分形幾何概述阮火軍ppt課件

1、分形幾何概述浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 阮火軍內(nèi)容n分形幾何的開(kāi)展歷史n分形幾何的研討對(duì)象和研討方法n分形幾何的運(yùn)用分形幾何產(chǎn)生的背景n經(jīng)典幾何的研討對(duì)象:n 規(guī)那么的圖形，如圓，三角形等n問(wèn)題：n對(duì)于不規(guī)那么的圖形：如海岸線，云的邊境，我們?nèi)绾窝杏懀咳绾斡糜?jì)算機(jī)去生成？分形幾何的歷史n萌芽期：十九世紀(jì)末，二十世紀(jì)初.n Cantor集，Weierstrass函數(shù)等的提出.n構(gòu)成期：二十世紀(jì)六、七十年代.n Mandelbrot的大量任務(wù).n 1. 1967年，Science, 英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？n 2. 1975年，.n 分形(fractal)這個(gè)詞源于這本書(shū). 它是從意思n 是“不規(guī)那么的或者斷裂的

2、拉丁語(yǔ)“fractus派生n 出來(lái)的.分形幾何的歷史(續(xù))n開(kāi)展期：二十世紀(jì)八十年代至今.n 1. Hutchinson, 1981, 分形與自類似. n 給出了自類似集合的數(shù)學(xué)實(shí)際根底.n 2. Mandelbrot, 1982, .n 3. Barnsley, 1988, .n 4. Falconer, 1990, .英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)?n丈量方法：n 我們想象一個(gè)人沿著一段海岸線揀盡能夠短的道路步行，并規(guī)定每步長(zhǎng)度不超越，設(shè)這樣測(cè)得的海岸線長(zhǎng)度為L(zhǎng)().然后重新開(kāi)場(chǎng)，并使他在海岸線上最長(zhǎng)的步長(zhǎng)越來(lái)越短。n 用一只小老鼠替代人丈量。n 用蒼蠅替代小老鼠丈量。n丈量結(jié)論：隨著步長(zhǎng)越來(lái)越短，我

3、們丈量出來(lái)的海岸線長(zhǎng)度越來(lái)越長(zhǎng)。英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)(續(xù))?nRichardson的閱歷數(shù)據(jù)n L()與成正比，其中的值依賴于詳細(xì)的海岸線。而且對(duì)同一海岸線，對(duì)不同的區(qū)段，經(jīng)常得到不同的。在Richardson看來(lái)， 沒(méi)有什么特別意義。nMandelbrot的奉獻(xiàn)n 把的意義發(fā)掘出來(lái)，將1+ =D解釋為“分形維數(shù)。n 其它例子迭代動(dòng)力系統(tǒng)的問(wèn)題 的復(fù)合函數(shù)個(gè)是設(shè)fnffffn輸入：20Rp輸出：點(diǎn)列)(0pfn具有什么樣的性質(zhì)？問(wèn)：點(diǎn)列)(0pfn ): ( : 22，或者給定一個(gè)函數(shù)CCRRffJulia集的定義是一個(gè)復(fù)多項(xiàng)式函數(shù)， )( :0nkkkzazfCCf集的合的閉包稱為的斥性周期點(diǎn)

4、所組成集 Julia ff)( Julia , )( 2驗(yàn)證！集為單位圓周的則若fzzf集將非常復(fù)雜的時(shí)，當(dāng)則若 Julia 0 , )( 2fCCzzfJulia集的圖象C = -1C = -0.5+0.5iC=-0.2+0.75 iC=0.64 iMandelbrot集集稱為是有界數(shù)列Mandelbrot )0(1nncPcMczzPc2)( 令Mandelbrot集微積分中的一個(gè)問(wèn)題n如何研討在閉區(qū)間上處處延續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)：如Weierstrass函數(shù)？. 1 , 0 : 2.s1 , 1 , )sin( )(1)2(R fxxfkkks分形幾何的研討對(duì)象一自類似集n1 Cantor

5、集n2 Sierpinski墊片n3 Koch曲線Cantor集CCantor集C中的點(diǎn)的表示kjkjjaax103我們規(guī)定：，其中若；時(shí)，取當(dāng))000(221kkaaaxa；時(shí)，取當(dāng))222(1121kkaaaxa記為，：，可用三進(jìn)制小數(shù)展開(kāi))(2 , 1 , 03 1 , 0211njjjjaaaxaaxx，或的展開(kāi)式中，有在的充分必要條件是：，那么設(shè)jaxCxxj20 1 , 0 定理Cantor集C的根本性質(zhì)n1. “長(zhǎng)度為零.n2. 沒(méi)有孤立點(diǎn).n3. 閉集.n4. 自類似. 則設(shè))()( 3/23/)(，3/)( 定理2121CfCfC，xxfxxf Sierpinsk墊片Sier

6、pinsk墊片的生成過(guò)程第0步、第1步Sierpinsk墊片的生成過(guò)程第2步、第3步Sierpinski墊片的根本性質(zhì)n與Cantor集類似。n面積等于0.?)(, 問(wèn)題31321iiSfSfff，使得如何選取合適的：Koch曲線Koch曲線的生成過(guò)程第0步、第1步Koch曲線的生成過(guò)程第2步、第3步Koch曲線與雪花曲線銜接在一同的三段Koch曲線構(gòu)成一個(gè)雪花曲線Koch曲線的一些根本性質(zhì)n Koch曲線具有與Cantor集，Sierpinski墊片類似的性質(zhì).n長(zhǎng)度等于無(wú)窮.自類似集合的定義n類似緊縮映射的定義：類似緊縮映射的定義：n 設(shè)設(shè)f是從是從Rn到到Rn的映射，假設(shè)存在常數(shù)的映射，

7、假設(shè)存在常數(shù)1c0,使使得對(duì)于得對(duì)于Rn中的恣意兩點(diǎn)中的恣意兩點(diǎn)x,y,有有n |f(x)-f(y)|=c|x-y|,n 我們稱我們稱f是一個(gè)是一個(gè)Rn上的類似映射，類似比為上的類似映射，類似比為c.n關(guān)于自類似集合的定理及定義：關(guān)于自類似集合的定理及定義：n 設(shè)設(shè)f1, f2, ,fm 是是Rn上的一組類似緊縮映射，那上的一組類似緊縮映射，那么么n 存在存在Rn的一個(gè)非空子集的一個(gè)非空子集E，使得，使得n E=fi(E).n 我們稱集合我們稱集合E是一個(gè)自類似集合是一個(gè)自類似集合.分形幾何的研討對(duì)象二n自仿射集每個(gè)映射都是緊縮的仿射映射。n迭代函數(shù)系統(tǒng)的不變集每個(gè)映射都是緊縮映射。n分形函數(shù)

8、如：Weierstrass函數(shù)。n隨機(jī)分形如：隨機(jī)Koch曲線。隨機(jī)Koch曲線對(duì)海岸線的模擬分形集合的根本特征 我們很難給出分形的定義，但我們以為一個(gè)分形集合E應(yīng)該有如下的特征：E具有精細(xì)的構(gòu)造，即有恣意小比例的細(xì)節(jié)。E是如此的不規(guī)那么以致它的整體和部分都不能用傳統(tǒng)的幾何言語(yǔ)來(lái)描畫(huà)E通常具有某種自類似的方式，能夠是近似的或是統(tǒng)計(jì)的。分形集合的根本特征續(xù)u普通地，E的“分形維數(shù)以某種方式定義大于它的拓?fù)渚S數(shù)。u在大多數(shù)令人感興趣的情形下，E以非常簡(jiǎn)單的方式定義，能夠由迭代產(chǎn)生。分形幾何的研討方法維數(shù)和測(cè)度我們僅討論維數(shù)傳統(tǒng)意義下的維數(shù)： 點(diǎn)是0維的，線是1維的，平面是2維的， 立方體是三維的，

9、用這個(gè)維數(shù)去描寫(xiě)分形集合時(shí)的困難：Cantor集：含有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，長(zhǎng)度為0.Koch曲線：長(zhǎng)度為無(wú)窮，面積為0.Sierpinski墊片：長(zhǎng)度為無(wú)窮，面積為0.分形維數(shù)的一種定義1n換種角度看維數(shù).n 把線段放大兩倍后，所得線段可以看成是2個(gè)原來(lái)個(gè)線段疊加而成。n 把正方形放大兩倍后，所得正方形可以看成是422個(gè)原來(lái)的正方形疊加而成。n 把立方體放大兩倍后，所得立方體可以看成是823個(gè)原來(lái)的立方體疊加而成。分形維數(shù)的一種定義2n分形維數(shù)的一種直觀定義(不很確切).n 假設(shè)我們把集合E放大倍，得到的新集合可以由d個(gè)集合疊加而成，那么稱集合E的分形維數(shù)是d.幾個(gè)典型自類似集的分形維數(shù)nCantor

10、集: log2/log3.nSierpinski墊片: log3/log2.nKoch曲線: log4/log3.自類似集合的分形維數(shù)公式n設(shè)f1, f2, ,fm 是一組Rn上的類似緊縮映射，fi的類似比為ci, E是對(duì)應(yīng)的自類似集，假設(shè)fi(E)是兩兩不交的，那么E的分形維數(shù)d由下面的公式給出：nc1d+ c2d+ cmd=1.n注：帶下劃線的條件可以放寬到“開(kāi)集條件，使得Koch曲線，Sierpinski墊片的維數(shù)公式也可由此計(jì)算。迭代函數(shù)系-預(yù)備知識(shí)n度量空間(X;d)n柯西序列n完備度量空間n緊縮映射n不動(dòng)點(diǎn)nBanach不動(dòng)點(diǎn)定理：完備度量空間中的緊縮映射必存在獨(dú)一的不動(dòng)點(diǎn)。迭代函

11、數(shù)系-分形空間(H(X);h)nRn中緊集的定義：有界閉集n給定完備度量空間(X;d)，定義H(X)為X的一切非空緊子集所組成的集合。nH(X)上的度量h如下定義：).(,| ),(min),(XHBXxByyxdBxd).(,| ),(max),(XHBAAxBxdBAdBxBxd 0),(BABAd 0),(.),(),(max),(ABdBAdBAhn(H(X);h)是一個(gè)完備度量空間Hausdorff間隔計(jì)算實(shí)例nX=R. A=0,1, B=3,5.n 問(wèn)h(A,B)=?迭代函數(shù)系-定義及其性質(zhì) 上的一族壓縮映射，是完備度量空間設(shè) )( )21( X;d,N,nfn為：定義 )()( XHXHf).( ),()(1XHBBfBfNnn是一個(gè)雙曲迭代函數(shù)系稱 , 2 , 1,; NnfXn. )( 上的一個(gè)壓縮映射是則H(X);hf, XA 存在唯一的非空緊集于是，雙曲迭代函數(shù)系.)()( 1，且有使得NnAfAfA).(,)(XHBABfhn迭代函數(shù)系-意義 雙曲迭代函數(shù)系中對(duì)應(yīng)的A也稱為吸引子或者不變集，在許多情況下，它是一個(gè)分形集合