數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)題9

1、(2)(3)片*1三齊-】斗£憶1斗4人斗幾J一護(hù)叫），4(4)新叫）4習(xí)題九1. 取步長(zhǎng)h = 0.1,分別用歐拉法與改進(jìn)的歐拉法解下列初值問(wèn)題yf + y = x 0 < X < D.4（i）；（2）準(zhǔn)確解：（1）2）歐拉法：-一L-1,二， !11改進(jìn)的歐拉法：Fi =。°兀匕=口.119025= 0.C41217625= 0-070801352. 用四階標(biāo)準(zhǔn)龍格一庫(kù)塔法解第 1題中的初值問(wèn)題，比較各法解的 精度。片.此叭仍 匕0山刃引叩1 ,乃。麗。陰421 , -0.0703202383. 用歐拉法計(jì)算下列積分在點(diǎn)-:-匚】處的近似值。'一&#

2、39;0.5000,1.1420,2.5011,7.24504. 求下列差分格式局部截?cái)嗾`差的首項(xiàng)，并指出其階數(shù)。(1)正嘰）25用Euler法解初值問(wèn)題> =+10'JyyOT ='取步長(zhǎng)h=0.1，計(jì)算到 x=0.3（保留到小數(shù)點(diǎn)后4位）.解：直接將Eulerr法應(yīng)用于本題，得到兒廠齊+嘰£十1QQ處）=兒+01心；+100zJ）由于-:-:,直接代入計(jì)算，得到用1）邸片+0 05x（ +耳-”） +己1 +汕-仏+0 1（丘+心-必）】= A+0.05x（h + 2.氐 7也 + QE"Q12W46.用改進(jìn)Euler法和梯形法解初值問(wèn)題-：兒.&

3、#39;：廠-匚取步長(zhǎng)h=0.1計(jì)算到x=0.5，并與準(zhǔn)確解 m 相比較.解：用改進(jìn)Euler法求解公式，得兀+i 二幾 +0 05x（rJ + 口 一耳）+ 疋+1 +乂曲 一5 1 （丘 + 心一幾） =幾 +0.0x（1.? 十2,1旺 _ 1 % +0.1.1）超=0,1,234計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表用梯形法求解公式，得 - ' ：- 11 . -.i1解得汽.i', I.'：_?.'；- 一一二 ：丿二.：. LLL精確解為'1J 一一0,10,20.30.40.5改 ifi Eulen H0.005500.021930.050150.000040.1

4、4500梯形法0*006240*021410.049370.069910.14373稻確解y（xj0.0051G0.02127049130,069680.143477證明中點(diǎn)公式（739產(chǎn)產(chǎn)兒+蟻區(qū)炫兒+詐叢 m 是二階 的，并求其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng) 證明根據(jù)局部截?cái)嗾`差定義，得陰嚴(yán)臨+H叫+找臨+擋）將右端Taylor展開(kāi)，得ZJ!£ 'Ox Z 竽1 H孑f h2 # d2f 護(hù)嚴(yán)坪、1+ O(h)uh諾+三諾;+/+處刀=/ $ F' 4孫去(器+"諾+X故方法是二階的，且局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)是上式右端含h3的項(xiàng) 8用四階R-K方法求解初值問(wèn)題 比如ZQ0H

5、M21取步長(zhǎng)h=0.2.0：解直接用四階R K方法加計(jì)誹+吟嚀尹+純協(xié))一址怒十°凹1門(mén)7嚴(yán) +斗J 咒兒十0陀)4 丸叫十0込)二 氏叫十0込)其中1 1+ Jrs忌 =；!七4 = t'? 4 =., - ,j 期 = O.F1, j 斗計(jì)算結(jié)果如表所示:Xn0.20.40.60.81.0Yn1. 7275b2.742954.094 IS5. 825217. 996019對(duì)于初值問(wèn)題1"-1 - ' : W、'門(mén)一解 因f(y)=-100 ，故由絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間要求(1)用Euler法解時(shí)，(2)用梯形法解時(shí)，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為，由因f對(duì)y是線性的，故不

6、用迭代，對(duì)h仍無(wú)限制。(3)用四階R-K方法時(shí),0<<- = 0X275510010. (1)用Euler法求解，步長(zhǎng)h應(yīng)取在什么范圍內(nèi)計(jì)算才穩(wěn)定?(2)若 用梯形法求解，對(duì)步長(zhǎng)h有無(wú)限制？ (3)若用四階R-K方法求解，步 長(zhǎng)h如何選??？解：用四階顯式Adams公式先要算出%円如旳,而瑤=1,其余3點(diǎn)可 用四階R-K方法計(jì)算。由，得呂=y（ .yv ） = 2耳一 2y*電=y< + 空， + 空比J = 2-7 -1+0.15 - Tg + 去幾 +-； - N7事 - I S2k +0 134 =1= 2-45 -1.636 1 0.273yi = y +鑒乂（皚+ 2

7、左之+ 2A3 +龍打6= 0.2719xtt -»- 0 318733 十 A 01405, jfl = 0,1.2由兒=1內(nèi)=0計(jì)算得乃二 0 83278Va = 0.7230673 = 0.66也29再由四步四階Adams顯式方法得畑如呂唄訛-1】理）卜和-1嘰）+（1 g -嘰）-（2%嘰3）11用四步四階的Adams顯式方法幾八幾亠可-貂兀十孔匚-"4求解初值問(wèn)題 - ': - ' 1 1-1取h=0.1.（1）用形如兒門(mén)=咄幾+兒一J +機(jī)仇£ +Ei*i）的線性二步法解-v'=孑 WfE =坯（2）試確定參數(shù)，使方法具有盡可能高的階數(shù)，并求出局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).解本題仍利用局部截?cái)嗾`差的Taylor展開(kāi)，T«+T=鞏% +閒-。，（兀）+尹（耳-閤-亂/V（忌）+ £護(hù)億-;I）232二臨十洌（殆十?！必埃┦郑┦?（滬）-GJ心）十皿）-郵缶）+yj"（xJ -磯 ZVg+恥 g-砂 g 十少 S+0（I）= （12空"£）+ 1 + & £。一0JA/（aJ+（£+十（+十