基于Peclet數(shù)判別法的一維對(duì)流擴(kuò)散方程分類研究

1、基于Peclet數(shù)判別法的一維對(duì)流擴(kuò)散方程分類研究摘要：采用Peclet數(shù)的絕對(duì)值大小來(lái)判別一維對(duì)流擴(kuò)散方程為對(duì)流占優(yōu)型或是擴(kuò)散占優(yōu)型方程，運(yùn)用三種隱式差分格式中心隱式格式、對(duì)流C-N型格式和擴(kuò)散C-N格式，對(duì)不同Peclet數(shù)的算例進(jìn)行離散和求解。然后，將計(jì)算區(qū)域中所有節(jié)點(diǎn)的解析解與數(shù)值解表示成矩陣形式，并求解出它們的矩陣2范數(shù)之后作比較，兩者越接近則代表差分格式精度越高。通過(guò)比較得出了當(dāng)方程Peclet數(shù)的絕對(duì)值小于等于0.5時(shí)，方程為擴(kuò)散占優(yōu)型方程。在離散方法選取方面，針對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)的離散可以采用更高精度的差分格式，如擴(kuò)散C-N格式；當(dāng)Peclet數(shù)的絕對(duì)值大于等于20時(shí)，方程為對(duì)流占優(yōu)型方

2、程。此時(shí)，針對(duì)對(duì)流項(xiàng)可以采用更高精度的差分格式，如對(duì)流C-N格式；當(dāng)Peclet數(shù)的絕對(duì)值介于0.5與20之間時(shí)，無(wú)法用Peclet數(shù)判斷方程類型,不過(guò)可以選擇折衷的離散格式減小誤差，如中心隱式格式。關(guān)鍵字：一維對(duì)流擴(kuò)散方程 Peclet數(shù)判別法 有限差分方法 數(shù)值模擬MR(2010)主題分類號(hào)：39A14；65M06 中圖分類號(hào)：O242.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 1.引言 一維對(duì)流擴(kuò)散方程是描述流體流動(dòng)和傳熱問(wèn)題的一類線性化模型方程。土壤、大氣等多孔介質(zhì)中水、鹽分、溫度以及污染物質(zhì)的對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題都會(huì)遇到此類方程。在一維對(duì)流擴(kuò)散方程的求解過(guò)程中，反映流體對(duì)流和擴(kuò)散兩種物理作用的分別是對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散

3、項(xiàng)。所以，根據(jù)方程中對(duì)流項(xiàng)還是擴(kuò)散項(xiàng)占主導(dǎo)作用，通?？蓪⒎匠谭譃閷?duì)流占優(yōu)型和擴(kuò)散占優(yōu)型兩類方程。然而，要想得到精確度較高的數(shù)值結(jié)果，這兩種類型方程的離散方法不能采用相同的離散格式。因此，需要有一種判別方法來(lái)判斷方程的類型，關(guān)于對(duì)流占優(yōu)型和擴(kuò)散占優(yōu)型方程的判別方法一直是近年來(lái)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。這對(duì)研究不同類型的方程使用合適的差分格式進(jìn)行離散具有實(shí)際的意義。由于Peclet數(shù)的絕對(duì)值表示了對(duì)流作用相對(duì)擴(kuò)散作用的大小，即絕大，擴(kuò)散所起的作用就可以忽略。反之，當(dāng)Peclet數(shù)為零時(shí)，方程就為純擴(kuò)散方程。本文選用一維定解非穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散方程為例，通過(guò)考察Peclet數(shù)的絕對(duì)值大小來(lái)對(duì)方程進(jìn)行分類，方程一般形

4、式如下：其中和分別代表對(duì)流項(xiàng)系數(shù)和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)。假定求解區(qū)間長(zhǎng)度為， Peclet數(shù)的絕對(duì)值計(jì)算公式為：從公式（2）中可以看出，當(dāng)計(jì)算區(qū)間長(zhǎng)度給定，Peclet數(shù)是由對(duì)流和擴(kuò)散系數(shù)確定的。下面介紹方程（1）的離散方法。2. 離散方法2.1 顯式格式離散對(duì)于上述方程（1），需要離散非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（簡(jiǎn)稱U項(xiàng)）、對(duì)流項(xiàng)（簡(jiǎn)稱C項(xiàng)）和擴(kuò)散項(xiàng)（簡(jiǎn)稱D項(xiàng)）。常見(jiàn)的離散方法有顯式格式和隱式格式兩種。顯式格式有：中心顯式格式、修正中心顯式格式、迎風(fēng)差分格式等。比如，以中心顯式格式為例，即使用向前差分格式、一階中心差分格式與二階中心差分格式組合分別離散U項(xiàng)、C項(xiàng)和D項(xiàng)。其離散形式如下：其截?cái)嗾`差為。然而，由von Ne

5、umann判別條件判斷此種格式將受到穩(wěn)定性條件的限制，即：。相應(yīng)其它顯式格式同樣有穩(wěn)定性條件限制。所以，顯示格式時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)取值將受到限制。因此，若采用顯式格式求解一維非穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散方程問(wèn)題，得到的數(shù)值解精度將受到限制，甚至誤差很大。所以，顯式格式的離散效果欠佳，為了彌補(bǔ)它的缺陷，嘗試采用無(wú)條件穩(wěn)定的隱式格式離散（1）式。2.2隱式格式離散常見(jiàn)的隱式格式有三種：向后差分格式、一階中心差分與二階中心差分組合（簡(jiǎn)稱中心隱式格式）；向后差分格式、C-N型一階中心差分與二階中心差分組合（簡(jiǎn)稱對(duì)流C-N型格式）；向后差分格式、一階中心差分與C-N型二階中心差分組合（簡(jiǎn)稱擴(kuò)散C-N型格式）。三種隱式

6、格式的離散形式如下：1）中心隱式格式：2）對(duì)流C-N型格式： 3）擴(kuò)散C-N型格式： 由von Neumann條件判斷上述三種隱式格式均為無(wú)條件穩(wěn)定的格式，即在網(wǎng)格系統(tǒng)較為粗糙時(shí)，也不會(huì)產(chǎn)生數(shù)值震蕩現(xiàn)象。下面將給出上述三種差分格式的穩(wěn)定性分析。3.穩(wěn)定性分析將（4）（6）式分別按網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)排列如下：其中網(wǎng)格比。假定其中。把（7）式代入式并消去公因子，容易求出上述四式的增長(zhǎng)因子分別為：可以看出，式的值均小于等于1。因此，滿足von Neumann判別條件。所以三種隱式格式均無(wú)條件穩(wěn)定。4.數(shù)值算例 為了通過(guò)Peclet數(shù)判別法討論一維對(duì)流擴(kuò)散方程的分類，運(yùn)用上述（4）（6）式的三種離散格式進(jìn)行了大

7、量實(shí)例計(jì)算。本文列舉其中部分?jǐn)?shù)值算例如下。為了討論的必要，所有算例的計(jì)算區(qū)間長(zhǎng)度s均取1m，模擬時(shí)間取1s；時(shí)間步長(zhǎng)取0.1s，每個(gè)算例的空間步長(zhǎng)分別取0.2m，0.1m，0.05m進(jìn)行比較計(jì)算。 按照方程（1），算例的條件依次如下：例1例 2例 3例 4例 5例 6例 7例 8例 9例 10例 11 下表為以上11個(gè)算例在使用三種格式離散和取不同空間步長(zhǎng)的情況下，得到的解析解與數(shù)值解矩陣2范數(shù)之差的絕對(duì)值。這些數(shù)值能反映出各差分格式的數(shù)值解精度。當(dāng)2范數(shù)越小，代表數(shù)值解越接近于解析解，反之亦然。表1 三種格式在三種不同空間步長(zhǎng)下的解析解與數(shù)值解矩陣2范數(shù)之差的絕對(duì)值Tab.1 the abs

8、olute of difference of exact solution matrix and numerical solution matrixs 2-norm under three different spacestep by three schemeshPeclet數(shù)絕對(duì)值中心隱式格式對(duì)流C-N格式擴(kuò)散C-N格式0.2算例11005.715e-65.0108e-65.7789e-60.17.3631e-66.8768e-67.2649e-60.051.0115e-69.3392e-61.0084e-60.2算例2200.0120020.000511530.00592290.10.01

9、58790.00317840.00742520.050.0220520.00589420.0101580.2算例31060.55293.58791.8240.1110.07117.73106.860.0560.55276.31648.4110.2算例4105.12835.13945.01080.12.4.412.3532.14110.051.28561.15240.886650.2算例550.00226370.570920.0017710.10.00113510.909590.00201850.050.00356211.34790.00491990.2算例610.714370.996170.7

10、39970.11.0071.40611.04570.051.41861.98311.47450.2算例710.0130450.00915660.00534970.10.018290.0128420.00649140.050.0256310.0181490.00858280.2算例810.00336830.00294940.0310750.10.00465310.00395790.044150.050.00654120.00552060.0624970.2算例910.0188740.00178410.042020.10.0310240.00109740.0671760.050.0462770.0

11、00995370.0995350.2算例100.50.148410.147820.0374730.10.16940.168360.0100010.050.225370.223820.000924940.2算例110.440.169760.169060.0101480.10.216910.21570.00974850.050.298680.296890.022165從上表中可以發(fā)現(xiàn)，在相同的條件下，一方面，當(dāng)方程Peclet數(shù)的絕對(duì)值為20或者以上時(shí)（算例1和算例2），對(duì)于不同取值的空間步長(zhǎng)，對(duì)流C-N格式的精確度較之另外兩種格式都要高；另一方面，當(dāng)方程Peclet數(shù)的絕對(duì)值為0.5或者以下時(shí)（

12、算例10和算例11），擴(kuò)散C-N格式的精確度則在不同空間步長(zhǎng)取值下較之另外兩種格式要高；然而，當(dāng)方程Peclet數(shù)的絕對(duì)值介于0.5與20之間時(shí)，對(duì)流C-N格式與擴(kuò)散C-N格式精度參差不齊。從表中也可以看出，當(dāng)方程的Peclet數(shù)絕對(duì)值為1（算例69）、5（算例5）和10（算例34）時(shí)，對(duì)流C-N格式與擴(kuò)散C-N格式精度時(shí)高時(shí)低。不過(guò)中心差分格式的精度則介于對(duì)流C-N格式與擴(kuò)散C-N格式之間（算例4，69），甚至還出現(xiàn)了中心差分格式的精度高于另外兩種格式（算例3和算例5）。因此，對(duì)于方程Peclet數(shù)的絕對(duì)值介于0.5與20之間時(shí)，采用中心隱式格式這類離散方法，即不對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)和對(duì)流項(xiàng)使用較高的離

13、散格式（比如C-N型格式），數(shù)值解的效果會(huì)更好一些。5.結(jié)論及拓展 針對(duì)一維非穩(wěn)態(tài)對(duì)流擴(kuò)散方程，通過(guò)上述11個(gè)算例的數(shù)值模擬，可以發(fā)現(xiàn)：Peclet數(shù)的絕對(duì)值在大于或等于20時(shí)，可以判定方程為對(duì)流占優(yōu)型方程，進(jìn)而可以利用諸如對(duì)流C-N型格式之類的對(duì)流占優(yōu)型格式；Peclet數(shù)的絕對(duì)值小于或等于0.5時(shí)，方程為擴(kuò)散占優(yōu)型方程，方程的離散格式則可以使用諸如擴(kuò)散C-N型格式之類的擴(kuò)散占優(yōu)型格式。而當(dāng)Pectlet數(shù)的絕對(duì)值介于0.5與20之間時(shí)，此時(shí)無(wú)法用Peclet數(shù)判別法判斷方程的類型。此時(shí)在方程離散格式上，可以選取諸如中心隱式格式之類的差分格式，即不對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)和對(duì)流項(xiàng)采用更高精度的離散格式。 本

14、文在討論利用Peclet數(shù)判別法判定一維對(duì)流擴(kuò)散方程時(shí)，所使用的離散方法還不盡完善。有待于繼續(xù)尋找更好的差分格式離散方程，從而有望縮小對(duì)流占優(yōu)型和擴(kuò)散占優(yōu)型方程的界限。另外，Peclet判別法從一維對(duì)流擴(kuò)散方程能否推廣到二維、三維方程，將做進(jìn)一步研究。參考文獻(xiàn)1 陶文銓. 數(shù)值傳熱學(xué)(第二版)M. 西安: 西安交通大學(xué)出版社, 2006: 138-140.2 陸金甫, 關(guān)治. 偏微分方程數(shù)值解法(第二版)M. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004: 97-105.3 J.W.Thomas, Numerical Partial Differential Equations: Finite Diff

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19、diffusion-dominated equations by the size of absolute value of Peclet number.Adopting three implicit difference schemes which are included centeral difference scheme, Crannk-Nicolson scheme of diffusion and Crannk-Nicolson scheme of convection to scatter and sovle different Pcelet number of examples

20、.Then, 2-norm of exact solution matrix and numerical solution matrix can be sovled.If the smaller of their 2-norms of difference ,the higher of schemes accuracy. As a result, When the size of absolute value of Peclet number is great than or equal to 20,the equation is belong to convection-dominated equation.A higher accuracys scheme can be taken to disperse the convection item of equation.For example, the Cra