彈塑性力學04應力和應變關系

1、第四章 應力和應變關系一. 內容介紹    前兩章分別從靜力學和運動學的角度推導了靜力平衡方程，幾何方程和變形協(xié)調方程。由于彈性體的靜力平衡和幾何變形是通過具體物體的材料性質相聯(lián)系的，因此，必須建立了材料的應力和應變的內在聯(lián)系。應力和應變是相輔相成的，有應力就有應變； 反之，有應變則必有應力。對于每一種材料，在一定的溫度下，應力和應變之間有著完全確定的關系。這是材料的固有特性，因此稱為物理方程或者本構關系。    對于復雜應力狀態(tài)，應力應變關系的實驗測試是有困難的，因此本章首先通過能量法討論本構關系的一般形式。分別討論廣義胡克定理；具

2、有一個和兩個彈性對稱面的本構關系一般表達式；各向同性材料的本構關系等。    本章的任務就是建立彈性變形階段的應力應變關系。二. 重點    1. 應變能函數(shù)和格林公式；    2. 廣義胡克定律的一般表達式；    3. 具有一個和兩個彈性對稱面的本構關系；    4. 各向同性材料的本構關系；    3. 材料的彈性常數(shù)。§4.1 彈性體的應變能原理彈性體在外力作用下產生變形，因此外力在變形過程中作功。

3、同時，彈性體內部的能量也要相應的發(fā)生變化。借助于能量關系，可以使得彈性力學問題的求解方法和思路簡化，因此能量原理是一個有效的分析工具。本節(jié)根據(jù)熱力學概念推導彈性體的應變能函數(shù)表達式，并且建立應變能函數(shù)表達的材料本構方程。根據(jù)能量關系，容易得到由于變形而存儲于物體內的單位體積的彈性勢能，即應變能函數(shù)。探討應變能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表達的本構關系。如果材料的應力應變關系是線性彈性的，則單位體積的應變能必為應變分量的齊二次函數(shù)。因此由齊次函數(shù)的歐拉定理，可以得到用應變或者應力表示的應變能函數(shù)。 學習要點：    1. 應變能； &#

4、160;  2. 格林公式；    3. 應變能原理。1. 應變能彈性體發(fā)生變形時，外力將要做功，內部的能量也要相應的發(fā)生變化。本節(jié)通過熱力學的觀點，分析彈性體的功能變化規(guī)律。 根據(jù)熱力學的觀點，外力在變形過程中所做的功，一部分將轉化為內能，一部分將轉化為動能；另外變形過程中，彈性體的溫度將發(fā)生變化，它必須向外界吸收或釋放熱量。設彈性體變形時，外力所做的功為dW，則dW=dW1+dW2 其中，dW1為表面力Fs所做的功，dW2 為體積力Fb所做的功。變形過程中，由外界輸入熱量為dQ，彈性體的內能增量為dE，根據(jù)熱力學第一定律, dW1+dW2=dE -

5、dQ 因為 將上式代入功能關系公式，則 2. 格林公式如果加載很快，變形在極短的時間內完成，變形過程中沒有進行熱交換，稱為絕熱過程。絕熱過程中，dQ=0，故有 dW1+dW2=dE 對于完全彈性體,內能就是物體的應變能，設U0為彈性體單位體積的應變能，則由上述公式，可得 即 設應變能為應變的函數(shù)，則由變應能的全微分 對上式積分，可得U0=U0（eij），它是由于變形而存儲于物體內的單位體積的彈性勢能，通常稱為應變能函數(shù)或變形比能。在絕熱條件下，它恒等于物體的內能。    比較上述公式，可得 以上公式稱為格林公式，格林公式是以能量形式表達的本構關系。3. 應變能原理

6、如果加載緩慢，變形過程中物體與外界進行熱交換，但物體的溫度保持不變，稱為等溫過程。設等溫過程中，輸入物體的單位體積熱量為dQ，熵的增量為dS，對于彈性變形等可逆過程，根據(jù)熱力學第二定律，有 因為 ，dQ=TdS，  所以， Q=TS。 上式中，T 為絕對溫度，TS為輸入單位體積的熱能。代入公式可得 所以。上式中，E0為物體單位體積的內能，TS為輸入的熱能，即U0=E0 - TS 。所以在等溫條件下，功能公式仍然成立。    上述公式是從熱力學第一和第二定律出發(fā)得到的，因此它不受變形的大小和材料的性質的限制。    如果材料的

7、應力應變關系是線性彈性的，則由格林公式，單位體積的應變能必為應變分量的齊二次函數(shù)。因此根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉定理，可得 即用張量表示，寫作設物體的體積為V，整個物體的應變能為§4.2 廣義胡克定義根據(jù)彈性體的應變能函數(shù)，可以確定本構方程的能量表達形式。本節(jié)的任務是利用應變能函數(shù)推導應力和應變的一般關系。如果將應力分量表達為應變分量的函數(shù)，可以得到應力和應變關系的一般表達式。對于小變形問題，這個一般表達式可以展開為泰勒級數(shù)。對于各向同性材料，根據(jù)應力與應變的性質，可以得到具有36個常數(shù)的廣義胡克定理。學習要點：    1. 應力應變關系的一般表達式； 

8、;   2. 廣義胡克定理。   1. 應力應變關系的一般表達式由于應變能函數(shù)的存在，通過格林公式就可求出應力。本節(jié)將通過應變能的推導應力和應變的一般關系。若將應力表達為應變的函數(shù)，則應力和應變關系的一般表達式為 這里的函數(shù)f i（i=1，2,，6）取決于材料自身的物理特性。對于均勻的各向同性材料，單向拉伸或壓縮時，應力應變關系可以通過實驗直接確定。但是對于復雜的應力狀態(tài)，即使是各向同性的材料，也很難通過實驗直接確定其關系。    這里不去討論如何建立一般條件下的應力應變關系，僅考慮彈性范圍內的小變形問題。對于小變

9、形問題，上述一般表達式可以展開成泰勒級數(shù)，并且可以略去二階以上的高階小量。例如將的第一式展開，可得上式中（ f 1）0表達了函數(shù) f 1 在應變分量為零時的值，根據(jù)應力應變的一般關系式可知，它代表了初始應力。2. 廣義胡克定理根據(jù)無初始應力的假設，（f 1）0應為零。對于均勻材料，材料性質與坐標無關，因此函數(shù) f 1 對應變的一階偏導數(shù)為常數(shù)。因此應力應變的一般關系表達式可以簡化為上述關系式是胡克（Hooke）定律在復雜應力條件下的推廣，因此又稱作廣義胡克定律。 廣義胡克定律中的系數(shù)Cmn（m，n=1，2，6）稱為彈性常數(shù)，一共有36個。 如果物體是非均勻材料構成的，物體內各點受力后將有不同的

10、彈性效應，因此一般的講，Cmn 是坐標x，y，z的函數(shù)。 但是如果物體是由均勻材料構成的，那么物體內部各點，如果受同樣的應力，將有相同的應變；反之，物體內各點如果有相同的應變，必承受同樣的應力。 這一條件反映在廣義胡克定理上，就是Cmn 為彈性常數(shù)。 §4.3 各向異性彈性體的本構關系 本節(jié)應用應變能函數(shù)推導各向異性材料的本構關系。對于完全的各向異性彈性體，本構關系有21個彈性常數(shù)，對于具有一個彈性對稱面的各向異性材料，本構各向具有13個彈性常數(shù)。對于正交各向異性材料，彈性常數(shù)有9個。正交各向異性材料的本構方程中，正應力僅與正應變有關，切應力僅與對應的切應變有關，因此拉壓與剪切之間，

11、以及不同平面內的剪切之間將不存在耦合作用。學習要點：    1. 完全各向異性彈性體；    2. 有一個彈性對稱面的彈性體；    3. 有一個彈性對稱面的彈性體本構關系；    4. 正交各向異性彈性體；    5. 正交各向異性彈性體本構關系。下面從廣義胡克定理公式出發(fā)，用應變能的概念建立常見的各向異性彈性體的應力和應變關系。1.完全各向異性彈性體    根據(jù)格林公式和廣義胡克定律，有對于上式，如果對切應變gx

12、y求偏導數(shù)，有同理，有 對于上式，如果對正應變ex求偏導數(shù)，有      因此，C14=C41。對于其它的彈性常數(shù)可以作同樣的分析，則  Cmn=Cnm     上述結論證明完全各向異性彈性體只有21個彈性常數(shù)。其本構方程為    2具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體    如果彈性體內每一點都存在這樣一個平面，和該面對稱的方向具有相同的彈性性質，則稱該平面為物體的彈性對稱面。 垂直于彈性對稱面的方向稱為物體的彈性主方向。若設yz為彈性對稱面，則x軸為彈性主方向。

13、以下根據(jù)完全各向異性彈性體本構方程，推導具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體的本構方程。將x軸繞動 z 軸轉動 角度，成為新的 Ox'y'z'坐標系。新舊坐標系之間的關系為 xyzx'l1=-1m1=0n1=0y'l2=-1m2=0n2=0z'l3=-1m3=0n3=0根據(jù)彈性對稱性質。關于x軸對稱的應力和應變分量在坐標系變換時保持不變，而關于x軸反對稱的應力和應變分量在坐標系變換時取負值。所以sx' =sx，sy' =sy，sz' =sz，tx'y' =txy，ty'z' =tyz，tz&#

14、39;x' =tzxex' =ex，ey' =ey，ez' =ez，gx'y' =gxy，gy'z' =gyz，gz'x' =gzx    根據(jù)彈性主方向性質，作這一坐標變換時，本構關系將保持不變。    根據(jù)完全各向異性彈性體的本構方程，將上述關系式代入廣義胡克定理，可得 將上式與廣義胡克定理相比較，要使變換后的應力和應變關系保持不變，則必有 C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0 這樣，對于具有一個彈性對稱面的彈性體，其彈性

15、常數(shù)由21個將減少為13個。具有一個彈性對稱面的彈性體的應力應變關系為 3正交各向異性彈性體        若物體每一點有兩個彈性對稱面，稱為正交各向異性彈性體。以下根據(jù)完全具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體本構方程     推導具有兩個彈性對稱面的各向異性彈性體的本構方程。設xz平面也是彈性對稱面，即y軸也是彈性主方向。在具有一個彈性對稱面的基礎上，將y軸繞動 z軸轉動p角度，成為新的Ox'y'z'坐標系,  如圖所示根據(jù)彈性對稱性質。關于y 軸對稱的應力和應變分量在坐

16、標系變換時也保持不變，而關于y 軸反對稱的應力和應變分量在坐標系變換時取負值。所以，則新舊坐標系下的應力和應變分量的關系為 sx' =sx，sy' =sy，sz' =sz，tx'y' =-txy，ty'z' =-tyz，tz'x' =tzx   ex' =ex，ey' =ey，ez' =ez，gx'y' =-gxy，gy'z' =-gyz，gz'x' =gzx   將上述關于y 軸彈性對稱的應力應變關系代入具有一個彈性對稱面的各向異

17、性材料本構關系。為保持應力和應變在坐標變換后不變，則必有C15= C25= C35= C64=0這樣，對于具有二個彈性對稱面的彈性體， 如圖所示其彈性常數(shù)由13個將減少為9個。于是其應力應變關系簡化為假如彈性體有3個彈性對稱面，也就是說，如果設xy平面也是彈性對稱面，z軸也為彈性主方向，則類似的推導可以證明，本構方程不會出現(xiàn)有新的變化。 因此， 如果相互垂直的3個平面中有兩個彈性對稱面， 則第三個必為彈性對稱面。    二個彈性對稱面的彈性體本構方程表明：如果坐標軸與彈性主方向一致時，正應力僅與正應變有關，切應力僅與對應的切應變有關，因此拉壓與剪切之間，以及不同平

18、面內的剪切之間將不存在耦合作用。這種彈性體稱為正交各向異性彈性體，其獨立的彈性常數(shù)為9個。§4.4 各向同性彈性體各向同性彈性體，就物理意義來講，就是物體各個方向上的彈性性質完全相同，即物理性質的完全對稱。該物理意義在數(shù)學上的反映，就是應力和應變之間的關系在所有方位不同的坐標系中都一樣。對于各向同性材料，材料性質不僅與坐標軸的選取無關，而且與坐標軸的任意變換方位也無關。根據(jù)這一原則，可以確定具有2個獨立彈性常數(shù)的本構關系。各向同性材料的本構關系可以通過拉梅(Lamé)彈性常數(shù)l，m 表示；也可以通過工程彈性常數(shù)E, n, G 表示。各彈性常數(shù)可由實驗的方法測定。 學習要點：

19、    1. 各向同性彈性體；    2. 各向同性彈性體的應力和應變關系；    3. 應變表示的本構關系；    4. 彈性常數(shù)與應力表示的本構關系。  1. 各向同性彈性體各向同性彈性體，就其物理意義來講，就是物體各個方向上的彈性性質完全相同。這一物理意義在數(shù)學上的反映，就是應力和應變之間的關系在所有方位不同的坐標系中都一樣。    本節(jié)將從正交各向異性材料的應力應變公式出發(fā)，建立各向同性彈性體的應力和應變關系。對于各向

20、同性材料，顯然其材料性質應與坐標軸的選取無關，任意一個平面都是彈性對稱面。因此 C11=C22=C33,  C12=C23=C31,  C44=C55=C66于是其應力應變關系簡化為 其獨立的彈性常數(shù)僅為C11，C12和C44。但是各向同性彈性體的彈性常數(shù)不但與坐標軸的選取無關，而且與坐標軸的任意變換方位也無關。為了簡化分析，將坐標系沿z 軸旋轉任一角度j。新舊坐標系之間的關系如下所示： x y z x' l1=cos j m1=sin j n1=0 y' l2=-sin j m2=cos j n2=0 z' l3=0 m3=0 n3=1 2. 各向

21、同性彈性體的應力和應變關系根據(jù)應力分量轉軸公式，可得 根據(jù)應變分量轉軸公式 將以上兩式代入應力應變關系公式的第四式則 因為所以   根據(jù)應力應變表達式，可得比較上述兩個公式，可得，2C44 = C11-C12。所以各向同性彈性體的彈性常數(shù)只有兩個。其應力和應變關系為其中。3. 應變表示的本構關系為了使得各向同性材料的本構關系公式表達簡潔，令 則同性材料的本構關系公式可以簡化為 或寫作張量表達式 上述公式即為各向同性彈性材料的廣義胡克（Hooke）定理，l，m稱為拉梅（Lamé）彈性常數(shù)。    如果將坐標軸選取的與彈性體內某點的應力主方向重合，則對應的切應力分量均應為零。根據(jù)各向同性材料的本構關系的后三式可見，此時所有的切應變分量也為零。 根據(jù)上述分析，對于各向同性彈性體內的任一點， 應力主方向和應變主方向是一致的。 因此這三個坐標軸，即應力主軸同時又是應變主軸方向，對于各向同性彈性體，應力主方向和應變主方向二者是重合的。 設體積應力為將拉梅公式的前三式相