難題突破專題四特殊三角形存在性問題

1、難題突破專題四特殊三角形存在性問題特殊三角形存在性問題主要是指尋找符合條件的點使之構(gòu)成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形解決此類問題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)胤诸愑懻?，避免漏?類型1等腰三角形存在性問題I Ji如圖Z4- 1,直線y= 3x + 3交x軸于點 代交y軸于點B,過A B兩點的拋物線交 x軸于另一點C(3 , 0).(1) 求點A B的坐標(biāo).(2) 求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.(3) 在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使厶ABC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.-例題分層分析(1) 如何求一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)？(2) 如何求拋物線對應(yīng)的

2、函數(shù)表達(dá)式？根據(jù)題意，設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式時，應(yīng)該用哪種形式？(3) 根據(jù)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式求出對稱軸為直線 ，所以可設(shè)點Q的坐標(biāo)為; 厶ABC是等腰三角形可分為種情況，分別是; 根據(jù)勾股定理分別列出方程即可求出點Q的坐標(biāo).”解題方法點析對于等腰三角形的分類應(yīng)分三種情況.可以設(shè)一個未知數(shù)，然后用這個未知數(shù)分別表示出三角形的三邊，再根據(jù) 兩邊相等，得到三個方程，即三種情況.特別注意求出的值需檢驗?zāi)芊駱?gòu)成三角形.類型2 直角三角形、全等三角形存在性問題口2如圖Z4 2,已知直線y = kx-6與拋物線y= ax2 + bx+ c相交于A, B兩點，且點A(1 , 4)為拋物線的頂點， 點B

3、在x軸上.(1) 求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.(2) 在 中二次函數(shù)的第二象限的圖象上是否存在一點只使厶POBW POC全等？若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(3) 若點Q是y軸上一點，且 ABC為直角三角形，求點 Q的坐標(biāo).>例題分層分析(1) 已知點A的坐標(biāo)可確定直線 AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步能求出點B的坐標(biāo)點 A是拋物線的頂點，那么可以將拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式設(shè)為 式，再代入 的坐標(biāo)，依據(jù) 法可解.(2) ABQ為直角三角形，直角頂點沒確定，故分別以 為直角頂點，進(jìn)行分類討論，找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解或者利用勾股定理列方程求解.解題方法點析

4、本題為綜合題，考查了平面直角坐標(biāo)系中，利用待定系數(shù)法求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，利用方程、分類討論和數(shù)形結(jié)合等思想解題.專題訓(xùn)練1. 如圖Z4 3，點00，0)，A(2，2)，若存在點P,使厶APC為等腰直角三角形，則點P的個數(shù)為圖 Z4 3一192. 2017 湖州如圖Z4 4，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知直線y = kx(k>0)分別交反比例函數(shù) y=-和y = _在XX1第一象限的圖象于點A，B,過點B作BD丄x軸于點D,交y =-的圖象于點C,連結(jié)AC.若厶ABC是等腰三角形，則k的x值是.3. 如圖Z4-5所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A2 , 2)，點B(2 , - 3)

5、.試問坐標(biāo)軸上是否存在一點 ABP為直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.O.圖 Z4 54. 2017 張家界如圖Z4 6,已知拋物線 C的頂點坐標(biāo)為 A 1, 4)，與y軸的交點為D(0 , 3).(1) 求C的解析式；(2) 若直線I仁y = x + m與C僅有唯一的交點，求 m的值；(3) 若將拋物線C關(guān)于y軸對稱的拋物線記作 C,平行于x軸的直線記作丨2: y= n.試結(jié)合圖象回答：當(dāng)時，丨2與C和G共有：兩個交點；三個交點；四個交點；P,使得n為何值(4) 若將C2與x軸正半軸的交點記作 B,試在x軸上求點P,使得 PAB為等腰三角形.yJ節(jié)21 2)4 5 i

6、圖 Z4 625. 2017 攀枝花如圖Z4- 7,拋物線y = x + bx+ c與x軸交于A, B兩點，B點坐標(biāo)為(3 , 0)，與y軸交于點Q0, 3).(1) 求拋物線的解析式.(2) 點P在x軸下方的拋物線上，過點 P的直線y= x+ m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求PB EF的最大 值.(3) 點D為拋物線對稱軸上一點. 當(dāng) BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標(biāo);若 BCD是銳角三角形，求點D的縱坐標(biāo)的取值范圍.備用圖圖 Z4 726. 如圖Z4 8，拋物線y= ax 2ax+ c(a0)與y軸交于點C(0 , 4)，與x軸交于點A, B,點A的坐標(biāo)為(4 ,

7、 0).(1) 求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.(2) 點Q是線段AB上的動點，過點 Q作QE/ AC交BC于點E,連結(jié)CQ當(dāng)厶CQE勺面積最大時，求點 Q的坐標(biāo).(3) 若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點 P,與直線AC交于點F,點D的坐標(biāo)為(2 , 0).問：是否存在這樣的直線l，使得 ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.參考答案類型1等腰三角形存在性問題例1【例題分層分析】(1) 令一次函數(shù)表達(dá)式中的x或y為0，即可求出圖象與 y軸或x軸的交點坐標(biāo).(2) 求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式一般有三種方法：一般式法、頂點式法和交點式法.本題利用一般式法或交點式法 都

8、比較簡單.(3) x= 1(1 , a) 三 AQ= BQ AB= BQ AQ= AB解：(1) 直線 y= 3x+ 3,當(dāng) x = 0 時，y = 3,當(dāng) y = 0 時，x = - 1,點A的坐標(biāo)為(一1, 0)，點B的坐標(biāo)為(0 , 3).P = a b+ c,"a = 1, 設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y= ax2+ bx+ c,由題意，得3 = c,解得b = 2,j0 = 9a+ 3b + c,1c = 3.2拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y = - x + 2x + 3./拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y= x2 + 2x + 3,配方，得y= (x 1)2+ 4,拋物線的對稱軸為直

9、線x= 1,設(shè)Q1 , a). 當(dāng)AQ= BQ時，如圖，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點D,過點B作BF丄DQ于點F.由勾股定理，得BQ= .BF2 + QF= , (1 0) 2+( 3 a) 2,AQ= AD + QD= ,22+ a2,得可(1 0)+( 3 a)=+ a ,解得 a= 1,點Q的坐標(biāo)為(1 , 1). 當(dāng)AB= BQ時，如圖，由勾股定理，得(1 0) +( a 3) = ,' 10, 解得a= 0或6,當(dāng)點Q的坐標(biāo)為(1 , 6)時，其在直線 AB上, A, B, Q三點共線，舍去，點 Q的坐標(biāo)是(1 , 0).* 當(dāng)AQ= AB時，如圖，由勾股定理，得，22+ a2

10、= 10,解得a=± ,6,此時點Q的坐標(biāo)是（1 , 6）或（1 , - 6）. 綜上所述，存在符合條件的點 Q,點Q的坐標(biāo)為（1，1）或（1，0）或（1， 6）或（1， 6）. 類型2 直角三角形、全等三角形存在性問題例2【例題分層分析】（1）頂點 點B待定系數(shù) （2）點A，B, Q解：把（1，- 4）代入y = kx 6，得k = 2，直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y= 2x 6.令y = 0,解得x = 3，二點B的坐標(biāo)是（3，0）.點A為拋物線的頂點，設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y = a（x 1）2 4，把（3，0）代入，得 4a 4= 0，解得a= 1，拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式

11、為y = （x 1）2 4= x2 2x 3.（2）存在. OB= 0（= 3，OP= OP當(dāng)/ POB=Z POC寸， POBA POC此時OP平分第二象限，即直線PC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y= x.設(shè) P（m m，則一n=吊一2m 3，解得 m= 1-2 13 m=1 +2 13>0，舍去，點P的坐標(biāo)為三吏，二. 如圖，當(dāng)/ QAB= 90° 時， DAGA DOB AD DQQ 即心 DQODdb，即 T=35,57 DQ=刁二 OQ= 2,即點Q的坐標(biāo)為S, 7 ；當(dāng)/ QBA= 90。時， BOQA DOB.OB OQ 即 3 OQOD OB，即6 =可， OQ= 3,

12、即點Q的坐標(biāo)為0, 2 ； 當(dāng)/ AQB= 90。時，過點 A作AEL y軸于點E,則厶 BOa QEAOB OQ 3 OQ=即=QE= AE，即 4 - OQ= 1， oQ 4OQ+ 3= 0,. OQ= 1 或 3,3 或(0,-1)或(°,-3)-即點Q的坐標(biāo)為（0， 1）或（0， 3）. 綜上，點Q的坐標(biāo)為i。，一 2或0, 專題訓(xùn)練1. 62. 3 7或I5 解析考查反比例函數(shù)中系數(shù) k的幾何意義及等腰三角形的性質(zhì).75用B, A兩點的坐標(biāo)來表示 C點坐標(biāo)，得到BC的長度，然后分三種情況討論k值.911912 9218設(shè) B（a,舌）,A（b, p , C（a,舌）,ka=

13、 a, kb= y. a = -, b = r.又t BDLx軸， BC= 當(dāng)AB= BC時,AB= * (a b)2+ ( ka kb),8a2 318,1 + k (兀兀)=丁,當(dāng)AC= BC時,AC=( b a) 2+( b1) 2, (1k232-+ 9)(k_ k) = "9k2AB= AC時， 1+亍=1 + k2, k = 0(舍去).綜上所述，k=7或亠J9753解：若/ BAP= 90°,易得 P1(0 , 2).當(dāng) 若/ ABP= 90°，易得 P2（0， 3）. 若/ BPA= 90°，如圖，以 AB為直徑畫O O與x軸、y軸分別交

14、于點 R, R, P5, F6, AB與 x軸交于點C,過點O作O D丄y軸于D點.B在 Rt DO P5 中易知 O D= 2, OF5= IP5D=、警-4 = 331OPP= PsD- OD= | | = 1,貝UP5(0, 1).易知F5D= P6D,貝UP6(0，- I).連結(jié) OP3,OP4,易求出 F3(2 6, 0) , F4(I + 6, 0).綜上所述，存在點 P,使得 ABP為直角三角形，坐標(biāo)為Pi(0 , 2) , F2(0，- 3) , P3(2 - 6, 0),F4(2 + 6, 0) , P5(0 , 1) , P6(0，- 2).4解：(1) T拋物線 C的頂點

15、坐標(biāo)為 A - 1 , 4),設(shè)C的解析式為y = a(x + 1)2 + 4,2把 D(0 , 3)代入得 3= a(0 + 1) + 4，解得 a=- 1, C 的解析式為 y =- (x + 1) + 4=- x - 2x + 3.foy=- x 2x + 3,(2) 由方程組<|y= x+ m,2得 x + 3x+ m- 3 = 0,1 = 3 -4X 1 x( m- 3) = - 4m+ 21 = 0, 0=-.(3) 拋物線C2的頂點坐標(biāo)為(1 , 4),丨2與C和C2共有：兩個交點，這時l 2過拋物線的頂點， n= 4 :三個交點，這時丨2過兩條拋物線的交點D, n= 3;

16、四個交點，這時丨2在拋物線的頂點與點 D之間或在點D的下方， 3<n<4或 n<3.(4) 根據(jù)拋物線的對稱性可知，C2的解析式為y =- (x- 1)2+ 4 =-x2 + 2x+ 3,與x軸正半軸的交點 B的坐標(biāo)為(3 , 0),又 A 1, 4) , AB=42+ 42= 42. 若AP= AB貝U PO= 4+ 1 = 5,這時點P的坐標(biāo)為(一5 , 0); 若BA= BP若點P在點B的左側(cè)，貝U OP= BP- BO= 4 2 3,這時點P的坐標(biāo)為(3 4 2 , 0),若點P在點B 的右側(cè)，貝U OP= BP+ BO= 4 ,2 + 3,這時點P的坐標(biāo)為(3 +

17、4 , 2 , 0); 若PA= PB這時點P是線段AB的垂直平分線與 x軸的交點，顯然 PA= PB= 4 , R 1, 0).綜上所述,點 P的坐標(biāo)為(5 , 0)或(3 42 , 0)或(3 + 4 .2 , 0)或(1 , 0).5 .解：(1)由題意得c= 3 ,32 + 3b+ c = 0 ,拋物線的解析式為 y = x2 4x+ 3. 由題易知 OC= OB= 3，/ OC= 45° .同理可知/ OF= 45° , CEF為等腰直角三角形.以BC為對稱軸將 FCE對稱得到 F' CE作PHLCF于H點，如圖，貝U PE+ EF= PF = . 2PH

18、 又 PH= yc yp = 3 yp ,當(dāng)yp最小時，P曰EF取得最大值，拋物線的頂點坐標(biāo)為(2 , - 1),當(dāng) yp= 1 時，(P曰 EF)max= 2 X (3 + 1) = 4 2.如圖.由(1)知拋物線的對稱軸為直線x= 2，設(shè)D(2 , n),當(dāng)厶BCD是以BC為直角邊的直角三角形且 D在C的上方D位置時,由勾股定理得cD+ bC= bD,2即(2 0) + (n3)2+ (32)2= (3 2)2+ (0 n)2，解得 n= 5;當(dāng)厶BCD是以BC為直角邊的直角三角形且 D在C的下方D位置時,由勾股定理得2 2 2BD+ BC= CD,2即(2 3) + (n0)2+ (32

19、)2= (2 0)2+ (n 3)2，解得 n= 1.綜上所述，當(dāng) BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，D為(2 , 5)或(2 , 1).3如圖，以BC的中點T(2,32)為圓心,x= 2交于D3和0,由直徑所對的圓周角是直角得/設(shè)D(2 , m為。T上一點，由CDB=/ CDB= 90 ° ,13 42DT=尹 C=-,32323 2得(22) + q m =(才 解得m= |±于，3 03 如D(2 , 2 +),D(2 , 2-牙)，)2,又由得 D 為(2 , 5) , D2(2 , 1),若厶BCD是銳角三角形，貝U D點在線段DD3或D2D4上(不與端點重合)，則點D的縱坐標(biāo)的取值范圍$ I+yD< 5.6.解：(1)由題意，得0= 8a+ c,4= c,所求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為a = 2,解得2c = 4,1 2y =尹 + x+ 4.如圖，設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m0)，過點1 2由一x + x+ 4 = 0，得 X1= 2,X2 = 4,點B的坐標(biāo)為(一2, 0), AB= 6, BQ= m+ 2. QE/ ACEG BQ 加 EG m+ 2 CO= BA,即 72m+ 4 EG= 丁,1 S CQE