剛體繞定軸轉(zhuǎn)動 力矩

1、5.1 剛體和自由度的概念剛體和自由度的概念一一. 剛體剛體特殊的質(zhì)點(diǎn)系，特殊的質(zhì)點(diǎn)系， 理想化模型理想化模型形狀形狀和和體積體積不變化。不變化。在力作用下，組成在力作用下，組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變物體的所有質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變二二. 自由度自由度確定物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)確定物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù) 物體的自由度數(shù)物體的自由度數(shù)sOi = 1xyzO( x , y , z )i = 3i = 2xyzOi = 3+2+1= 6 當(dāng)剛體受到某些限制當(dāng)剛體受到某些限制 自由度減少自由度減少 力的作用下形狀和大小不變的物體力的作用下形狀和大小不變的物體5.2 剛體的平動

2、剛體的平動剛體運(yùn)動時(shí)，若在剛體內(nèi)所作的任一條直線都始終保持和自剛體運(yùn)動時(shí)，若在剛體內(nèi)所作的任一條直線都始終保持和自身平行身平行 剛體平動剛體平動ABABA B 平動的特點(diǎn)平動的特點(diǎn)(1) 剛體中各質(zhì)點(diǎn)的剛體中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況相同運(yùn)動情況相同BArrBABArrBAvvBAaa(2) 剛體的平動可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動剛體的平動可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動xyzOArBr一大型回轉(zhuǎn)類一大型回轉(zhuǎn)類“觀覽圓盤觀覽圓盤”如圖所示。圓盤的半徑如圖所示。圓盤的半徑R=25 m，供人乘坐的吊箱高度供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圓盤繞水平軸均速轉(zhuǎn)動，。若大圓盤繞水平軸均速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為0.1 r/min。 例例30060

3、1022T)cos(0tRxxBALtRLyyBA)sin(0222)(RLyxAA解解求求 吊箱底部吊箱底部A點(diǎn)的軌跡及點(diǎn)的軌跡及A點(diǎn)的速度和加速度的大小。點(diǎn)的速度和加速度的大小。吊箱平動吊箱平動3002522RAyAxAvvvsm 260/.)cos(dd02tRtaAxAxv2322222sm 107230025/.RaaaAyAxA)sin(dd02tRtaAyAyv)sin(dd0tRtxAAxv)cos(dd0tRtyAAyv)(tf)( ddtft)( dddd22tftt5.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動zMIIIII P角坐標(biāo)角坐標(biāo)角速度角速度角加速度角加速度一一. 描述描

4、述 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量剛體的剛體的平動平動和和繞定軸轉(zhuǎn)動繞定軸轉(zhuǎn)動是剛體的是剛體的兩種最簡單最基本運(yùn)動兩種最簡單最基本運(yùn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線( (轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸) )作作圓周圓周運(yùn)動運(yùn)動_剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸固定不動固定不動 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動 二二. 定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度 rv2ran rtaddvc )(tt)(t02022002 21 當(dāng)當(dāng)與質(zhì)點(diǎn)的勻加速直線運(yùn)動公式相像與質(zhì)點(diǎn)的勻加速直線運(yùn)動公式相像P,剛體剛體 zOrO任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動, 且且 ， 都相同都相同rv

5、l 角角速度與角加速度的矢量表示速度與角加速度的矢量表示角加速度矢量角加速度矢量dtd對于對于角速度矢量，規(guī)定：角速度矢量的大小就是角速度的角速度矢量，規(guī)定：角速度矢量的大小就是角速度的大小，方向沿轉(zhuǎn)軸方向，其指向由右手螺旋法則確定：右大小，方向沿轉(zhuǎn)軸方向，其指向由右手螺旋法則確定：右手四指指向剛體轉(zhuǎn)動方向，拇指指向?yàn)槭炙闹钢赶騽傮w轉(zhuǎn)動方向，拇指指向?yàn)?方向。方向。k00的方向的方向直角坐標(biāo)系中，設(shè)剛體繞直角坐標(biāo)系中，設(shè)剛體繞 軸作定軸轉(zhuǎn)動，則角速度矢量為軸作定軸轉(zhuǎn)動，則角速度矢量為z沿沿 正向正向z沿沿 負(fù)向負(fù)向z角加速度矢量為角加速度矢量為kdtdravnatrrttrtadddd d)d

6、(ddvvr定軸定軸P,剛體剛體 zOrOrv 加速度與角加速度的矢量關(guān)系式加速度與角加速度的矢量關(guān)系式定義了角速度矢量后，就可以用它表示出剛體上任意點(diǎn)的定義了角速度矢量后，就可以用它表示出剛體上任意點(diǎn)的速度速度rtrddv例例解解求求 p點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度剛體繞剛體繞 z 軸正向轉(zhuǎn)動，軸正向轉(zhuǎn)動， ，某時(shí)刻，某時(shí)刻 p點(diǎn)位矢點(diǎn)位矢min/60rn )(543mkjirsradn/2602kk2rv)543(2kjik)/(68smji（ 沿沿 z 軸正向轉(zhuǎn)）軸正向轉(zhuǎn)）6.1 力矩力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程一一. 力矩力矩力力改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài) 剛體獲得

7、角加速度剛體獲得角加速度 力力 F 對對z 軸的力矩軸的力矩sin)(FrFhFMz“”的確定的確定：（右螺旋）：（右螺旋）從從z z軸正端向負(fù)端看，軸正端向負(fù)端看，質(zhì)點(diǎn)獲得加速度質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)rhFAzo若若 使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn) 為正為正若若 使剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)使剛體順時(shí)針轉(zhuǎn) 為負(fù)為負(fù)zMzMFF例如例如rF/FhFAzTRTTRMiTRTTrMiTT討論討論 不能改變剛體繞不能改變剛體繞z z軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)/F/F對對z z軸的力矩為零軸的力矩為零o1)1)力平行于轉(zhuǎn)軸或通過轉(zhuǎn)軸時(shí)，對該軸力矩為零。力平行于轉(zhuǎn)軸或通過轉(zhuǎn)軸時(shí)，對該軸力矩為零

8、。2)2)若若 不在垂直于不在垂直于z z軸的平面內(nèi)軸的平面內(nèi)F/FFFhFFMFMzz)()(也可將力也可將力 ( (位于垂直于位于垂直于z z軸的面內(nèi)軸的面內(nèi)) )對對z z軸的力矩視為軸的力矩視為矢量，定義矢量，定義矢量力矩矢量力矩FFrMZr大?。捍笮。悍较颍河衣菪▌t方向：右螺旋法則 sinrF：轉(zhuǎn)動中心到力的作用點(diǎn)的位矢：轉(zhuǎn)動中心到力的作用點(diǎn)的位矢FrMZ當(dāng)當(dāng) 不在不在垂直于垂直于z z軸的平面內(nèi)軸的平面內(nèi)F： 和和 的夾角的夾角rFO .FrMO說明：說明：可以證明：可以證明：力對任意點(diǎn)的力矩，在通過該點(diǎn)的任一力對任意點(diǎn)的力矩，在通過該點(diǎn)的任一軸上的投影，等于該力對該軸的力矩。軸

9、上的投影，等于該力對該軸的力矩。力對定點(diǎn)力對定點(diǎn)o o的力矩的力矩FroM大小：大?。簊inrFMMoo方向：垂直于方向：垂直于 和和 所確定所確定的平面，且指向由的平面，且指向由右右螺旋法則螺旋法則給出。給出。 rFxLOmy例例 已知棒長已知棒長 L ,質(zhì)量質(zhì)量 m，在摩擦系數(shù)為，在摩擦系數(shù)為 的桌面轉(zhuǎn)動的桌面轉(zhuǎn)動 (如圖如圖)解解xLMmddgmfdd根據(jù)力矩根據(jù)力矩xgxLmxdfMddmgLxgxLmML21d0 xdx求求 摩擦力對摩擦力對y軸的力矩軸的力矩練習(xí)練習(xí)：質(zhì)量為：質(zhì)量為 ，長為，長為 的細(xì)桿在水平粗糙桌面上繞過其的細(xì)桿在水平粗糙桌面上繞過其一端的豎直軸旋轉(zhuǎn)，桿的密度與離軸距離成正比，桿與桌面一端的豎直軸旋轉(zhuǎn)，桿的密度與離軸距