離散型隨機變量的均值與方差正態(tài)分布理PPT課件

1、第1頁/共52頁一、均值一、均值1一般地，若離散型隨機變量一般地，若離散型隨機變量X的分布列為的分布列為Xx1x2xixnPp1p2piPn則稱則稱E(X) 為隨機變量為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的的 x1p1x2p2xipixnpn平均水平平均水平第2頁/共52頁2若若YaXb，其中，其中a，b為常數(shù)，則為常數(shù)，則Y也是隨機變量，也是隨機變量， 且且E(aXb) .3若若X服從兩點分布，則服從兩點分布，則E(X) ； 若若XB(n，p)，則，則E(X) .aE(X)bnpp第3頁/共52頁二、方差二、方差1設(shè)離散型隨機變

2、量設(shè)離散型隨機變量X的分布列為的分布列為 則則 描述了描述了xi(i1,2，n)相對于平均值相對于平均值E(X)的的 偏離程度，而偏離程度，而D(X) 為這些偏離程度的為這些偏離程度的 加權(quán)平均，刻畫了隨機變量加權(quán)平均，刻畫了隨機變量X與其均值與其均值E(X) 的的 稱稱D(X)為隨機變量為隨機變量X的方差，其的方差，其 為隨機變量為隨機變量X的標準差的標準差Xx1x2xixnPp1p2pipn(xiE(X)2平均偏離程度平均偏離程度(xiE(X)2pi算術(shù)平方根算術(shù)平方根第4頁/共52頁2D(aXb) 3若若X服從兩點分布，則服從兩點分布，則D(X) a2D(X)4若若XB(n，p)，則，則

3、D(X) p(1p)np(1p)第5頁/共52頁隨機變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎隨機變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？樣的？提示：提示：隨機變量的均值、方差是一個常數(shù)，樣本均值，隨機變量的均值、方差是一個常數(shù)，樣本均值，方差是一個隨機變量，隨觀測次數(shù)的增加或樣本容量方差是一個隨機變量，隨觀測次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機變量的均值與方的增加，樣本的均值、方差趨于隨機變量的均值與方差差.第6頁/共52頁三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布1我們稱我們稱，(x) 的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線第7頁/共52頁2一般

4、地，如果對于任何實數(shù)一般地，如果對于任何實數(shù)ab，隨機變量，隨機變量X滿足滿足 ，則稱，則稱X 的分布為正態(tài)分布，的分布為正態(tài)分布， 正態(tài)分布完全由參數(shù)正態(tài)分布完全由參數(shù)和和確定，因此正態(tài)分布常記作確定，因此正態(tài)分布常記作 N(， 2)如果隨機變量如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為服從正態(tài)分布，則記為XN (，2)第8頁/共52頁3正態(tài)曲線的特點：正態(tài)曲線的特點： (1)曲線位于曲線位于x軸軸 ，與，與x軸不相交；軸不相交； (2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線曲線是單峰的，它關(guān)于直線 對稱；對稱； (3)曲線在曲線在 處達到峰值處達到峰值 ； (4)曲線與曲線與x軸之間的面積為軸之間的面積為 ；

5、(5)當當一定時，曲線隨著一定時，曲線隨著的變化而沿的變化而沿x軸平移；軸平移； (6)當當一定時，曲線的形狀由一定時，曲線的形狀由確定確定越小，曲線越越小，曲線越 “ “ ”，表示總體的分布越集中；，表示總體的分布越集中；越大，曲線越越大，曲線越 “ “ ”， 表示總體的分布越表示總體的分布越 上方xx 瘦高瘦高矮胖矮胖分散分散1第9頁/共52頁1設(shè)設(shè)XB(n，p)，若，若E(X)12，D(X)4，則，則n，p的值分別的值分別 為為 () A 18和和 B16和和 C20和和 D15和和第10頁/共52頁解析：解析：答案：答案：A第11頁/共52頁2如圖是當如圖是當取三個不同值取三個不同值1

6、、2、3的三種正態(tài)曲線的三種正態(tài)曲線 N(0，2)的圖象，那么的圖象，那么1、2、3的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是 () A11230 B01212130 D01213解析：解析：由正態(tài)曲線知由正態(tài)曲線知01210)若若X在在(0,1)內(nèi)取值的概率為內(nèi)取值的概率為0.4，則，則X在在(0,2)內(nèi)取內(nèi)取 值的概率為值的概率為_解析：解析：由正態(tài)曲線的對稱性知由正態(tài)曲線的對稱性知X在在(0,1)與與(1,2)內(nèi)取值的概內(nèi)取值的概率相同率相同X在在(0,2)內(nèi)取值的概率為內(nèi)取值的概率為0.40.40.8.答案：答案：0.8第15頁/共52頁5隨機變量隨機變量X的分布列如下：的分布列如下： 其中其中a，b，

7、c成等差數(shù)列若成等差數(shù)列若E(X) ，則，則D(X)的值是的值是 _X101Pabc第16頁/共52頁解析：解析：abc1.又又2bac，故故b由由E(X)故故aD(X)答案：答案：11,33ac , ,得得第17頁/共52頁第18頁/共52頁 對隨機變量對隨機變量X的均值的均值(期望期望)的理解：的理解：(1)均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義上的平均；均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義上的平均；(2)E(X)是一個實數(shù)，由是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定，也就是說隨的分布列唯一確定，也就是說隨 機變量機變量X可以取不同的值，而可以取不同的值，而E(X)是不變的，它描述的是是不變的，

8、它描述的是 X取值的平均狀態(tài)；取值的平均狀態(tài)；(3)E(X)的公式直接給出了的公式直接給出了E(X)的求法的求法第19頁/共52頁 (2010衡陽模擬衡陽模擬)一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有件，其中有n件次品，用戶先對產(chǎn)品進行抽檢以決定是否件次品，用戶先對產(chǎn)品進行抽檢以決定是否接收抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查接收抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查(取出的產(chǎn)取出的產(chǎn)品不放回箱子品不放回箱子)，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就

9、立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品(1)若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的條件下，記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為的條件下，記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為X，求，求X的分布列和的分布列和數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望第20頁/共52頁(1)利用古典概型易求利用古典概型易求.(2)X的取值為的取值為1、2、3，求出分布列代入期望公式，求出分布列代入期望公式.第21頁/共52頁【解解】(1)設(shè)設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件為事件A，n2.(2)X的可能取值為的可能取值為1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=

10、第22頁/共52頁X的概率分布列為：的概率分布列為：X123P1828109()123.5454545E X 第23頁/共52頁1(2010河南六市聯(lián)考河南六市聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的 招聘面試公司規(guī)定面試合格者可簽約甲、乙面試合格招聘面試公司規(guī)定面試合格者可簽約甲、乙面試合格 就簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽就簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽 約設(shè)每人面試合格的概率都是約設(shè)每人面試合格的概率都是 ，且面試是否合格互，且面試是否合格互 不影響求：不影響求： (1)至少有三人面試合格的概率；至少有三人面試合格的概率；

11、 (2)恰有兩人簽約的概率；恰有兩人簽約的概率； (3)簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望第24頁/共52頁解：解：(1)設(shè)設(shè)“至少有至少有3人面試合格人面試合格”為為事件事件A，則則P(A)(2)設(shè)設(shè)“恰有恰有2人簽約人簽約”為事件為事件B，“甲、乙兩人簽約，丙、丁兩人都不簽約甲、乙兩人簽約，丙、丁兩人都不簽約”為事件為事件B1；“甲、乙兩人都不簽約，丙、丁兩人簽約甲、乙兩人都不簽約，丙、丁兩人簽約”為事件為事件B2；則：則：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)第25頁/共52頁(3)設(shè)設(shè)X為簽約人數(shù)為簽約人數(shù)X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X

12、=3)=P(X=4)=第26頁/共52頁X01234P52024161620()01234.81848181819E X 第27頁/共52頁 離散型隨機變量的分布列刻畫了隨機變量取值的概離散型隨機變量的分布列刻畫了隨機變量取值的概率規(guī)律，隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，率規(guī)律，隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定論依據(jù)，

13、一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定第28頁/共52頁 (2010貴陽模擬貴陽模擬)有甲、乙兩個建材廠，都想投標有甲、乙兩個建材廠，都想投標參加某重點建設(shè)，為了對重點建設(shè)負責，政府到兩建材參加某重點建設(shè)，為了對重點建設(shè)負責，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強度指標，其分布列如下：拉強度指標，其分布列如下：第29頁/共52頁X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4 其中其中X和和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度，在使用分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度，在使用時要求選擇較高抗拉強度指數(shù)的材料，

14、越穩(wěn)定越好試時要求選擇較高抗拉強度指數(shù)的材料，越穩(wěn)定越好試從期望與方差的指標分析該用哪個廠的材料從期望與方差的指標分析該用哪個廠的材料 第30頁/共52頁分別計算期望與方差進行分析得出結(jié)論分別計算期望與方差進行分析得出結(jié)論.第31頁/共52頁【解解】E(X)80.290.6100.29，D(X)(89)20.2(99)20.6(109)20.20.4；E(Y)80.490.2100.49；D(Y)(89)20.4(99)20.2(109)20.40.8.由此可知，由此可知，E(X)E(Y)9，D(X)D(Y)，從而兩廠材料的抗，從而兩廠材料的抗拉強度指數(shù)平均水平相同，但甲廠材料相對穩(wěn)定，該選甲

15、廠拉強度指數(shù)平均水平相同，但甲廠材料相對穩(wěn)定，該選甲廠的材料的材料第32頁/共52頁2A，B兩個投資項目的利潤分別為隨機變量兩個投資項目的利潤分別為隨機變量X1和和X2，根，根 據(jù)市場分析，據(jù)市場分析，X1和和X2的分布列分別為：的分布列分別為：X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3第33頁/共52頁(1)在在A，B兩個項目上各投資兩個項目上各投資100萬元，萬元，Y1和和Y2分別表示投分別表示投資項目資項目A和和B所獲得的利潤，求方差所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)將將x(0 x100)萬元投資萬元投資A項目，項目，100 x萬元投資萬元投資B項

16、目，項目，f(x)表示投資表示投資A項目所得利潤的方差與投資項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤項目所得利潤的方差的和求的方差的和求f(x)的最小值，并指出的最小值，并指出x為何值時，為何值時，f(x)取取到最小值到最小值(注：注：D(aXb)a2D(X)第34頁/共52頁解：解：(1)由題設(shè)可知由題設(shè)可知Y1和和Y2的分布列分別為的分布列分別為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3第35頁/共52頁E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24，E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20

17、.312.第36頁/共52頁當當x 75時，時，f(x)3為最小值為最小值.(2) ( )f xD 223(100) xx22(46003 100 ).xx第37頁/共52頁 正態(tài)分布下的概率計算常見的有兩類：正態(tài)分布下的概率計算常見的有兩類：1利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉 及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，及曲線與對稱，及曲線與 x軸之間的面積為軸之間的面積為1.2利用利用3原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍 與正態(tài)變量的與正態(tài)變量的，進行對

18、比聯(lián)系，確定它們屬于進行對比聯(lián)系，確定它們屬于( ，)，(2，2)，(3，3) 中的哪一個中的哪一個第38頁/共52頁 (1)(2009安徽高考安徽高考)若隨機變量若隨機變量XN(，2)，則，則P(X)_.(2)(2010長沙模擬長沙模擬)某校高考的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布某校高考的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(100,100)，則該校成績位于，則該校成績位于(80,120)內(nèi)的人數(shù)占考生總?cè)藘?nèi)的人數(shù)占考生總?cè)藬?shù)的百分比約為數(shù)的百分比約為 ()A22.8% B45.6%C95.44% D97.22%(3)(2010衡陽模擬衡陽模擬)已知隨機變量已知隨機變量X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(3，2)，

19、若若P(X4)0.2，則，則P(2X3)_.第39頁/共52頁（1）利用正態(tài)曲線的對稱性，對稱軸為）利用正態(tài)曲線的對稱性，對稱軸為x=.（2）利用）利用3原則原則.（3）利用對稱性去解）利用對稱性去解.第40頁/共52頁【解析解析】(1)由正態(tài)曲線的性質(zhì)知由正態(tài)曲線的性質(zhì)知 P(x) .(2)設(shè)該校高考數(shù)學(xué)成績?yōu)樵O(shè)該校高考數(shù)學(xué)成績?yōu)閄，由，由XN(100,102)知，正態(tài)分知，正態(tài)分布的兩個參數(shù)為布的兩個參數(shù)為100，10，所以，所以P(80X120)P(10020X10020)0.9544.(3)由題意可知曲線關(guān)于直線由題意可知曲線關(guān)于直線x3對稱，故對稱，故P(X4)P(X2)0.2，因此

20、，因此P(2X3)0.5P(X2)0.50.20.3.【答案答案】(1) (2)C(3)0.3第41頁/共52頁3在本例在本例(3)的條件下求的條件下求P(2X4)，P(3X4)解：解：P(2X4)2( 0.2)0.6，P(3X4) 0.20.3.第42頁/共52頁第43頁/共52頁 高考中常將相互獨立事件、互斥事件、隨機變量高考中常將相互獨立事件、互斥事件、隨機變量的分布列、期望與方差等知識放在一起在解答題中考的分布列、期望與方差等知識放在一起在解答題中考查，主要考查學(xué)生運用概率知識解決實際問題的能力查，主要考查學(xué)生運用概率知識解決實際問題的能力.2009年四川卷綜合考查了上述內(nèi)容年四川卷綜

21、合考查了上述內(nèi)容,能力強、立意新能力強、立意新.第44頁/共52頁(2009四川高考四川高考)為振興旅游業(yè)，四川省為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國內(nèi)發(fā)年面向國內(nèi)發(fā)行總量為行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡貓金卡(簡稱金卡簡稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀簡稱銀卡卡)某旅游公司組織了一個有某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團到四川名名游客的旅游團到四川名勝旅游，其中勝旅游，其中 是省外游客，其余是省內(nèi)游客在省外游是省外游客，其余是省內(nèi)游客在省外游客中有客中有 持金卡，在省內(nèi)游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有 持銀卡持銀卡第45頁/共52頁(1)在該團中隨機采訪在該團中隨機采訪3名游客，求恰有名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡人持金卡且持銀卡者少于者少于2人的概率；人的概率；(2)在該團的省內(nèi)游客中隨機采訪在該團的省內(nèi)游客中隨機采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機變量人數(shù)為隨機變量X，求，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)第46頁/共52頁解解(1)由題意得，省外游客有由題意得，省外游