(完整版)2013湖北高考數(shù)學文科試題及解析

1、2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù)學(文史類)樂享玲瓏，為中國數(shù)學增光添彩!免費玲瓏3D畫板，全開放的幾何教學軟件，功能強大，好用實用、選擇題：本大題共10小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集 U 1,2,3,4,5,集合 A 1,2 , B 2,3,4,則 BI «A2x2sinD.2,3,4,51的D.焦距相等A. 2B. 3,4C. 1,4,52222.已知0-,則雙曲線C1 :1與C2 : -2-4sin coscosA.實軸長相等 B.虛軸長相等C.離心率相等3 .在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一

2、次.設命題p是“甲降落在指定范圍” ，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為A . ( P) V ( q)B. p V ( q)C. ( P) A ( q) D. p V q4 .四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論：y與x負相關且y2.347x6.423；y與x負相關且y3.476x5.648；y與x正相關且y5.437x8.493；y與x正相關且§4.326x4.578 .其中一定不.正硯的結論的序號是A.B.C.D. 5 .小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間

3、，后為了趕時間加快速度行駛以上事件吻合得最好的圖象是6 .將函數(shù)y J3cosx sinx (x R)的圖象向左平移 m (m 0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是.兀A .12B.C.-3 uur uurD.7.已知點A 1,1）、B(1,2)、C(2, 1）、D（3, 4）,則向量 AB在CD方向上的投影為B.3 1523 2 C.2D.3 1528. x為實數(shù)，x表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù) f（x） x x在R上為B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.周期函數(shù)9.某旅行社租用 A、B兩種型號的客車安排 900名客人旅行， A、B兩種車輛的載客量分別為36人和21輛，且B型車不

4、多于A型60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過 車7輛.則租金最少為A. 31200 元B. 36000 元C. 36800 元D. 38400 元10 .已知函數(shù) f(x) x(ln xax）有兩個極值點，則實數(shù) a的取值范圍是A . (, 0)1B- (0,2)C. (0, 1)二、填空題：本大題共 7小題，每小題5分，共35分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上.答錯位置,書寫不清，模棱兩可均不得分11 . i為虛數(shù)單位，設復數(shù) 乙，Z2在復平面內(nèi)對應的點關于原點對稱，若Z12 3i ,則 Z212 .某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7

5、, 8, 7, 9,5, 4, 9, 10, 7, 4則（I）平均命中環(huán)數(shù)為（n）命中環(huán)數(shù)的標準差為則輸出的結果i13 .閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序.若輸入m的值為2,第13題圖一 1一.22，TT、一 1一.，一，一一、 一 ，14 .已知圓O : x y 5 ,直線l : xcos ysin 1(0 萬).設圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為k,則k .515 .在區(qū)間2,4上隨機地取一個數(shù) x,若x滿足|x| m的概率為，則m616 .我國古代數(shù)學名著數(shù)書九章中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺

6、八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是 寸.(注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸)17 .在平面直角坐標系中，若點 P(x,y)的坐標x, y均為整數(shù)，則稱點 P為格點.若一個多邊形的頂點全 是格點，則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為 S,其內(nèi)部的格點數(shù)記為 N ,邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中4 ABC是格點三角形，對應的 S 1, N 0, L 4.(I )圖中格點四邊形 DEFG對應的S, N, L分別是;(n)已知格點多邊形的面積可表示為S aN bL c,其中a, b, c為常數(shù).若某格點多邊形對應的三、解答題：本大題共 5小題，共65分.解答應寫出

7、文字說明、證明過程或演算步驟18 .(本小題滿分12分)在 ABC中，角 A, B, C對應的邊分別是 a , b , c.已知cos2 A 3cos(B C) 1 .(I)求角 A的大?。?n)若 ABC的面積S 5底,b 5 ,求sinBsinC的值.19 .(本小題滿分13分)已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，S4 , S2, S3成等差數(shù)列，且a2 a3 a418.(I)求數(shù)列an的通項公式；(n )是否存在正整數(shù) n ,使得Sn由.2013?若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理20 .(本小題滿分13分)如圖，某地質(zhì)隊自水平地面A, B, C三處垂直向地下鉆探，自A點

8、向下鉆到Ai處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到 A2處后下面已無礦，從而得到在 A處正下方的礦層厚度為AA2 di.同樣可得在B, C處正下方的礦層厚 度分別為B1B2 d2, C1C2 d3,且di d2 d3.過AB, AC的中點M , N且與直線A4平行的平面截 多面體ABiG A2B2c2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為 S中.(I)證明：中截面 DEFG是梯形；(n)在4ABC中，記BC a , BC邊上的高為h ,面積為S.在估測三角形 ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏 儲量(即多面體AiBiCi A2B2c2的體積V)時，可用近似公式V估S中h來估算.已知1V (di d2 d

9、3)S ,試判斷V估與V的大小關系，并加以證明 3第20題圖21.(本小題滿分13分)設a 0, b 0,已知函數(shù)f(x) axb.x 1(I)當a b時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(n)當x 0時，稱f(x)為a、b關于x的加權平均數(shù). 判斷f(1), fdb) , f(b)是否成等比數(shù)列，并證明- a a(ii) a、b的幾何平均數(shù)記為 G.稱空為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H.若H f(x) G,求x的取值范圍22.(本小題滿分14分)如圖，已知橢圓 Ci與C2的中心在坐標原點 O,長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別 為2m , 2n (m n),過原點且不與 x軸重合的直線l與Ci , C

10、2的四個交點按縱坐標從 大到小依次為 A, B, C, D.記 m, BDM和 ABN的面積分別為Si和8.n(I)當直線l與y軸重合時，若Si8,求的值；(n)當 變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線I,使得S1S2 ?并說明理由.第22題圖2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷) 數(shù)學(文史類)試題參考答案一、選擇題：1. B BI QA 2,3,4 3,4,5 3,4.22222. D在雙曲線 C1：-2-1 與 C2：-2- 1 中，都有c2sin2cos21,即焦sin coscos sin距相等3. A 因為p是“甲降落在指定范圍” ，q是“乙降落在指定范圍”，則 P是“沒

11、有降落在指定范圍” ，q 是“乙沒有降落在指定范圍”，所以命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為(p) V ( q).4. D在中，y與x不是負相關； 一定不正確；同理 也一定不正確.5. C 可以將小明騎車上學的行程分為三段，第一段是勻速行駛，運動方程是一次函數(shù)，即小明距學校的 距離是他騎行時間的一次函數(shù)，所對應的函數(shù)圖象是一條直線段，由此可以判斷A是錯誤的；第二段因交通擁堵停留了一段時間，這段時間內(nèi)小明距學校的距離沒有改變，即小明距學校的距離是行駛時間的常值函數(shù)，所對應的函數(shù)圖象是平行于 x軸的一條線段，由此可以排除 D;第三段小明為了趕時間加快速度行駛，即小 明在第三段的行駛速

12、度大于第一段的行駛速度，所以第三段所對應的函數(shù)圖象不與第一段的平行，從而排除 B.故選C.6. B因為y J3cosx sinx (x R)可化為y 2cos(x ) (xCR),將它向左平移 /個單位得y 2 cos (x ) - 2cosx ,其圖像關于 y軸對稱. 667. AAB= (2,1), CD = (5,5),則向量AB在向量CD方向上的射影為AB CD (2,1) (5,5) 2 5 1 5 3 2 AB cos ;/產(chǎn) .CD|<52 525v1228. D函數(shù)f(x) x x表示實數(shù)x的小數(shù)部分，有f (x 1) x 1 x 1 x x f (x), 所以函數(shù)f (

13、x) x x是以1為周期的周期函數(shù).9. C 根據(jù)已知，設需要 A型車x輛，B型車y輛，則根據(jù)題設，有x y 21, y x 7, 回出可行域，求出二個頂點的坐標分別為 A(7, 14), B(5, 12), C(15, 6),目標函數(shù)(租x 0, y 0, 36x 60 y 900, 金)為k 1600x 2400y,如圖所示.y=2L_xV900 強77 .而“C: (15. 6)即得租金的最小值為:J_w將點B的坐標代入其中,k 16005 2400 12 36800 (元).10. Bf'(x) ln x1 2ax ,由f (x) x(ln x ax)由兩個極值點，得 f

14、9;(x)0有兩個不等的實數(shù)解,即lnx2ax 1有兩個實數(shù)解，從而直線y2ax 1與曲線y Inx有兩個交點.過點(0, 1)作 y ln x的切線,設切點為（x°, y0）,則切線的斜率1，、一k 一，切線方程為yXolx 1.x0切點在切線上，則x0 y0x01 0,又切點在曲線y ln x上,則 ln x00x01 ,即切點為（1,0）.切線方程為y x 1.再由直線y 2ax 1與曲線y lnx有兩個交點.,知直線y2ax 1位于兩直線y 0和y x 1之間,如圖所示,11.2 3i 復數(shù)乙2 3i在復平面內(nèi)的對應點 Z1 （2, 3）,它關于原點的對稱點Z2為（一2,3）

15、,所1其斜率 2a滿足：0v2av1,解得0vav 2對應的復數(shù)為z223i.12.(i)7(n)(D)1c C 7879549 10 747；10(I10 (10 7)2 2(9 7)2 (8 7)2 3(7 7)2 (5 7)2 2(4 7)2:生21013. 4初始值m=2, A=1, B=1,i=0,第一次執(zhí)行程序，得 i=1, A=2, B=1,因為A<B不成立，則第二次執(zhí)行程序， 得i=2, A=2X2=4, B=1X2=2,還是A<B不成立，第三次執(zhí)行程序，得i=3 , A=4X2=8,B=2X3=6,仍是A<B不成立，第四次執(zhí)行程序， 得i=4, A=8X2=

16、16, B=X4=24,有A<B成立，輸出i= 4.14. 4這圓的圓心在原點，半徑為5,圓心到直線l的距離為7=J=cos2sin21 ,所以圓O上到直線l的距離等于1的點有4個，如圖A、B、C、D所示.15. 3 因為區(qū)間2,4的長度為6,不等式|x| m的解區(qū)間為m, m,其區(qū)間長度為2m.那么在區(qū)間2,4上隨機地取一個數(shù)x,要使m的概率為5 , m將區(qū)間2,4分為 2,6且兩區(qū)間的長度比為 5:1,所以m=3.16. 3 如圖示天池盆的半軸截面，那么盆中積水的體積為方寸），盆口面積S=196兀（平方寸），所以，平地降雨量為V 9 633 196(寸 3)196(寸 222 一10

17、6 103 196 (立3 （寸）.17.(I) 3, 1,6 (II) 79(I) 3, 1,6 S=Sadfg+Sadef=1+2=3 , N= 1 , L=6;（n） 79根據(jù)題設4 ABC是格點三角形，對應的 S 1,由(i)有 a 6b c 3,再由格點 DEF中，S=2, N=0,L=6，得 6b c 21聯(lián)立，解得b -, c所以當N 71 , L 18時，S71118 1 79.2三、解答題:18. ( I )由 cos2A 3cos(B C) 1 ,22cos A 3cos A0,即(2cos A2 （舍去）.一1 一1)(cosA 2) 0 ,解得 cos A - 或 co

18、sA因為0 A(n)由 s兀、一.333-bcsin A - bc 一 一 bc543，得 bc 20 .又 b 5,知 c4.19.(n)20.(n)由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 25 16 20 21,故a 冉.又由正弦定理得sinBsinC bsin A sin Absin2 A -.aaa21 47(I)設數(shù)列an的公比為q,則司0, q 0.由題意得232S4S3S2,aiq aq aiq ,_/ C 即2.a3a418,aq。q q)18,a13,q 2.n 1故數(shù)列an的通項公式為an 3(2).由(I )有Sn 3 1 ( "I 1 ( 2)n .1

19、( 2)若存在 n ,使得 Sn 2013,則 1 ( 2)n 2013 ,即(2)n 2012.當n為偶數(shù)時，(2)n 0 ,上式不成立；當 n 為奇數(shù)時，(2)n2n2012,即 2n 2012,則 n 11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n ,且所有這樣的n的集合為n n 2k 1, k N,kS2 a2解得(I)依題意 AA2 平面ABC, B1B2 平面ABC, C1C2 平面ABC, 所以 AiA2/BiB2/C1C2.又 A1A2 d1, B1B2 d2, C1C2 d3,且 d d2 d3 . 因此四邊形 AA2B2B1、AA2c2G均是梯形.由 AA2 /平面 MEFN , AA

20、2 平面 AA2B2B,且平面 AA2B2B I 平面 MEFN ME , 可彳A AA2/ ME,即 A1A2 / DE.同理可證 A1A2 / FG,所以 DE / FG.又M、N分別為AB、AC的中點，則 D、E、F、G 分別為 AB、A2B2、A2c2、A1C1 的中點，即DE、FG分別為梯形 AA2B2B1、A1A2c2C1的中位線.因此而d1DE -(A1A2B1B2)d2), FG (AA2C1C2)ds),2222d2 d3,故DE FG ,所以中截面 DEFG是梯形.V .證明如下:由AA2 平面ABC, MN 平面ABC,可得而EM/A1A2,所以EM MN ,同理可得FN

21、由MN是 ABC的中位線，可得 MN 1BC2A1A2MN .MN .11a即為梯形DEFG的高, 25.因此kS梯形DEFG一（22曳d1d3)2a(2d1 d2 d3), 8d3).ahh(2d1 d28-1又S ah21(d1 3d2 d3)Sah(d1d2 d3).6由d1ahd2 d3)(d2 d1) (d3 d1).240 ,故V估V .ahV V估(d1d2 d3,得 d2ahd2 d3) (2d1d10, d3 d121.(I) f(x)的定義域為(，1)U( 1,),f (x)a(x 1) (ax b) a bb時,b時,2(x 1)f (x)f (x)(n) (i)計算得f

22、(1)b22 .(x 1)函數(shù)函數(shù)0,b故 f(1)f() a2aba bf(1)f(b) f(. b a . a)2.f (x)在(f (x)在(f(b)aab1),1)，(1,)上單調(diào)遞增；(1,)上單調(diào)遞減.2aba b0,咤)聞0.f(Jb-)2,即9。,22a2(1t2)所以f(1), f(, 2), f(b)成等比數(shù)列.(ii)由(i)知 f(b) Haf(1) f(j：).由得,f (J) G .故由 Hf(-) f(. b).f(-)af(x)f(A).這時,b時，嗚f(x)噌a.x的取值范圍為(0,);b時，0 b 1,從而-JP ,由f(x)在(0,)上單調(diào)遞增與式, aa

23、 a得- ax Ja,即x的取值范圍為 ,J;)上單調(diào)遞減與式,當a b時，b 八 1C-| BD | |OM | -a|BD |, S2 ,從而b Jb ,由f (x)在(0,aa ab ,即x的取值范圍為 aba22.依題意可設橢圓 G和C2的方程分別為 2222cx nx ym)C1:- 21,C2： 1.其中 a m n 0,-1.amann(I)解法1:如圖1,若直線l與y軸重合，即直線l的方程為x 0,則S1|BD|AB|1_1S一|AB| |ON | 一a|AB|,所以一22S在C1和C2的方程中分別令x 0 ,可得Va m , yB中日 |BD |yByD |mn1丁 7 .|

24、 AB |VaVb |mn1若5 ，則一1,化簡得 2 2 1 0 .由 1 ,可解得 后1.S21故當直線l與y軸重合時，若SS2 ,則22 1.解法2:如圖1,若直線l與y軸重合，則|OA | |OB | m n ;|BD| |OB| |OD| m n , | AB |S1 2| BD | |OM | 2a|BD |, S21 -|AB| 21 |ON| 2a|AB|.所以色S2若包S21 ,可解得 在 1.|BD| m n1.|AB| m n1，則1，化簡得21故當直線2 1.l與y軸重合時，若s S2 ,則v*N xOMCD第22題解答圖2(n)解法1：如圖2,若存在與坐標軸不重合的直線不妨設直線l ： y kx (k 0),l,使得§S2 .根據(jù)對稱性,點M ( a, 0) , N(a, 0)到直線l的距離分別為因為 d1* 1 口1d2 ”一1 k21 k21 k2又 Si l|BD|d1, S2 1|AB|d2,所以且22S2亍，所以d1 d2.1 k|BD |)J!,即 |BD | | AB |.| AB |由對稱性可知| AB| |CD | ,所以|BC | |BD| | AB | (1)|AB|,|AD| |BD| | AB| (1)|AB|,于I AD| |BC|將l的方程分別與C1,ama2k2m2XBC2的方程聯(lián)立，可求得