浮點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算

1、計(jì)算機(jī)組成與結(jié)構(gòu)之浮點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算學(xué)生組所在學(xué)院： 燕山大學(xué)信息學(xué)院 學(xué)生組所在班級(jí)： 2014 級(jí)計(jì)算機(jī) 1 班 學(xué) 生 組 姓 名： 陳朝俊 張海 傅曉欣 曲佳彤438 號(hào)地 址：中國(guó)河北省秦皇島市河北大街郵 編： 066004電 話：傳 真：網(wǎng) 址：浮點(diǎn)數(shù)加減法運(yùn)算簡(jiǎn)介大型計(jì)算機(jī)和高檔微型機(jī)中，浮點(diǎn)加減法運(yùn)算是由硬件完成 的。低檔的微型機(jī)浮點(diǎn)加減法運(yùn)算是由軟件完成的，但不論用硬件 實(shí)現(xiàn)還是軟件實(shí)現(xiàn)，基本原理是一致的。浮點(diǎn)加減法運(yùn)算要經(jīng)過對(duì)階、尾數(shù)加減運(yùn)算、結(jié)果規(guī)格化、舍 入處理、溢出判斷五步操作。 其中尾數(shù)運(yùn)算與定點(diǎn)加減法運(yùn)算相同， 而對(duì)階、規(guī)格化、舍入和溢出判斷，則是浮點(diǎn)加減法運(yùn)算和

2、定點(diǎn)加 減法運(yùn)算不同的操作之處。在補(bǔ)碼浮點(diǎn)運(yùn)算中，階碼與尾數(shù)可以都用補(bǔ)碼表示。在硬件實(shí) 現(xiàn)的運(yùn)算中，階碼和數(shù)符常采用雙符號(hào)位。浮點(diǎn)數(shù)的表示形式浮點(diǎn)數(shù)的表示形式 （假設(shè)以 2 為底）：EN=M·2其中， M為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，一般為絕對(duì)值小于 1 的規(guī)格化二進(jìn) 制小數(shù)，用原碼或補(bǔ)碼形式表示； E 為浮點(diǎn)數(shù)的階碼，一般是用移 碼或補(bǔ)碼表示的整數(shù)。階碼的底除了 2以外，還有用 8或 16表示的，這里暫且只以 2 為底進(jìn)行討論。浮點(diǎn)數(shù)加減法運(yùn)算的步驟設(shè)兩浮點(diǎn)數(shù) X、Y 進(jìn)行加減運(yùn)算，其中 ：X=M X·2EX ，Y=M Y·2EY般由以下五個(gè)步驟完成 ：規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算流

3、、對(duì)階1. 對(duì)階是指將兩個(gè)進(jìn)行運(yùn)算的浮點(diǎn)數(shù)的階碼對(duì)齊的操作。對(duì)階的目的是為了使兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)能夠進(jìn)行加減運(yùn)算。因?yàn)?，?dāng)進(jìn)行 MX·2EX 與 MY·2EY加減運(yùn)算時(shí)，只有使兩浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)值部分相 同，才能將相同的指數(shù)值作為公因數(shù)提出來，然后進(jìn)行尾數(shù)的加減 運(yùn)算。2. 對(duì)階的具體方法是： 首先求出兩浮點(diǎn)數(shù)階碼的差， 即EEx-Ey， 將小階碼加上 E，使之與大階碼相等，同時(shí)將小階碼對(duì)應(yīng)的浮點(diǎn) 數(shù)的尾數(shù)右移 E位，以保證該浮點(diǎn)數(shù)的值不變。3. 幾點(diǎn)注意：（1）對(duì)階的原則是小階對(duì)大階，因?yàn)槿舸箅A對(duì)小階，則尾數(shù)的數(shù) 值部分的高位需移出，而小階對(duì)大階移出的是尾數(shù)的數(shù)值部分的低 位，

4、這樣損失的精度更小。（2）若 E0，說明兩浮點(diǎn)數(shù)的階碼已相同，無需再做對(duì)階操作。（3）尾數(shù)右移時(shí)，對(duì)原碼表示的尾數(shù)，符號(hào)位不參加移位，尾數(shù) 數(shù)值部分的高位補(bǔ) 0；對(duì)補(bǔ)碼表示的尾數(shù)，符號(hào)位參加右移，并保 持原符號(hào)位不變。（4）由于尾數(shù)右移時(shí)是將最低位移出，會(huì)損失一定的精度，為減 少誤差，可先保留若干移出的位，供以后舍入處理用。二、尾數(shù)的加減運(yùn)算執(zhí)行對(duì)階后，兩尾數(shù)進(jìn)行加 /減運(yùn)算，得到兩數(shù)之和 / 差三、結(jié)果規(guī)格化1. 規(guī)格化的目的是使尾數(shù)部分的絕對(duì)值盡可能以最大值的形式出 現(xiàn)。設(shè)尾數(shù) M的數(shù)值部分有 n 位，規(guī)格化數(shù)的范圍為：1/2 M原 1-2-n ， 1/2 M補(bǔ) 1-2-n（ 當(dāng) M為正）

5、， 1/2 M補(bǔ) 1（當(dāng) M為負(fù)）。2. 當(dāng)運(yùn)算的結(jié)果 （和/差）不是規(guī)格化數(shù)時(shí)，需將它轉(zhuǎn)變成規(guī)格化數(shù)。 雙符號(hào)位的原碼規(guī)格化尾數(shù)，其數(shù)值的最高位為 1；雙符號(hào)位的補(bǔ) 碼規(guī)格化尾數(shù)，應(yīng)是 00.1XX··· X或 11.0XX··· X（X 可為 0 或 1）。3. 規(guī)格化操作的規(guī)則是： 如果結(jié)果的兩個(gè)符號(hào)位的值不同，表示加減運(yùn)算尾數(shù)結(jié)果溢出， 此時(shí)將尾數(shù)結(jié)果右移 1 位，階碼 E+1，稱為“向右規(guī)格化”，簡(jiǎn)稱 “右規(guī)”。 如果結(jié)果的兩個(gè)符號(hào)位的值相同，表示加減運(yùn)算尾數(shù)結(jié)果不溢 出。但若最高數(shù)值位與符號(hào)位相同，此時(shí)尾數(shù)連續(xù)左移，直到最

6、高 數(shù)值位與符號(hào)位的值不同為止；同時(shí)從 E 中減去移位的位數(shù)，這稱 之為“向左規(guī)格化”，簡(jiǎn)稱“左規(guī)”。四、舍入處理1. 浮點(diǎn)運(yùn)算在對(duì)階或右規(guī)時(shí)，尾數(shù)需要右移，被右移出去的位會(huì)被 丟掉，使運(yùn)算結(jié)果精度受到影響。為減少精度損失，可以將一定位 數(shù)的移出位先保留起來，稱為保護(hù)位，在規(guī)格化后用于舍入處理。 2.IEEE754 標(biāo)準(zhǔn)列出了四種可選的舍入處理方法：（ 1）0 舍 1 入： 這是標(biāo)準(zhǔn)列出的默認(rèn)舍入方式，相當(dāng)于十進(jìn)制中 的“四舍五入”，即當(dāng)丟失的最高位的值為 1時(shí)，把這個(gè) 1 加到尾 數(shù)末位上進(jìn)行修正 （若加 1后又使尾數(shù)溢出， 則再進(jìn)行一次右規(guī)） ， 否則舍去丟失的各位的值。（2）朝+舍入：

7、對(duì)正數(shù)來說，只要多余位不為全 0，則向尾數(shù)最 低有效位進(jìn) 1；對(duì)負(fù)數(shù)來說，則是簡(jiǎn)單地舍去。（3）朝- 舍入：與朝 +舍入方法正好相反，對(duì)正數(shù)來說，只是 簡(jiǎn)單地舍去；對(duì)負(fù)數(shù)來說，只要多余位不為全 0，則向尾數(shù)最低有 效位進(jìn) 1。（ 4）朝 0 舍入：簡(jiǎn)單地截?cái)嗌崛ィ还芏嘤辔皇鞘裁粗怠＿@種 方法處理簡(jiǎn)單，但容易形成累積誤差。五、溢出判斷與定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算不同的是，浮點(diǎn)數(shù)的溢出是以其運(yùn)算結(jié)果的階碼的值是否產(chǎn)生溢出來判斷的。若階碼的值超過了階碼所能表示的 最大正數(shù)，則為上溢，置溢出標(biāo)志，若此時(shí)浮點(diǎn)數(shù)為正數(shù)，則為正 上溢，記為 +，若浮點(diǎn)數(shù)為負(fù)數(shù)，則為負(fù)上溢，記為 - ；若階碼 的值超過了階碼所能表示的最

8、小負(fù)數(shù)，則為下溢，若此時(shí)浮點(diǎn)數(shù)為 正數(shù)，則為正下溢，若浮點(diǎn)數(shù)為負(fù)數(shù)，則為負(fù)下溢。正下溢和負(fù)下 溢都作為 0 處理（通常將階碼和尾數(shù)全部置 0）。要注意的是，浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍和補(bǔ)碼表示的定點(diǎn)數(shù)的表示范圍是 有所不同的，定點(diǎn)數(shù)的表示范圍是連續(xù)的，而浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍可 能是不連續(xù)的。如下圖所示。【例】?jī)筛↑c(diǎn)數(shù)相加，求 X+Y 。已知：X2o1o ? 0.11011011,Y21oo ? （0.10101100）,求 XY 解：X 和 Y 在運(yùn)算器中的浮點(diǎn)補(bǔ)碼表示形式為（雙符號(hào)位）：X：000100011011011Y：0010011010101001）對(duì)階階符 階碼 數(shù)符尾數(shù)階差EEEE補(bǔ)E補(bǔ) 00

9、 01011 100 11 110即E為2,X 的階碼小 ,應(yīng)使 M右移 2位,保留階碼 E=00 100.M 補(bǔ) 00 00110110 11其中 11 表示 M右移出去而保留的附加位。 （2）尾數(shù)相加M補(bǔ)0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 11 MY 補(bǔ) 1 1 0 1 0 1 0 1 0 01 1 1 0 0 0 1 0 1 0 11（ 3）結(jié)果規(guī)格化尾數(shù)運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)位與最高數(shù)值位相同 ,應(yīng)進(jìn)行左規(guī)處理 ,結(jié) 果 =11 00010101 10階, 碼減一， E= 00 011。（4）舍入處理采用 0舍 1入法處理 ,保護(hù)位最高位為 1，在所得結(jié)果最低位 +1，得 M 補(bǔ) =11 00010110，M=-0.11101010.（5）溢出處理階碼符號(hào)位為 00，故不溢出 ,最終結(jié)果為 ：X+Y = 2o11 ? (-0.11101010)實(shí)現(xiàn)浮點(diǎn)運(yùn)算的加法器邏輯電路原理框圖如下圖所示圖中，三個(gè)寄存器 R0、R1和 R2分別存放兩個(gè)參加運(yùn)算的浮點(diǎn) 數(shù)和結(jié)果。第一步對(duì)階，首先由 E 加法器求出兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)階碼的 差值，然后由控制電路控制選擇小階碼浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)進(jìn)入右移寄存 器進(jìn)行對(duì)階時(shí)的右移，右移結(jié)果送入尾數(shù)加法器的一個(gè)輸入端，大 階碼浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)則直接送入加法器的另一個(gè)輸入端；第二步尾數(shù) 相加減；第三步