大物習(xí)題答案4

1、習(xí) 題 四41 質(zhì)量為m=0.002kg的彈丸，其出口速率為300，設(shè)彈丸在槍筒中前進(jìn)所受到的合力。開搶時(shí)，子彈在x=0處，試求槍筒的長(zhǎng)度。解 設(shè)槍筒長(zhǎng)度為L(zhǎng)，由動(dòng)能定理知 其中 而， 所以有： 化簡(jiǎn)可得： 即槍筒長(zhǎng)度為0.45m。42 在光滑的水平桌面上平放有如圖所示的固定的半圓形屏障。質(zhì)量為m的滑塊以初速度沿切線方向進(jìn)入屏障內(nèi)，滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為，試證明：當(dāng)滑塊從屏障的另一端滑出時(shí)，摩擦力所作的功為證明 物體受力：屏障對(duì)它的壓力N，方向指向圓心，摩擦力f方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，大小為 (1)另外，在豎直方向上受重力和水平桌面的支撐力，二者互相平衡與運(yùn)動(dòng)無關(guān)。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律 切向 (2)&

2、#160; 法向 (3) 聯(lián)立上述三式解得 又 所以即 兩邊積分，且利用初始條件s=0時(shí)，得 即 由動(dòng)能定理 ，當(dāng)滑塊從另一端滑出即時(shí)，摩擦力所做的功為 43 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)，在外力F的作用下沿直線運(yùn)動(dòng)。已知，方向與直線平行。求：(1)在0到T的時(shí)間內(nèi)，力F的沖量的大??；(2)在0到時(shí)間內(nèi)，力F沖量的大??；(3)在0到時(shí)間內(nèi)，力F所作的總功；(4)討論質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。解由沖量的定義，在直線情況下，求沖量的大小可用代數(shù)量的積分，即 (1) 從t0到 t=T，沖量的大小為： =0 (2) 從t=0到 t=T/2，沖量的大小為 (3) 初速度，由沖量定理 當(dāng) t=T/2時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度

3、又由動(dòng)能定理，力F所作的功 (4) 質(zhì)點(diǎn)的加速度，在t=0到t=T/2時(shí)間內(nèi)，a>0，質(zhì)點(diǎn)作初速度為零的加速運(yùn)動(dòng)，t=T/2時(shí)，a=0，速度達(dá)到最大；在t=T/2到t=T時(shí)間內(nèi)，a<0，但v>0，故質(zhì)點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)，t=T時(shí) a=0，速度達(dá)到最小，等于零；此后，質(zhì)點(diǎn)又進(jìn)行下一周期的相似運(yùn)動(dòng)?？傊?，質(zhì)點(diǎn)作速度方向不變的變速直線運(yùn)動(dòng)。 44 如圖所示，將質(zhì)量為 m的球，以速率射入最初靜止于光滑平面上的質(zhì)量為M的彈簧槍內(nèi)，使彈簧達(dá)到最大壓縮點(diǎn)，這時(shí)球體和彈簧槍以相同的速度運(yùn)動(dòng)。假設(shè)在所有的接觸中無能量損耗，試問球的初動(dòng)能有多大部分貯存于彈簧中?解 設(shè)地球和彈簧槍的共同速度為，將球體和

4、彈簧槍看作一個(gè)系統(tǒng)，因?yàn)樗椒较蛩芎贤饬榱?，所以該系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有 (1)把球體、彈簧槍、地球看作一個(gè)系統(tǒng)，不考慮接觸時(shí)的能量損失，則該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以貯存于彈簧中的能量 (2)聯(lián)立以上兩式得 45 角動(dòng)量為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，在半徑為r的圓形軌道上運(yùn)行，試求其動(dòng)能、勢(shì)能和總能量。解 將人造地球衛(wèi)星看作質(zhì)點(diǎn)，因?yàn)樾l(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)，所以，由知， 所以衛(wèi)星的動(dòng)能選無窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，設(shè)衛(wèi)星在軌道半徑為r處的總能量為E，由動(dòng)能關(guān)系，所以 當(dāng)時(shí)，所以 所以勢(shì)能 46 已知某人造衛(wèi)星的近地點(diǎn)高度為，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為，地球的半徑為。試求衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)

5、處的速率。解 地球衛(wèi)星在其軌道上運(yùn)行，角動(dòng)量守恒，即。在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)速度方向與軌道半徑方向垂直。故 (1)設(shè)在無窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零點(diǎn)，則在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)系統(tǒng)勢(shì)能分別為和，由機(jī)械能守恒定律得 (2)在地球表面附近有 (3)聯(lián)立以上三式解得 47 一質(zhì)量為與另一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)間有萬有引力作用。試求使兩質(zhì)點(diǎn)間的距離由增加到時(shí)所需要作的功。解 萬有引力兩質(zhì)點(diǎn)間的距離由x增加到時(shí)，萬有引力所作的功為故外力所作的功48 設(shè)兩粒子之間的相互作用力為排斥力，其變化規(guī)律為，k為常數(shù)。若取無窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能參考位置，試求兩粒子相距為r時(shí)的勢(shì)能。解由勢(shì)能的定義知r處的勢(shì)能Ep為: 49 如圖所示，有一門質(zhì)量為M(含

6、炮彈)的火炮，在一斜面上無摩擦地由靜止開始下滑。當(dāng)滑到距頂端為l時(shí)從炮口沿水平方向射出一發(fā)質(zhì)量為m的炮彈。欲使炮車發(fā)射炮彈后的瞬時(shí)停止滑行，炮彈的初速度v應(yīng)是多大?解 大炮從靜止滑動(dòng)距離L的過程中，取大炮(含炮彈）和地球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。設(shè)末態(tài)大炮的速度為V'，取末態(tài)重力勢(shì)能為零，則由機(jī)械能守恒定律，得 (1) 大炮發(fā)射炮彈的過程中，取大炮和炮彈組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，由于重力的沖量可以忽略（與斜面的作用力沖量相比），而斜面的作用力垂直于斜面（斜面光滑），故斜面方向動(dòng)量守恒，設(shè)炮彈初速為v， 沿斜面方向的分量為，又因炮車末態(tài)靜止，則 (2) 由(1)、(2)兩式得 4

7、10 設(shè)地球的質(zhì)量為M，萬有引力恒量為，一質(zhì)量為m的宇宙飛船返回地球時(shí)，可認(rèn)為它是在地球引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)(此時(shí)飛船的發(fā)動(dòng)機(jī)已關(guān)閉)。求它從距地心下降到處時(shí)所增加的動(dòng)能。解 由動(dòng)能定理，宇宙飛船動(dòng)能的增量等于萬有引力對(duì)飛船所作的功，而此功又等于這一過程中地球與飛船系統(tǒng)勢(shì)能增量的負(fù)值，即： 411 雙原子中兩原子間相互作用的勢(shì)能函數(shù)可近似寫成，式中a、b為常數(shù)，x為原子間距，兩原子的勢(shì)能曲線如圖所示。(1)x為何值時(shí)?x為何值時(shí)為極小值?(2)試確定兩原子間的作用力；(3)假設(shè)兩原子中有一個(gè)保持靜止，另一個(gè)沿x軸運(yùn)動(dòng)，試述可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況。解 (1) 當(dāng)Ep (x)=0時(shí)，有： 即 或 故 Ep (

8、x)為極小值時(shí)，有 即 和 (2)設(shè)兩原子之間作用力為，則在一維情況下，有 (3)由原子的受力情況可以看出可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況為:當(dāng)x<x2 時(shí)，兩原子間的作用f(x)>0，它們互相排斥，另一原子將遠(yuǎn)離；當(dāng)x>x2 時(shí)f(x)<0，它們又互相吸引，另一原子在遠(yuǎn)離過程中減速，直至速度為零，然后改變方向加速靠近靜止原子，再當(dāng)x<x2 時(shí)，又受斥力，逐漸減速到零，原子又將遠(yuǎn)離。如此循環(huán)往復(fù)。若開始時(shí)兩原子離得很遠(yuǎn)，則f(x)趨于零，兩原子互不影響。412 一個(gè)質(zhì)子在一個(gè)大原子核附近的勢(shì)能曲線如圖所示。若在處釋放質(zhì)子，問：(1)在離開大原子核很遠(yuǎn)的地方，質(zhì)子的速率為多大?

9、(2)如果在處釋放質(zhì)子呢?解 當(dāng)時(shí)，將原子核和質(zhì)子看作一個(gè)系統(tǒng)，可忽略重力作用，則在原子核的引力場(chǎng)中，系統(tǒng)的能量守恒，故，又，其中為質(zhì)子的質(zhì)量，得到 (1) 時(shí)，所以 (2) 時(shí)，所以 4-13 兩核子之間的相互作用勢(shì)能，在某種準(zhǔn)確程度上可以用湯川勢(shì)來表示，式中約為50MeV，約為。(1)試求兩個(gè)柱子之間的相互作用力F與它們之間距離r之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求時(shí)相互作用力的值； (3)求，時(shí)作用力的值，并通過比較解釋什么是短程力。解 (1) <0為引力 (2) 當(dāng)時(shí)， (3) 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 由以上的計(jì)算結(jié)果知，當(dāng)r增大時(shí)，F(xiàn)值迅速減小，即F只在r比較小的范圍內(nèi)(數(shù)量級(jí)均為)有明顯

10、作用，這種力就叫做短程力。414 如圖所示，在水平光滑平面上有一輕彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的滑塊。彈簧原長(zhǎng)為，倔強(qiáng)系數(shù)為k。當(dāng)t0時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為。滑塊得一水平速度，方向與彈簧軸線垂直。t時(shí)刻彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)。求t時(shí)刻滑塊的速度v的大小和方向(用角表示)。解因?yàn)閺椈珊托∏蛟诠饣矫嫔线\(yùn)動(dòng)，所以若把彈簧和小球作為一個(gè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即 (1) 小球在水平面上所受彈簧拉力通過固定點(diǎn)，則小球?qū)潭c(diǎn)角動(dòng)量守恒，即 恒量故 (2)由(1)式得 代入(2)式得 415 如圖所示，一太空探測(cè)器沿著拋物線路徑接近金星，當(dāng)?shù)诌_(dá)點(diǎn)B時(shí)最靠近金星。此時(shí)點(diǎn)燃制動(dòng)火箭減速，使它進(jìn)入橢圓軌道，以便在點(diǎn)A

11、作切向著陸。點(diǎn)B距金星中心16090km，金星半徑為5990km，質(zhì)量為地球的0.815倍。試求；(1)探測(cè)器達(dá)到點(diǎn)B的速率；(2)制動(dòng)火箭點(diǎn)燃后，探測(cè)器的速率；(3)在A處著陸時(shí)探測(cè)器的速率。解 (1) 探測(cè)器以拋物路徑到達(dá)B點(diǎn)，其條件是E=0(以金星中心為原點(diǎn))，而 所以 (2) 當(dāng)探測(cè)器以橢圓軌道在A點(diǎn)作切向著陸時(shí)，它所受的是金星對(duì)它的有心力，且是保守力，所以應(yīng)滿足角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律的條件。設(shè)在B點(diǎn)和A點(diǎn)的速率分別為和，則有 寫成標(biāo)量形式為 (1) (2)將上述兩式聯(lián)立，可得(3) 由(2)式知，416 如圖所示，兩飛船和在繞地球的兩個(gè)圓形軌道上作逆時(shí)針方向飛行，兩軌道同處一個(gè)平

12、面內(nèi)，半徑分別為和?，F(xiàn)從上沿其軌道的切向發(fā)射的補(bǔ)給火箭，使其速度能在抵達(dá)時(shí)與的軌道相切。補(bǔ)給火箭發(fā)射后，就在自由飛行的條件下完成其旅程。試求：(1)補(bǔ)給火箭相對(duì)于的發(fā)射速率；(2)補(bǔ)給火箭到達(dá)B處的速率；(3) 的軌道速率；(4)對(duì)比(2)和(3)的結(jié)果后，為了使和連接，還應(yīng)當(dāng)采取什么措施? 解 (1) 補(bǔ)給火箭的軌道是一個(gè)半橢圓，設(shè)其相對(duì)于地心的速率為，由于上題的(1)、(2)兩式可得為求補(bǔ)給火箭相對(duì)于的速率，先要知道相對(duì)于地心的速率，由于作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力公式得所以 (2)設(shè)補(bǔ)給火箭到達(dá)B處的速率為，根據(jù)動(dòng)量守恒有 (m為補(bǔ)給火箭的質(zhì)量)所以 (3) 設(shè)的軌道速率為，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力公式，有所以 (4) 對(duì)比(2)和(3)可知，<。所以補(bǔ)給火箭抵達(dá)B后，必須開動(dòng)引擎使其速率增至的軌道速率，否則不能連結(jié)。417 求證：兩個(gè)小球在一維彈性撞過程中，最大彈性形變勢(shì)能為式中、是小球的質(zhì)量，、是碰撞前小球的速率。解 在彈性碰撞過程中，動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，當(dāng)二者速度相等時(shí)，彈性勢(shì)能最大，此時(shí)，由動(dòng)量守恒定律，得 (1) 又由機(jī)械能守恒定律得， (2)由(1)式，解出v，代入(2)式中，得 418 在核反應(yīng)堆中，石墨被用作快速中子的減速劑，裂變產(chǎn)生的快中子的質(zhì)