等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

1、等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和公式項和公式: :2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 1. 1.將等差數(shù)列前將等差數(shù)列前n n項和公式項和公式 看作是一個關(guān)于看作是一個關(guān)于n n的函數(shù)，這個函數(shù)的函數(shù)，這個函數(shù) 有什么特點？有什么特點？2) 1(1dnnnaSn當(dāng)當(dāng)d00時時,S,Sn n是常數(shù)項為零的二次函數(shù)是常數(shù)項為零的二次函數(shù)21()22nddSnan則則 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項的最值問題項的最值問題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何

2、值時取何值時,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1) ( 2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 當(dāng)當(dāng)n=7時時,Sn取最大值取最大值49.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項的最值問題項的最值問題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時取何值時,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20當(dāng)當(dāng)n=7時時,Sn取最大值取最大值49.則則Sn的圖象如圖所示的圖象如圖所示又又S3=S11所以圖象的對稱軸為所以圖象的對稱軸為31172n 7n113Sn等差數(shù)列的

3、前等差數(shù)列的前n項的最值問題項的最值問題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時取何值時,Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=2當(dāng)當(dāng)n=7時時,Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由由100nnaa 得得152132nn a7+a8=0等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項的最值問題項的最值問題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時取何值時,Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得當(dāng)當(dāng)n=7時時,Sn取最大值取最大值49.a4+a5+a6+a11=

4、0而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70,a80,d0時時, 此時此時Sn有有,其其n的的值由值由an0且且an+10求得求得.當(dāng)當(dāng)a10時時, 此時此時Sn的的,其其n的的值由值由an 0且且an+1 0求得求得.練習(xí)練習(xí):已知數(shù)列已知數(shù)列an的通項為的通項為an=26-2n,要使此數(shù)列的前要使此數(shù)列的前n項和最大項和最大,則則n的值為的值為( )A.12 B.13 C.12或或13 D.14C2.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項和的性質(zhì)項和的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列, 公差為公差為 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中

5、中,其前其前n項的和為項的和為Sn,則有則有n2d性質(zhì)性質(zhì)1: 為等差數(shù)列為等差數(shù)列.nSn 性質(zhì)性質(zhì)3:若數(shù)列若數(shù)列an與與bn都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列,且且前前n項的和分別為項的和分別為Sn和和Tn,則則nnab 2121nnST （2)若項數(shù)為奇數(shù)若項數(shù)為奇數(shù)2n1,則則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項為中間項), 此時有此時有:S奇奇S偶偶= ,SS 奇奇偶偶an1nn 性質(zhì)性質(zhì)5:若若Sm=p,Sp=m(mp),則則Sm+p= (m+p) 性質(zhì)性質(zhì)6:若若Sm=Sp (mp),則則 Sp+m=0性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項數(shù)為偶數(shù)若項數(shù)為偶數(shù)2n,則則 S2n=n(a1+a2

6、n)=n(an+an+1) (an,an+1為中間項為中間項), 此時有此時有:S偶偶S奇奇= ,nd SS 奇奇偶偶1nnaa 例例1.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn,若若S3=9,S6=36,則則a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例例2.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用項和的性質(zhì)的應(yīng)用例例3.一個等差數(shù)列的前一個等差數(shù)列的前10項的和為項的和為100,前前1

7、00項的和為項的和為10,則它的前則它的前110項的和項的和為為 .110例例4.兩等差數(shù)列兩等差數(shù)列an 、bn的前的前n項和分項和分別是別是Sn和和Tn,且且71427nnSnTn 求求 和和 . 55abnnab556463ab 146823nnanbn 等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用項和的性質(zhì)的應(yīng)用例例5.一個等差數(shù)列的前一個等差數(shù)列的前12項的和為項的和為354,其中項數(shù)為偶數(shù)項的和與項數(shù)為奇數(shù)項其中項數(shù)為偶數(shù)項的和與項數(shù)為奇數(shù)項的和之比為的和之比為32:27,則公差為則公差為 .例例6.(09寧夏寧夏)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項的和項的和為為Sn,已知已知am-1

8、+am+1-am2=0,S2m-1=38,則則m= .例例7.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的通項公式為的通項公式為an=2n-7,則則|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .510153等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用項和的性質(zhì)的應(yīng)用例例8.設(shè)等差數(shù)列的前設(shè)等差數(shù)列的前n項和為項和為Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項和的性質(zhì)項和的性質(zhì)(2) 11(1)2nSnan nd1(122 )(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn圖象的對稱軸為圖象的對稱軸為5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得5121362

9、2d1362n即即由于由于n為正整數(shù)為正整數(shù),所以當(dāng)所以當(dāng)n=6時時Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.練習(xí)練習(xí)1 1已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列25,21,19, 25,21,19, 的前的前n項和項和為為Sn, ,求使得求使得Sn最大的序號最大的序號n的值的值. .練習(xí)練習(xí)2:2:求集合求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和的元素個數(shù)，并求這些元素的和. .60, 12mNnnmmM練習(xí)練習(xí)3：已知在等差數(shù)列：已知在等差數(shù)列 an n 中中, ,a10=23, ,a25=-22 , ,Sn為其前為其前n項和項和. .（1 1）問該數(shù)列從第幾項開始為負(fù)？）問該數(shù)列從第幾項開始為負(fù)？（2 2）

10、求）求S10（3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整數(shù)的最小的正整數(shù)n. . (4) (4) 求求| |a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3|+|+|+|an n| |的值的值1.1.根據(jù)數(shù)列前根據(jù)數(shù)列前n n項和，求通項公式項和，求通項公式. .1112nnnanaSSn 2 2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求 =An+Bn =An+Bn 的最值的最值. .ndandSn)2(2122.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項和的性質(zhì)項和的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列, 公差為公差為 在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,其前其前n項的和為項的和為Sn,則有則有n2d性質(zhì)性質(zhì)1: 為等差數(shù)列為等差數(shù)列.nSn 性質(zhì)性質(zhì)3:若數(shù)列若數(shù)列an與與bn都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列,且且前前n項的和分別為項的和分別為Sn和和Tn,則則nnab 2121nnST （2)若項數(shù)為奇數(shù)若項數(shù)為奇數(shù)2n1,則則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項為中間項), 此時有此時有:S奇奇S偶偶= ,SS 奇奇偶偶an1nn