余弦定理教案設(shè)計(jì)

1、 余弦定理余 弦 定 理一、教材分析本節(jié)主要研究xxxxxx，分兩課時(shí)，這里是第一課時(shí)。它是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理的內(nèi)容，初步掌握了正弦定理的證明及應(yīng)用，并明確了用正弦定理可以來解三角形的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。通過利用平面幾何法、坐標(biāo)法(兩點(diǎn)的距離公式)、向量的模,正弦定理等方法推導(dǎo)余弦定理，學(xué)生會(huì)正確理解余弦定理的結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會(huì)余弦定理解決“邊、邊、角”問題，體會(huì)方程思想，理解余弦定理是勾股定理的特例, 從多視角思考問題和發(fā)現(xiàn)問題，形成良好的思維品質(zhì),激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的潛能，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。 二、學(xué)情分析本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)

2、習(xí)了三角函數(shù)、向量基本知識(shí)和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對(duì)于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣。總體上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問題不深入，知識(shí)的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時(shí)，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的思想感情；從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去審視，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。本節(jié)內(nèi)容是人教B版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5第一章第一節(jié)余弦定理的第一課時(shí)。余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間的另一定理，是解決有關(guān)三角形問

3、題與實(shí)際應(yīng)用問題（如測(cè)量等）的重要定理，它將三角形的邊和角有機(jī)的結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)了"邊"和"角"的互化，從而使"三角"與"幾何"有機(jī)的結(jié)合起來，為求與三角形有關(guān)的問題提供了理論依據(jù)，同時(shí)也為判斷三角形的形狀和證明三角形中的等式提供了重要的依據(jù)。教科書首先通過設(shè)問的方式，指出了"已知三角形的兩邊和夾角，無法用正弦定理去解三角形"，進(jìn)而通過直角三角形中的勾股定理引導(dǎo)學(xué)生去探究一般三角形中的邊角關(guān)系，然后通過構(gòu)造直角三角形去完成對(duì)余弦定理的推證過程，教科書上還進(jìn)一步的啟發(fā)學(xué)生用向量的方法去證明余弦定理，

4、最后通過3個(gè)例題鞏固學(xué)生對(duì)余弦定理的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理的內(nèi)容，初步掌握了正弦定理的證明及應(yīng)用，并明確了用正弦定理可以來解哪些類型的三角形。在此基礎(chǔ)上，教師可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)"已知三角形兩邊及夾角"來解三角形的實(shí)際例子，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能用上一節(jié)所學(xué)的知識(shí)來解決這一問題，從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出這一節(jié)的內(nèi)容。在對(duì)余弦定理教學(xué)中時(shí)，考慮到它比正弦定理形式上更加復(fù)雜，教師可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生進(jìn)行思考，通過類比、聯(lián)想、質(zhì)疑、探究等步驟，輔以小組合作學(xué)習(xí)，建立猜想，獲得命題，再想方設(shè)法去證明。在用兩種不同的方法證明余弦定理

5、時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到證明思路上的困難，教師可以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥三、設(shè)計(jì)思想新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考，作出判斷；同時(shí)要求教師從知識(shí)的傳授者向課堂的設(shè)計(jì)者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱?、探究開發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動(dòng)合作，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的潛能。四、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握余弦定理的兩組表示形式及證明余弦定理的向量方法，深化與細(xì)化

6、方程思想，理解余弦定理的本質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。2.過程與方法目標(biāo)：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理，解決兩類基本的解三角形問題。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)是用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理在應(yīng)用求解三角形時(shí)的思路。六、教學(xué)過程：教學(xué)環(huán)節(jié)合作探究活動(dòng)學(xué)情分析與設(shè)計(jì)意圖知識(shí)回顧1、一般三角形全等的四種判斷方法是什么？

7、2、三角形的正弦定理內(nèi)容，主要解決哪幾類問題的三角形？回顧舊知，防止遺忘創(chuàng)設(shè)引入你能判斷下列三角形的類型嗎？1、以3，4，5為各邊長(zhǎng)的三角形是_三角形以2，3，4為各邊長(zhǎng)的三角形是_三角形以4，5，6為各邊長(zhǎng)的三角形是_三角形2、在ABC中a8，b5，c60°，你能求c邊長(zhǎng)嗎？引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、實(shí)踐作圖方面進(jìn)行估計(jì)判斷。學(xué)生可能比較茫然，幫助學(xué)生分析相關(guān)內(nèi)容，從多角度看待問題，用實(shí)踐進(jìn)行檢驗(yàn)。提出問題你能夠有更好的具體的量化方法嗎？幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識(shí)、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論，選擇簡(jiǎn)潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)知識(shí)入手，選擇簡(jiǎn)潔的工具。合作探

8、究ABC利用向量法推導(dǎo)余弦定理：如圖：設(shè)，由三角形法則有同理，讓學(xué)生利用相同方法推導(dǎo)，學(xué)生對(duì)向量知識(shí)可能遺忘，注意復(fù)習(xí)；在利用數(shù)量積時(shí)，角度可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學(xué)生從錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)問題，鞏固向量知識(shí)，明確向量工具的作用。同時(shí)，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知。歸納概括余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。知識(shí)歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強(qiáng)識(shí)記結(jié)構(gòu)分析觀察余弦定理，指明了三邊長(zhǎng)與其中一角的具體關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)a與A，b與B，C與c之間的對(duì)應(yīng)表述，同時(shí)發(fā)現(xiàn)三邊長(zhǎng)的平方在余弦定理中同時(shí)出現(xiàn)使學(xué)生明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，樹立方程思想，解決“邊、角、邊

9、”問題知識(shí)聯(lián)系余弦定理的推論：解決“邊、邊、邊”問題方法應(yīng)用怎樣準(zhǔn)確地解答引入中的兩個(gè)問題？怎樣利用已知條件判斷三角形的形狀？用準(zhǔn)確的量化關(guān)系去解決問題，用邊長(zhǎng)去判斷三角形形狀，勾股定理是余弦定理特例。知識(shí)應(yīng)用例1：在ABC中，已知b60cm，c34cm，A41°，求解三角形（角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm）例2：在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形（角度精確到1）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問題加強(qiáng)計(jì)算器的運(yùn)算功能，同時(shí)，鞏固好正弦定理，余弦定理知識(shí)，發(fā)現(xiàn)兩種知識(shí)方法在解三角形中的綜合應(yīng)用。知識(shí)深化例3：已知ABC中求c邊長(zhǎng)分析：（1）用正弦

10、定理分析引導(dǎo)（2）應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問題優(yōu)越于余弦定理。并讓學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)“邊、邊、角”問題解法，為下節(jié)學(xué)習(xí)輔墊。練習(xí)檢測(cè)1、某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關(guān)系為（）A：> B：= C：< D：大小不確定2、銳角ABC中b1，c2，則a取值為（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在ABC中若有，你

11、能判斷這個(gè)三角形的形狀嗎？若呢？用練習(xí)去鞏固所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生逐步形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。課堂小結(jié)1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？各有什么利與弊？2、從本課中你學(xué)到了哪些知識(shí)和方法？通過知識(shí)回顧，使學(xué)生各自體會(huì)收獲。板書設(shè)計(jì)1、推導(dǎo)余弦定理及其推論2、例3、例43、練習(xí)指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)1、討論余弦定理的其它解法設(shè)計(jì)思路。2、第11頁A組3、4題鞏固知識(shí)多角度看待問題七、教學(xué)反思本課的教學(xué)應(yīng)具有承上啟下的目的。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)既要兼顧前后知識(shí)的聯(lián)系，又要使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，將新舊知識(shí)逐漸地融為一體，構(gòu)建比較完整的知識(shí)系統(tǒng)

12、。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當(dāng)學(xué)生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)，才能更好地應(yīng)用求解問題。本課教學(xué)設(shè)計(jì)力求在型（模型、類型），質(zhì)（實(shí)質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達(dá)到教學(xué)效果。本課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡(jiǎn)潔的工具。因此在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中抓住前后知識(shí)的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些實(shí)際問題。學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)不夠完善。因此本

13、課運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行示范引導(dǎo)，將舊知識(shí)與新知識(shí)進(jìn)行重組擬合及提高，幫助學(xué)生建立自己的良好知識(shí)結(jié)構(gòu)。點(diǎn)評(píng)：本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、正弦定理的基礎(chǔ)上而設(shè)置的教學(xué)內(nèi)容，因此本課的教學(xué)有較多的處理辦法。李老師從解三角形的問題出發(fā)，提出解題需要，引發(fā)認(rèn)知沖突，激起學(xué)生的求知欲望，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；在定理證明的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識(shí)、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論，注意分析思路，揭示蘊(yùn)含在證明中的數(shù)學(xué)思想，最后引導(dǎo)學(xué)生用向量知識(shí)推導(dǎo)出公式，在給出余弦定理的三個(gè)等式和三個(gè)推論之后，又對(duì)知識(shí)進(jìn)行了歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，便于學(xué)生識(shí)記，同時(shí)也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學(xué)生的思維層次。命題的應(yīng)用是命題教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，學(xué)習(xí)命題的重要目的是應(yīng)用命題去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關(guān)重要的。設(shè)計(jì)中的例1、例2是常規(guī)題，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問題，鞏固正弦定理、余弦定理知識(shí)。例3是已知兩邊一對(duì)角，求解三