shù)稱為在點處的冪級數(shù).此種冪級數(shù)稱為在點處的冪級數(shù).0.nnna x 便成為冪級數(shù)便成為冪級數(shù)0.nnna t 000.nnnxa x 的冪級數(shù)的冪級數(shù)000，,xtxx當時令當時令,因此,不失一般性 我們僅討論在點因此,不失一般性 我們僅討論在點00,x 當時當時證明證明0lim0nnna x, 001nnna x, 收斂收斂定理定理1 (Abel定理定理) 0000nnna xxxx 如果級數(shù)在處收斂，則如果級數(shù)在處收斂，則0 xxx 它在滿足不等式的一切 處絕對收斂；它在滿足

5、不等式的一切 處絕對收斂；00nnna xxx 如果級數(shù)在處發(fā)散，則它在滿足如果級數(shù)在處發(fā)散，則它在滿足0 xxx 不等式的一切 處發(fā)散.不等式的一切 處發(fā)散.發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收收 斂斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散ox),2, 1(0nMxann0(0 1 2)nna xMn, , , 使使得得M , nna x 00nnnxa xx 0nxMx 01x,x 當當時時00nnxM,x 等等比比級級數(shù)數(shù)收收斂斂0nnna x, 收收斂斂0nnna x; 即即級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂00nnnnxa xx 02xx, 假假設設當當時時發(fā)發(fā)散散110 xxx 而有一點 滿足，且使級數(shù)收斂，而有一點 滿足，且

6、使級數(shù)收斂， 01xx 由的結論，則級數(shù)當時應收斂.由的結論，則級數(shù)當時應收斂.這與假設矛盾.這與假設矛盾.00nnna xx 推論：如果冪級數(shù)不是僅在一點收斂，推論：如果冪級數(shù)不是僅在一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確定的也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確定的R正數(shù) 存在，且具有下列性質(zhì)：正數(shù) 存在，且具有下列性質(zhì)：xR 當時，冪級數(shù)絕對收斂；當時，冪級數(shù)絕對收斂；xR 當時，冪級數(shù)發(fā)散；當時，冪級數(shù)發(fā)散；xRxR 當當或或時時，冪冪級級數(shù)數(shù)可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散. .冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間. .)R,R , (R

7、,R , R,R . ()R,R , 0nnnRa x 此正數(shù) 稱為冪級數(shù)的收斂半徑.此正數(shù) 稱為冪級數(shù)的收斂半徑.020nnnna xa 定理若冪級數(shù)的所有系數(shù)，定理若冪級數(shù)的所有系數(shù)， 1limlimnnnnnnaaa 設或，則設或，則 110R 當時，；當時，； 20R 當時，；當時，； 30R. 當時，當時，0R, 規(guī)定：規(guī)定：R, 10 x 冪級數(shù)只在處收斂，冪級數(shù)只在處收斂，0 x. 收斂區(qū)間收斂區(qū)間 2x冪級數(shù)對一切 都收斂，冪級數(shù)對一切 都收斂， ,. 收斂區(qū)間收斂區(qū)間11limnnnnnaxa x x 11lim(0)nnna,a 如果存在如果存在由比值審斂法由比值審斂法,1

8、| x |, 當時當時0nnn|a x |, 級級數(shù)數(shù)收收斂斂0nnna x. 從從而而級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂證明證明0nnna x 對對級級數(shù)數(shù)應應用用達達朗朗貝貝爾爾判判別別法法11limnnnnnaxa x 1limnnnaxa x , 1| x |, 當時當時0nnn|a x |, 級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散n并且從某個 開始并且從某個 開始11nnnn|ax| |a x |, 0nn| a x|0nnna x. 從從而而級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散1R; 收斂半徑收斂半徑 20, 如果如果0 x, 110 ()nnnnaxn,a x 有有0nnn|a x |, 級級數(shù)數(shù)收收斂斂0nnna x. 從從而而

9、級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂R; 收斂半徑收斂半徑 3, 如果如果0 x, 0nnna x 級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散0(10)nnnx|a x | 否否則則由由定定理理 知知必必有有點點使使收收斂斂0R.收斂半徑收斂半徑定理證畢定理證畢.0nnna x. 級數(shù)必發(fā)散級數(shù)必發(fā)散例例1 1 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解解1limnnnaa lim1nnn 1 1R1x, 當當時時1x, 當當時時 11nn,n 級級數(shù)數(shù)為為11n,n 級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散 111;nnnxn 1 1, 故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為limnnna limnn , 0,R 12;nn

10、nx 0 x. 級數(shù)只在處收斂級數(shù)只在處收斂(1)1limnnnaa 2lim1nnn 2 12R,1122x,即收斂即收斂 0 1x, 收斂收斂 121412nnnnxn 0 x, 當當時時11n,n 級數(shù)為級數(shù)為1x, 當當時時 11nn,n 級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為(0, 1. 12121ntxnnntn 令令(3)解解3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為（缺少偶次冪的項）（缺少偶次冪的項）應應用用達達朗朗貝貝爾爾判判別別法法級數(shù)收斂級數(shù)收斂,2112x, 當當2x, 即即時時2112nnnx. 例2 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間例2 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間不能直接應用定理，不

11、能直接應用定理，（缺項級數(shù)）（缺項級數(shù)） 1limnnnuxux 211212lim2nnnnnxx 212x , 2112x, 當當2x, 即即時時級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,發(fā)散發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為原級數(shù)的收斂區(qū)間為).2, 2( 當當112n, 級數(shù)為級數(shù)為2x 02,nnna xR 例5 設冪級數(shù)的收斂半徑對級數(shù)例5 設冪級數(shù)的收斂半徑對級數(shù) 13,nnnaxAB 而言為收斂點的集合; 為發(fā)散點的集合;而言為收斂點的集合; 為發(fā)散點的集合;C為尚不能確定收斂性點的集合.試將下列值:為尚不能確定收斂性點的集合.試將下列值:12,1, 0,1, 2, 3, 4, 5, , ee,歸入相應的集合.

12、,歸入相應的集合.12,nnna xR 解的收斂半徑解的收斂半徑12nnnxa x 時,收斂;時,收斂;12nnnxa x 時,發(fā)散;時,發(fā)散;例例312nnnxa x 時,斂散性不定.時,斂散性不定. 1323nnnxax 即時,收斂,即時,收斂,5x由1由112,1, 0,1, 2, 3, 4, 5, , ee, , 1323nnnxax 時,發(fā)散,時,發(fā)散,51,xx由或由或12, 1,0,;Be 2,3,4,;eA 1323nnnxax 時,斂散性不定,時,斂散性不定,1,5xx由由 1,5.C三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算1.1.代數(shù)運算性質(zhì)代數(shù)運算性質(zhì): :(1) 加減法加減法0

13、0nnnnnna xb x 0nnnc x . 12minRR ,R ( 其中其中)nnncab xR,R 1200nnnnnna xb xRR,設和的收斂半徑各為和設和的收斂半徑各為和(2) 乘法乘法00() ()nnnnnna xb x 0nnnc x . xR,R ( (其中其中0110)nnnncababab (3) 除法除法00nnnnnna xb x 0nnnc x . 0(0)nnnb x 收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)( (相除后的收斂區(qū)間比原來相除后的收斂區(qū)間比原來2.2.和函數(shù)的分析運算性質(zhì)和函數(shù)的分析運算性質(zhì): :兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多) ) 0nnna xS x

14、R,R (1)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間(1)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在端點收斂，則在端點單側連續(xù).內(nèi)連續(xù)，在端點收斂，則在端點單側連續(xù).000( )()xxnnnS x dxa xdx 即即 00nxnndxxa.110 nnnxna( (收斂半徑不變收斂半徑不變) ) 0(2)nnna xS xR,R 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間 xR,R 內(nèi)可積，且對可逐項積分.內(nèi)可積，且對可逐項積分. 0nnnSxa x 即即 0nnna x 11nnnna x. 0(3)nnna xS xR,R 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導，并可逐項求導任意次.內(nèi)

15、可導，并可逐項求導任意次.( (收斂半徑不變收斂半徑不變) )解解 111nnnxS x,n 設設 0 xSt dt 兩邊積分得：兩邊積分得： 21Sxxx 11,x (11)x 111nnnx.n 例6 求級數(shù)的和函數(shù)例6 求級數(shù)的和函數(shù) ln 1x例例4 4 0ln 1S xSx 即即1x, 又時又時 1111nn.n 收斂收斂 111ln 1nnnxx .n (11)x ln 1S xx , 00S, 1x, 時時11n.n 發(fā)散發(fā)散當當 x = 1 時，可得：時，可得：n1 11 11 11 11 11 1- -+ +- -+ + +( (- -1 1) )+ += =l ln n2

16、22 23 34 4n n- -解解 11nnn nx , 考慮級數(shù)考慮級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 11nnS xn nx 則則11nnxx 21xxx 321x,x 112nnn n 故故12S 8. 112nnn n 例7 求的和.例7 求的和. 111nnxn nx 例例5 5例例6 6 求冪級數(shù)求冪級數(shù)nxn=1=11 1! !n n的收斂區(qū)間及和函數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)R, 1limnnnaa 1lim1nn 0, ,. 收斂區(qū)間收斂區(qū)間設設s(x)=nxn=1=11 1! !n nnxxxn2 21 11 11 11 1+ + + + + +1 1! !2 2! ! !又s x( )( )nxxxn2 21 11 11 11 1+ + + + + +1 1! !2 2! ! !( )即s xs x( )