正 用----橢圓幾何性質(zhì)第四課

1、2.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(四四)lmm(1)點(diǎn) P(x0，y0)與橢圓x2a2y2b21(ab0)的位置關(guān)系：點(diǎn) P 在橢圓上x02a2y02b21；點(diǎn) P 在橢圓內(nèi)部x02a2y02b21.點(diǎn)與橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系種類種類:相離相離(沒有交點(diǎn)沒有交點(diǎn))相切相切(一個交點(diǎn)一個交點(diǎn))相交相交(二個交點(diǎn)二個交點(diǎn))新授：直線與橢圓的位置關(guān)系新授：直線與橢圓的位置關(guān)系mx2+nx+p=0（m 0）Ax+By+C=0聯(lián)立方程組：聯(lián)立方程組：0相交相交方程組有兩解方程組有兩解兩個交點(diǎn)兩個交點(diǎn)代數(shù)方法代數(shù)方法= n2-4mp12222 byax新授：直線與橢圓的位置關(guān)系的判定新授

2、：直線與橢圓的位置關(guān)系的判定例例1.K為何值時(shí)為何值時(shí),直線直線y=kx+2和曲線和曲線2x2+3y2=6有兩有兩個公共點(diǎn)個公共點(diǎn)?有一個公共點(diǎn)有一個公共點(diǎn)?沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)?例例2.無論無論k為何值為何值,直線直線y=kx+2和曲線和曲線交點(diǎn)情況滿足交點(diǎn)情況滿足( )A.沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn) B.一個公共點(diǎn)一個公共點(diǎn)C.兩個公共點(diǎn)兩個公共點(diǎn) D.有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)22194xy D1、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系6k366kk-3366-k0因?yàn)橐驗(yàn)樗裕匠蹋ǎ┯袃蓚€根，所以，方程（）有兩個根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦長弦長是多少？是多少？則原方程組有兩組

3、解則原方程組有兩組解.- (1)由韋達(dá)定理由韋達(dá)定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 1、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系例例 ：已知橢圓：已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達(dá)定理韋達(dá)定理斜率斜率韋達(dá)定理法：韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造3、中點(diǎn)弦問題、中點(diǎn)弦問題例例 ：已知橢圓：已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦

4、所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法：點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率點(diǎn)點(diǎn)作差作差3、中點(diǎn)弦問題、中點(diǎn)弦問題例：已知橢圓例：已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過而過A,B兩點(diǎn)的直線有且只有一條兩點(diǎn)的直線有且只有一條點(diǎn)差法：點(diǎn)差法：充分利用充分利用“中點(diǎn)中點(diǎn)”這一這一 條件，

5、減少了參條件，減少了參數(shù)，運(yùn)算更簡捷。數(shù)，運(yùn)算更簡捷。3、中點(diǎn)弦問題、中點(diǎn)弦問題.241936. 222方程在直線）平分，求此弦所，（被點(diǎn)的弦已知橢圓例MAByx. 036)42(4)21 (16)41 (222kxkkxk4)41 (2)21 (1620221kkkxxxM.21k解得得由1936)4(222yxxky.AxyOMB)4(2xky存在，設(shè)解：由題意知直線斜率082)4(212:yxxy即所以所求直線方程為.241936. 222方程在直線）平分，求此弦所，（被點(diǎn)的弦已知橢圓例MAByx.AxyOMB另解：，設(shè))()(2211yxByxA21936 1 193622222121

6、yxyx則09)(36)(2 1 21212121yyyyxxxx得：由21212121369yyxxxxyy即.212241MMAByxk.22)(0)()(0)()(1212121yyyxxxyxfyxfyxMxy ，由韋達(dá)定理得一元二次方程橢圓，直線，則由，：設(shè)弦中點(diǎn)為解求弦中點(diǎn)的方法或消21 1 1222222221221byaxbyax則，：設(shè)弦中點(diǎn)為解)()()(22211yxByxAyxM0)()(2 1 2212122121byyyyaxxxx得：由差分法求橢圓方程。，且于與橢圓交直線已知橢圓方程為例,1, 14:32222OBOABAxybybxAxyOB),(),(2211

7、yxByxA解：設(shè)02121yyxxOBOA得：則由222441byxxy由2224) 1(4bxx0448522bxx整理得：5445822121bxxxx由韋達(dá)定理得) 1)(1(2121xxyy12121xxxx5412b054154422bb852b1585222yx橢圓方程為0直線與橢圓：（2）弦長問題|1|2akAB（3）弦中點(diǎn)問題（4）與垂直有關(guān)的問題（1）直線與橢圓位置關(guān)系韋達(dá)定理或設(shè)點(diǎn)作差法10:2222byaxCByAx，直線和橢圓方程分別為（2 2）直線與橢圓的位置關(guān)系）直線與橢圓的位置關(guān)系 ：共點(diǎn)。直線和橢圓相離，無公個公共點(diǎn)；直線和橢圓相切，有一個公共點(diǎn)；直線和橢圓相

8、交，有兩，則的判別式為若二次方程00022222001AxByCpxqxrxyab 則則由由 yoF1F2x yoF1F2x yoF1F2x.2,1941.:22的弦長斜率為的焦點(diǎn)求過橢圓練習(xí)yx.,)0 , 1 (1492.22求弦的中點(diǎn)的軌跡方程引弦內(nèi)一定點(diǎn)過橢圓yx.,124) 1 , 1 (. 322所在的直線方程求的中點(diǎn)的弦是橢圓若ABAByxM?,12:,:122相離相交相切與橢圓直線為何值時(shí)當(dāng)例yxmxylm的長。求兩點(diǎn)，直線與橢圓相交于的直線傾斜角為作的左焦點(diǎn)、經(jīng)過橢圓ABBAlFyx,60122122通過直線方程和橢圓方程聯(lián)立成方程組，解方程組可以得到直線和橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，然

9、后利用兩點(diǎn)間的距離公式求線段長度。)1(3:)0,1(11,21222xylFcba解：04127;12)1(3222xxyxxy得：由）（）（可求得交點(diǎn)坐標(biāo)為：7623,7226,7623,7226728)764()724(22 AB)1(3:)0,1(11,21222xylFcba解：04127;12)1(3222xxyxxy得：由747122121xxxx7284)(2)(2)(3)()()(21221221221221221221xxxxxxxxxxyyxxAB第二種方法是處理直線和橢圓位置關(guān)系的常用方法，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，但是不求出，從而求出弦長。;12222byaxmkxy由212212221222122212212214)()1 ()(1 ()()()()(xxxxkxxkxxkxxyyxxAB這種方法稱為設(shè)而不求，這個公式叫做弦長公式。;12222byaxmkxy由212212221222122122212214)()11 ()(11 ()()(1)()(yyyykyykyyyykyyxxAB3839三、求軌跡方程的問題的軌跡是什么？點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，當(dāng)點(diǎn)相交于點(diǎn)半徑和的垂直平分線是圓上任意一點(diǎn)，線段內(nèi)一個定點(diǎn)，是圓，的半徑