大物習題答案4

1、習 題 四41 質量為m=0.002kg的彈丸，其出口速率為300，設彈丸在槍筒中前進所受到的合力。開搶時，子彈在x=0處，試求槍筒的長度。解 設槍筒長度為L，由動能定理知 其中 而， 所以有： 化簡可得： 即槍筒長度為0.45m。42 在光滑的水平桌面上平放有如圖所示的固定的半圓形屏障。質量為m的滑塊以初速度沿切線方向進入屏障內，滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為，試證明：當滑塊從屏障的另一端滑出時，摩擦力所作的功為證明 物體受力：屏障對它的壓力N，方向指向圓心，摩擦力f方向與運動方向相反，大小為 (1)另外，在豎直方向上受重力和水平桌面的支撐力，二者互相平衡與運動無關。由牛頓運動定律 切向 (2)&

2、#160; 法向 (3) 聯(lián)立上述三式解得 又 所以即 兩邊積分，且利用初始條件s=0時，得 即 由動能定理 ，當滑塊從另一端滑出即時，摩擦力所做的功為 43 質量為m的質點開始處于靜止狀態(tài)，在外力F的作用下沿直線運動。已知，方向與直線平行。求：(1)在0到T的時間內，力F的沖量的大小；(2)在0到時間內，力F沖量的大?。?3)在0到時間內，力F所作的總功；(4)討論質點的運動情況。解由沖量的定義，在直線情況下，求沖量的大小可用代數(shù)量的積分，即 (1) 從t0到 t=T，沖量的大小為： =0 (2) 從t=0到 t=T/2，沖量的大小為 (3) 初速度，由沖量定理 當 t=T/2時，質點的速度

3、又由動能定理，力F所作的功 (4) 質點的加速度，在t=0到t=T/2時間內，a>0，質點作初速度為零的加速運動，t=T/2時，a=0，速度達到最大；在t=T/2到t=T時間內，a<0，但v>0，故質點作減速運動，t=T時 a=0，速度達到最小，等于零；此后，質點又進行下一周期的相似運動。總之，質點作速度方向不變的變速直線運動。 44 如圖所示，將質量為 m的球，以速率射入最初靜止于光滑平面上的質量為M的彈簧槍內，使彈簧達到最大壓縮點，這時球體和彈簧槍以相同的速度運動。假設在所有的接觸中無能量損耗，試問球的初動能有多大部分貯存于彈簧中?解 設地球和彈簧槍的共同速度為，將球體和

4、彈簧槍看作一個系統(tǒng)，因為水平方向所受合外力為零，所以該系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有 (1)把球體、彈簧槍、地球看作一個系統(tǒng)，不考慮接觸時的能量損失，則該系統(tǒng)的機械能守恒，所以貯存于彈簧中的能量 (2)聯(lián)立以上兩式得 45 角動量為L，質量為m的人造地球衛(wèi)星，在半徑為r的圓形軌道上運行，試求其動能、勢能和總能量。解 將人造地球衛(wèi)星看作質點，因為衛(wèi)星作圓周運動，所以，由知， 所以衛(wèi)星的動能選無窮遠處為勢能零點，設衛(wèi)星在軌道半徑為r處的總能量為E，由動能關系，所以 當時，所以 所以勢能 46 已知某人造衛(wèi)星的近地點高度為，遠地點高度為，地球的半徑為。試求衛(wèi)星在近地點和遠地點

5、處的速率。解 地球衛(wèi)星在其軌道上運行，角動量守恒，即。在近地點和遠地點速度方向與軌道半徑方向垂直。故 (1)設在無窮遠處為引力勢能的零點，則在近地點和遠地點系統(tǒng)勢能分別為和，由機械能守恒定律得 (2)在地球表面附近有 (3)聯(lián)立以上三式解得 47 一質量為與另一質量為的質點間有萬有引力作用。試求使兩質點間的距離由增加到時所需要作的功。解 萬有引力兩質點間的距離由x增加到時，萬有引力所作的功為故外力所作的功48 設兩粒子之間的相互作用力為排斥力，其變化規(guī)律為，k為常數(shù)。若取無窮遠處為零勢能參考位置，試求兩粒子相距為r時的勢能。解由勢能的定義知r處的勢能Ep為: 49 如圖所示，有一門質量為M(含

6、炮彈)的火炮，在一斜面上無摩擦地由靜止開始下滑。當滑到距頂端為l時從炮口沿水平方向射出一發(fā)質量為m的炮彈。欲使炮車發(fā)射炮彈后的瞬時停止滑行，炮彈的初速度v應是多大?解 大炮從靜止滑動距離L的過程中，取大炮(含炮彈）和地球組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)機械能守恒。設末態(tài)大炮的速度為V'，取末態(tài)重力勢能為零，則由機械能守恒定律，得 (1) 大炮發(fā)射炮彈的過程中，取大炮和炮彈組成的系統(tǒng)為研究對象，由于重力的沖量可以忽略（與斜面的作用力沖量相比），而斜面的作用力垂直于斜面（斜面光滑），故斜面方向動量守恒，設炮彈初速為v， 沿斜面方向的分量為，又因炮車末態(tài)靜止，則 (2) 由(1)、(2)兩式得 4

7、10 設地球的質量為M，萬有引力恒量為，一質量為m的宇宙飛船返回地球時，可認為它是在地球引力場中運動(此時飛船的發(fā)動機已關閉)。求它從距地心下降到處時所增加的動能。解 由動能定理，宇宙飛船動能的增量等于萬有引力對飛船所作的功，而此功又等于這一過程中地球與飛船系統(tǒng)勢能增量的負值，即： 411 雙原子中兩原子間相互作用的勢能函數(shù)可近似寫成，式中a、b為常數(shù)，x為原子間距，兩原子的勢能曲線如圖所示。(1)x為何值時?x為何值時為極小值?(2)試確定兩原子間的作用力；(3)假設兩原子中有一個保持靜止，另一個沿x軸運動，試述可能發(fā)生的運動情況。解 (1) 當Ep (x)=0時，有： 即 或 故 Ep (

8、x)為極小值時，有 即 和 (2)設兩原子之間作用力為，則在一維情況下，有 (3)由原子的受力情況可以看出可能發(fā)生的運動情況為:當x<x2 時，兩原子間的作用f(x)>0，它們互相排斥，另一原子將遠離；當x>x2 時f(x)<0，它們又互相吸引，另一原子在遠離過程中減速，直至速度為零，然后改變方向加速靠近靜止原子，再當x<x2 時，又受斥力，逐漸減速到零，原子又將遠離。如此循環(huán)往復。若開始時兩原子離得很遠，則f(x)趨于零，兩原子互不影響。412 一個質子在一個大原子核附近的勢能曲線如圖所示。若在處釋放質子，問：(1)在離開大原子核很遠的地方，質子的速率為多大?

9、(2)如果在處釋放質子呢?解 當時，將原子核和質子看作一個系統(tǒng)，可忽略重力作用，則在原子核的引力場中，系統(tǒng)的能量守恒，故，又，其中為質子的質量，得到 (1) 時，所以 (2) 時，所以 4-13 兩核子之間的相互作用勢能，在某種準確程度上可以用湯川勢來表示，式中約為50MeV，約為。(1)試求兩個柱子之間的相互作用力F與它們之間距離r之間的函數(shù)關系；(2)求時相互作用力的值； (3)求，時作用力的值，并通過比較解釋什么是短程力。解 (1) <0為引力 (2) 當時， (3) 當時， 當時， 當時， 由以上的計算結果知，當r增大時，F(xiàn)值迅速減小，即F只在r比較小的范圍內(數(shù)量級均為)有明顯

10、作用，這種力就叫做短程力。414 如圖所示，在水平光滑平面上有一輕彈簧，一端固定，另一端系一質量為m的滑塊。彈簧原長為，倔強系數(shù)為k。當t0時，彈簧長度為?；瑝K得一水平速度，方向與彈簧軸線垂直。t時刻彈簧長度為L。求t時刻滑塊的速度v的大小和方向(用角表示)。解因為彈簧和小球在光滑水平面上運動，所以若把彈簧和小球作為一個系統(tǒng)，則系統(tǒng)的機械能守恒，即 (1) 小球在水平面上所受彈簧拉力通過固定點，則小球對固定點角動量守恒，即 恒量故 (2)由(1)式得 代入(2)式得 415 如圖所示，一太空探測器沿著拋物線路徑接近金星，當?shù)诌_點B時最靠近金星。此時點燃制動火箭減速，使它進入橢圓軌道，以便在點A

11、作切向著陸。點B距金星中心16090km，金星半徑為5990km，質量為地球的0.815倍。試求；(1)探測器達到點B的速率；(2)制動火箭點燃后，探測器的速率；(3)在A處著陸時探測器的速率。解 (1) 探測器以拋物路徑到達B點，其條件是E=0(以金星中心為原點)，而 所以 (2) 當探測器以橢圓軌道在A點作切向著陸時，它所受的是金星對它的有心力，且是保守力，所以應滿足角動量守恒和機械能守恒定律的條件。設在B點和A點的速率分別為和，則有 寫成標量形式為 (1) (2)將上述兩式聯(lián)立，可得(3) 由(2)式知，416 如圖所示，兩飛船和在繞地球的兩個圓形軌道上作逆時針方向飛行，兩軌道同處一個平

12、面內，半徑分別為和?，F(xiàn)從上沿其軌道的切向發(fā)射的補給火箭，使其速度能在抵達時與的軌道相切。補給火箭發(fā)射后，就在自由飛行的條件下完成其旅程。試求：(1)補給火箭相對于的發(fā)射速率；(2)補給火箭到達B處的速率；(3) 的軌道速率；(4)對比(2)和(3)的結果后，為了使和連接，還應當采取什么措施? 解 (1) 補給火箭的軌道是一個半橢圓，設其相對于地心的速率為，由于上題的(1)、(2)兩式可得為求補給火箭相對于的速率，先要知道相對于地心的速率，由于作半徑為的圓周運動，由牛頓運動定律和萬有引力公式得所以 (2)設補給火箭到達B處的速率為，根據(jù)動量守恒有 (m為補給火箭的質量)所以 (3) 設的軌道速率為，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力公式，有所以 (4) 對比(2)和(3)可知，<。所以補給火箭抵達B后，必須開動引擎使其速率增至的軌道速率，否則不能連結。417 求證：兩個小球在一維彈性撞過程中，最大彈性形變勢能為式中、是小球的質量，、是碰撞前小球的速率。解 在彈性碰撞過程中，動量守恒，機械能守恒，當二者速度相等時，彈性勢能最大，此時，由動量守恒定律，得 (1) 又由機械能守恒定律得， (2)由(1)式，解出v，代入(2)式中，得 418 在核反應堆中，石墨被用作快速中子的減速劑，裂變產(chǎn)生的快中子的質