概率論與數理統(tǒng)計第五章習題課

1、.1概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計第五章習題課.2大數定律大數定律一、主要內容一、主要內容中心極限定理中心極限定理切比雪夫定理特殊情況切比雪夫定理特殊情況伯努利大數定理伯努利大數定理辛欽大數定理辛欽大數定理依概率收斂依概率收斂林德伯格林德伯格- -勒維定理勒維定理棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理.3二、重點與難點二、重點與難點1.重點重點中心極限定理及其運用中心極限定理及其運用.2.難點難點證明隨機變量服從大數定律證明隨機變量服從大數定律.中心極限定理的應用中心極限定理的應用.4切比雪夫定理的特殊情況切比雪夫定理的特殊情況有有數數則對于任意正則對于任意正的算術平均的算術平均個隨機變

2、量個隨機變量作前作前和方差：和方差：且具有相同的數學期望且具有相同的數學期望相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX. 11lim|lim1 nkknnXnPXP.5定理一的另一種形式定理一的另一種形式(依概率收斂依概率收斂). , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收斂于依概率收斂于則序列則序列和方差：和方差：且具有相同的數學期望且具有相同的數學期望相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量.6伯努利大數定理伯努利大數定理有有則對于任意正數則對于任意正

3、數率率在每次試驗中發(fā)生的概在每次試驗中發(fā)生的概是事件是事件的次數的次數發(fā)生發(fā)生次獨立重復試驗中事件次獨立重復試驗中事件是是設設 , 0 , , ApAnnA. 0lim1lim pnnPpnnPAnAn或或.7辛欽大數定理辛欽大數定理), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且且具具有有數數學學期期望望服服從從同同一一分分布布相相互互獨獨立立設設隨隨機機變變量量有有則對于任意正數則對于任意正數, . 11lim1 nkknXnP.8獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理則隨機變量之和的則隨機變量之和的和方差：和方差：且具有數學期望且具有數學期望同一分布同一分布

4、服從服從相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn .111 nkknkknkknXDXEXY標標準準化化變變量量.9滿足滿足對于任意對于任意的分布函數的分布函數xxFn)( xtxt).(de2122 xnnXPxFnkknnn 1lim)(lim.10棣莫弗拉普拉斯中心極限定理棣莫弗拉普拉斯中心極限定理恒恒有有對對于于任任意意則則的的二二項項分分布布服服從從參參數數為為設設隨隨機機變變量量,)10(,), 2 , 1(xppnnn xtnntxpnpnpP.de21)1(lim22 .11 設某單位有200臺電話機，每臺電話機大約有5

5、的時間要使用外線通話，若每臺電話機是否使用外線通話是相互獨立的，問該單位總機至少需要安裝多少條外線，才能以90以上的概率保證每臺電話機需要使用外線時不被占用。 設X表示200200臺電話機中同時需要使用外線通話的電話機數，則X Xb(200,0.05)b(200,0.05)，并設安裝了k k條外線，依題意為求 PXk0.9PXk0.9 成立的最小正整數。根據中心極限定理有三、典型例題三、典型例題 解解: :.129 . 0)5 . 910(5 . 9105 . 910kkXPkXP查表得 14,30.15 .910kk故該單位至少需要安裝14條外線才能以90以上的概率保證每一臺電話機需要使用外

6、線時不被占用。 .13 現有一批種子現有一批種子,其中良種占其中良種占1/6.今任取今任取6000粒粒,問能以問能以0.99的概率保證在這的概率保證在這6000粒種子中粒種子中良種所占的比例與良種所占的比例與1/6的差不超過多少的差不超過多少?相應的良相應的良種粒數在哪個范圍內種粒數在哪個范圍內?解解: :.99. 061-6000P X，則則應應有有：設設不不超超過過的的界界限限為為由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: 61-6000P X.14 6/56/1600060006/56/160006/16000P X故近似地有故近似地有:,99. 016/56/1600060002 1

7、6/56/1600060002 . 6/1,6000 pn)(limxxnpqnpPnn .15,995. 06/56/160006000 即即,58. 26/56/160006000 查查表表得得.0124. 0 解解得得良種粒數良種粒數X的范圍為的范圍為:,6000)0124. 06/1(6000)0124. 06/1( X61-6000X.1075925 X即即第四章第四章 大數定律和中心極限定理大數定律和中心極限定理.16nXXX,21設設獨立同分布獨立同分布,則則且且, 0 iEX._)(lim1 nXPniin由辛欽大數定律由辛欽大數定律(取取 =1)有有:, 1)11(lim)1

8、01(lim11 niinniinXnPXnP又顯然有又顯然有:故故),()11(11nXXnniinii . 1)11(lim)(lim11 niinniinXnPnXP. 1, 1)(lim1即即應應填填從從而而有有 nXPniin.17 對足夠多的選民進行民意調查，以確定某一候選人的支持率。假定選民中有未知的百分數P支持他，并且他們彼此是獨立行動的。問：為了有95的信度預測P的值在4.5的誤差幅度內，應至少調查多少人？|(1)(1)(1)(1)(1)nnnnpnPpPnppnppnpnnPppppnpp nn 假假設設 應應該該調調查查 個個人人，其其中中有有個個人人支支持持他他，誤誤差

9、差為為 ，則則根根據據中中心心極極限限定定理理有有解解: :.182 ()10.95,(1)()0.975,(1)1.96(1)nppnppnpp 查查表表得得214.5%,0(1)411.96()474.34 4.5%475,475ppnn 又又故故取取即即最最少少調調查查個個人人。.19 炮火轟擊敵方防御工事 100 次, 每次轟擊命中的炮彈數服從同一分布, 其數學期望為 2 , 均方差為1.5. 若各次轟擊命中的炮彈數是相互獨立的, 求100 次轟擊(1) 至少命中180發(fā)炮彈的概率;(2) 命中的炮彈數不到200發(fā)的概率.解解: : 設設 X k 表示第表示第 k 次轟擊命中的炮彈數次

10、轟擊命中的炮彈數2()2,()1.5 ,1,2,100kkE XD Xk 12100,XXX相互獨立，相互獨立，設設 X 表示表示100次轟擊命中的炮彈數次轟擊命中的炮彈數, 則則1001,()200,()225,kkXXE XD X .20( 2 0 0 , 2 2 5 )XN近似由獨立同分布中心極限定理由獨立同分布中心極限定理, 有有(1) 180200(180)115P X (2)200 2000 200(0200)1515PX 1( 1.3)(1.3)0.91 (0)( 13.33)0.5 .21 售報員在報攤上賣報, 已知每個過路人在報攤上買報的概率為1/31/3. 令X X 是出售

11、了100100份報時過路人的數目，求 P P (280 (280 X X 320 320).). 令令Xi 為售出了第為售出了第 i 1 份報紙后到售出份報紙后到售出第第i 份報紙時的過路人數份報紙時的過路人數, i = 1,2,100 11/3()1,1,2,kipP Xkppk (幾何分布幾何分布)21/31/311()3,()6iipppE XD Xpp 解解: :.221001kkXX 12100,XXX相互獨立相互獨立,()300,()600E XD X (300,600) ()XN近近似似320 300280 300(280320)600600PX 2021600 20.81651

12、 0.5878 由獨立同分布中心極限定理由獨立同分布中心極限定理, 有有.23 檢驗員逐個檢查某產品,每查一個需用10秒鐘. 但有的產品需重復檢查一次，再用去10秒鐘. 若產品需重復檢查的概率為 0.5, 求檢驗員在 8 小時內檢查的產品多于1900個的概率. 若在若在 8 小時內檢查的產品多于小時內檢查的產品多于1900個個,即檢查即檢查1900個產品所用的時間小于個產品所用的時間小于 8 小時小時.設設 X 為檢查為檢查1900 個產品所用的時間個產品所用的時間(秒秒)設設 Xk 為檢查第為檢查第 k 個產品所用的時間個產品所用的時間(單單位：秒位：秒), k = 1,2,1900解解: :.24 XkP 10 200.5 0.