2005考研數(shù)一真題及解析

1、 . 2005年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 數(shù)學(一)試卷 一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上) (1) 曲線122?xxy的斜漸近線方程為 _. (2)微分方程xxyyxln2?滿足91)1(?y的解為_. (3)設(shè)函 數(shù)181261),(222zyxzyxu?,單位向 量1,1,131?n?, 則)3,2,1(nu?=._. (4)設(shè)? 是由錐面22yxz? 與半球面222yxRz?圍成的空間區(qū)域,?是?的整個邊界的外側(cè),則?zdxdyydzdxxdydz_. (5)設(shè)123,均為3維列向量,記矩陣 123(,)?A,123123123(,24,39)?

2、B, 如果1?A,那么?B . (6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù),記為X, 再從X,2,1?中任取一個數(shù),記為Y, 則2?YP=_. 二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)) . (7) 設(shè)函數(shù)nnnxxf31lim)(?,則()fx在),(?內(nèi) (A)處處可導 (B)恰有一個不可導點 (C)恰有兩個不可導點 (D)至少有三個不可導點 (8)設(shè)()Fx是連續(xù)函數(shù)()fx的一個原函數(shù),NM?表示M的充分必要條件是,N則必有 (A)()Fx是偶函數(shù)()fx?是奇函數(shù) (B)()Fx是奇函數(shù)()fx?是偶函

3、數(shù) (C)()Fx是周期函數(shù)()fx?是周期函數(shù) (D)()Fx是單調(diào)函數(shù)()fx?是單調(diào)函數(shù) (9)設(shè)函數(shù)?yxyxdttyxyxyxu)()()(),(?, 其中函數(shù)?具有二階導數(shù),? 具有一階導數(shù),則必有 (A)2222yuxu? (B)2222yuxu? (C)222yuyxu? (D)222xuyxu? (10)設(shè)有三元方程lne1xzxyzy?,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點(0,1,1)的一個鄰域,在此鄰域內(nèi)該方程 (A)只能確定一個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)(,)zzxy? (B)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)(,)xxyz?和(,)zzxy? (C)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)

4、(,)yyxz?和(,)zzxy? (D)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)(,)xxyz?和(,)yyxz? . (11)設(shè)21,?是矩陣A的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為12,則1,12()?A線性無關(guān)的充分必要條件是 (A)01? (B)02? (C)01? (D)02? (12)設(shè)A為(2)nn?階可逆矩陣,交換A的第1行與第2行得矩陣*.,BAB分別為,AB的伴隨矩陣,則 (A)交換*A的第1列與第2列得*B (B)交換*A的第1行與第2行得*B (C)交換*A的第1列與第2列得*?B (D)交換*A的第1行與第2行得*?B (13)設(shè)二維隨機變量(,)XY的概率分布為 X Y

5、 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知隨機事件0?X與1?YX相互獨立,則 (A)0.2,0.3ab? (B)0.4,0.1ab? (C)0.3,0.2ab? (D)0.1,0.4ab? (14)設(shè))2( ,21?nXXXn?為來自總體(0,1)N的簡單隨機樣本,X為樣本均值,2S為樣本方差,則 (A)1,0(NXn (B)22()nSn? . (C)1()1(?ntSXn (D)2122(1)(1,1)niinXFnX? 三 、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) (15)(本題滿分11分) 設(shè)0,0,2),(22?yxyxyxD,122yx?表

6、示不超過221yx?的最大整數(shù). 計算二重積分?Ddxdyyxxy.122 (16)(本題滿分12分) 求冪級數(shù)?121)12(11()1(nnnxnn的收斂區(qū)間與和函數(shù)()fx. . (17)(本題滿分11分) 如圖,曲線C的方程為()yfx?,點(3,2)是它的一個拐點,直線1l與2l分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線,其交點為(2,4).設(shè)函數(shù)()fx具有三階連續(xù)導數(shù),計算定積分?302.)()(dxxfxx . (18)(本題滿分12分) 已知函數(shù)()fx在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導,且(0)0,(1)1ff?. 證明: (1)存在),1,0(? 使得?1)(f. (

7、2)存在兩個不同的點)1,0(,?,使得.1)()(?ff . (19)(本題滿分12分) 設(shè)函數(shù))(y?具有連續(xù)導數(shù),在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上, 曲線積分24()22Lydxxydyxy?的值恒為同一常數(shù). (1)證明:對右半平面0x?內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線,C 有24()202Cydxxydyxy?. (2)求函數(shù))(y?的表達式. . (20)(本題滿分9分) 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),(xxaxxaxaxxxf?的秩為2. (1)求a的值； (2)求正交變換xy?Q,把),(321xxxf化成標準形. (3)求方程),(321xxxf=

8、0的解. . (21)(本題滿分9分) 已知3階矩陣A的第一行是cbacba,),(不全為零,矩陣12324636k?B(k為常數(shù)),且?ABO,求線性方程組0x?A的通解. . (22)(本題滿分9分) 設(shè)二維隨機變量(,)XY的概率密度為(,)fxy? 10 01,02xyx?其它 求:(1)(,)XY的邊緣概率密度)(),(yfxfYX. (2)YXZ?2的概率密度).(zfZ . (23)(本題滿分9分) 設(shè))2(,21?nXXXn?為來自總體(0,1)N的簡單隨機樣本 ,X為樣本均值, 記.,2,1,niXXYii? 求:(1)iY的方差niDYi,2,1,?. (2)1Y與nY的協(xié)

9、方差1Cov(,).nYY . . 2005年考研數(shù)學一真題解析 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上） （1） 曲線122?xxy 的斜漸近線方程為 .4121?xy 【分析】 本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進行計算即可. 【詳解】 因為 a=212lim)(lim22?xxxxxfxx， ? ?41)12(2lim)(lim?xxaxxfbxx， 于是所求斜漸近線方程為.4121?xy （2）微分方程xxyyxln2?滿足91)1(?y的解為.91ln31xxxy? . 【分析】直接套用一階線性微分方程)()(xQyxPy?的通解公式： ?)()

10、()(CdxexQeydxxPdxxP， 再由初始條件確定任意常數(shù)即可. 【詳解】 原方程等價為 xyxyln2?， 于是通解為 ?ln1ln2222CxdxxxCdxexeydxxdxx =2191ln31xCxxx?， 由91)1(?y得C=0，故所求解為.91ln31xxxy? （3）設(shè)函 數(shù)181261),(222zyxzyxu?，單位向 量1,1,131?n?， 則)3,2,1(nu? =33 . 【分析】 函數(shù)u(x,y,z)沿單位向量?cos,cos,cos?n?的方向?qū)?shù)為： ?coscoscoszuyuxunu? 因此，本題直接用上述公式即可. . 【詳解】 因為 3xxu?

11、 ，6yyu? ，9zzu?，于是所求方向?qū)?shù)為 )3,2,1(nu? =.33313131313131? （4）設(shè)? 是由錐面22yxz? 與半球面222yxRz?圍成的空間區(qū)域，?是?的整個邊界的外側(cè)，則?zdxdyydzdx xdydz3)221(2R? . 【分析】本題?是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標進行計算即可. 【詳解】 ?zdxdyydzdxxdydz?dxdydz3 =.)221(2sin33200402RdddR? （5）設(shè)321,?均為3維列向量，記矩陣 ),(321?A，)93,42,(321321321?B， 如果1?A，那

12、么?B 2 . 【分析】 將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可. 【詳解】 由題設(shè)，有 )93,42,(321321321?B =?941321111),(321?， 于是有 .221941321111?AB （6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從X,2,1?中任取一個數(shù)，記為Y, 則 2?YP= 4813 . 【分析】 本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式, 且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分. . 【詳解】 2?YP=121?XYPXP+222?XYPXP +323?XYPXP+424?XYPXP =.481

13、3)4131210(41? 二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)） （7） 設(shè)函數(shù)nnnxxf31lim)(?，則f(x)在),(?內(nèi) (A) 處處可導. (B) 恰有一個不可導點. (C) 恰有兩個不可導點. (D) 至少有三個不可導點. C 【分析】 先求出f(x)的表達式，再討論其可導情形. 【詳解】 當1?x 時，11lim)(3?nnnxxf； 當1?x 時，111lim)(?nnxf； 當1?x 時，.)11(lim)(3133xxxxfnnn? 即.1,11,1,1,)(33?xxxxx

14、xf 可見f(x)僅在x=1?時不可導，故應選(C). （8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，NM?表示“M的充分必要條件是N”，則必有 (A) F(x)是偶函數(shù)?f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)?f(x)是偶函數(shù). (C) F(x)是周期函數(shù)?f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)是單調(diào)函數(shù)?f(x)是單調(diào)函數(shù). A 【分析】 本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案. 【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為?xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF? 當F(x)為偶函數(shù)時，有)()(xFxF?，于是)()1()(xFxF?，即 )()(xfxf

15、?，也即)()(xfxf?，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則?xdttf0)(為偶函數(shù)，從而?xCdttfxF0)()(為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項. 方法二：令f(x)=1, 則取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 則取 F(x)=221x, 排除(D); 故應選(A). （9）設(shè)函數(shù)?yxyxdttyxyxyxu)()()(),(?, 其中函數(shù)?具有二階導數(shù)， . ? 具有一階導數(shù)，則必有 (A) 2222yuxu?. （B） 2222yuxu?. (C) 222yuyxu?. (D) 222xuyxu?. B 【分析】 先分別求出22xu?

16、、22yu? 、yxu?2，再比較答案即可. 【詳解】 因為)()()()(yxyxyxyxxu?， )()()()(yxyxyxyxyu?， 于是 )()()()(22yxyxyxyxxu?， )()()()(2yxyxyxyxyxu?， )()()()(22yxyxyxyxyu?， 可見有2222yuxu?，應選(B). （10）設(shè)有三元方程1ln?xzeyzxy，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(0,1,1)的一個鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程 (A) 只能確定一個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y). (B) 可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可確定兩個

17、具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). D 【分析】 本題考查隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln?xzeyzxy, 分別求出三個偏導數(shù)yxzFFF,，再考慮在點(0,1,1)處哪個偏導數(shù)不為0，則可確定相應的隱函數(shù). 【詳解】 令F(x,y,z)=1ln?xzeyzxy, 則 zeyFxzx?， yzxFy?，xeyFxzz?ln， . 且 2)1,1,0(?xF，1)1,1,0(?yF，0)1,1,0(?zF. 由此可確定相應的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). 故應選(D)

18、. （11）設(shè)21,?是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為21,?，則1?，)(21?A線性無關(guān)的充分必要條件是 (A) 01?. (B) 02?. (C) 01?. (D) 02?. B 【分析】 討論一組抽象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可. 【詳解】 方法一：令 0)(21211?Akk，則 022211211?kkk， 0)(2221121?kkk. 由于21,?線性無關(guān)，于是有 ?.0,022121?kkk 當02?時，顯然有0,021?kk，此時1?，)(21?A線性無關(guān)；反過來，若1?，)(21?A線性無關(guān)，則必然有02?(,否則，1?與)(21?A=11

19、?線性相關(guān))，故應選(B). 方法二： 由于 ?21212211121101,)(,?A， 可見1?，)(21?A線性無關(guān)的充要條件是.001221?故應選(B). （12）設(shè)A為n（2?n）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, *,BA分別為A,B的伴隨矩陣，則 (A) 交換*A的第1列與第2列得*B. (B) 交換*A的第1行與第2行得*B. (C) 交換*A的第1列與第2列得*B?. (D) 交換*A的第1行與第2行得*B?. C 【分析】 本題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及伴隨矩陣的性質(zhì)進行分析即可. 【詳解】 由題設(shè)，存在初等矩陣12

20、E（交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得），使得 BAE?12，于是 12*11212*12*12*)(EAEEAEAAEB?，即 . *12*BEA?,可見應選(C). （13）設(shè)二維隨機變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知隨機事件0?X與1?YX相互獨立，則 (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 B 【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值. 【詳解】 由題設(shè)，知 a+b=0.

21、5 又事件0?X與1?YX相互獨立，于是有 101,0?YXPXPYXXP， 即 a=)(4.0(baa?, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故應選(B). （14）設(shè))2(,21?nXXXn?為來自總體N(0,1)的簡單隨機樣本，X為樣本均值，2S為樣本方差，則 (A) )1,0(NXn (B) ).(22nnS? (C) )1()1(?ntSXn (D) ).1,1()1(2221?nFXXnnii D 【分析】 利用正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)和2?分布、t分布及F分布的定義進行討論即可. 【詳解】 由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知，)1,0(10NXnnX?，可排除(A); 又)1(0?n

22、tSXnnSX，可排除(C); 而)1()1(1)1(2222?nSnSn?，不能斷定(B)是正確選項. 因為 ?niinXX222221)1(),1(?，且?niinXX222221)1()1(?與相互獨 . 立，于是).1,1()1(1122212221?nFXXnnXXniinii 故應選(D). 三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） （15）（本題滿分11分） 設(shè)0,0,2),(22?yxyxyxD，122yx?表示不超過221yx?的最大整數(shù). 計算二重積分?Ddxdyyxxy.122 【分析】 首先應設(shè)法去掉取整函數(shù)符號，為此將積分區(qū)域

23、分為兩部分即可. 【詳解】 令 0,0,10),(221?yxyxyxD， 0,0,21),(222?yxyxyxD. 則 ?Ddxdyyxxy122=?122DDxydxdyxydxdy drrddrrd?2021310320cossin2cossin? =.874381? （16）（本題滿分12分） 求冪級數(shù)?121)12(11()1(nnnxnn的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x). 【分析】 先求收斂半徑，進而可確定收斂區(qū)間. 而和函數(shù)可利用逐項求導得到. 【詳解】 因為11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim?nnnnnnnnn，所以當21x?時，原級數(shù)絕對收斂，當21x?時，

24、原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（1,1） 記 121(1)(),(1,1)2(21)nnnSxxxnn?， 則 1211(1)(),(1,1)21nnnSxxxn?， 122211()(1),(1,1)1nnnSxxxx?. 由于 (0)0,(0)0,SS? . 所以 2001()()arctan,1xxSxStdtdtxt? 2001()()arctanarctanln(1).2xxSxStdttdtxxx? 又 21221(1),(1,1),1nnnxxxx? 從而 22()2()1xfxSxx? 2222arctanln(1),(1,1).1xxxxxx? （17）（本

25、題滿分11分） 如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線1l與2l分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4). 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導數(shù)，計算定積分?302.)()(dxxfxx 【分析】 題設(shè)圖形相當于已知f(x)在x=0的函數(shù)值與導數(shù)值，在x=3處的函數(shù)值及一階、二階導數(shù)值. 【詳解】 由題設(shè)圖形知，f(0)=0, 2)0(?f; f(3)=2, .0)3(,2)3(?ff 由分部積分，知 ?30303022302)12)()()()()()()(dxxxfxfxxxfdxxdxxfxx =dxxfxfxxfdx?303030)(2)

26、()12()()12( =.20)0()3(216?ff （18）（本題滿分12分） 已知函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=0,f(1)=1. 證明： （I）存在),1,0(? 使得?1)(f； （II）存在兩個不同的點)1,0(,?，使得.1)()(?ff 【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應注意利用第一部分已得結(jié)論. 【詳解】 （I） 令xxfxF?1)()(，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在),1,0(? 使得0)(?F，即?

27、1)(f. （II） 在,0?和1,?上對f(x)分別應用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同的點 . )1,(),0(? ，使得0)0()()(?fff ，?1)()1()(fff 于是 .1111)(1)()()(?ffff （19）（本題滿分12分） 設(shè)函數(shù))(y?具有連續(xù)導數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L 上，曲線積分?Lyxxydydxy4222)(?的值恒為同一常數(shù). （I）證明：對右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C， 有022)(42?Cyxxydydxy?； （II）求函數(shù))(y?的表達式. 【分析】 證明（I）的關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點的任意分段光滑

28、簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進行分解討論；而（II）中求)(y?的表達式，顯然應用積分與路徑無關(guān)即可. 【詳解】 （I） 1l l2 C o X l3 如圖，將C分解為：21llC?，另作一條曲線3l圍繞原點且與C相接，則 ?Cyxxydydxy4222)(?314222)(llyxxydydxy?022)(3242?llyxxydydxy?. （II） 設(shè)2424()2,22yxyPQxyxy?，,PQ在單連通區(qū)域0x?內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，由（）知，曲線積分24()22Lydxxydyxy?在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當0x?時，總有QPxy?. 24252422422(2)

29、4242,(2)(2)Qyxyxxyxyyxxyxy?g Y . 243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)Pyxyyyxyyyyyyxyxy? 比較、兩式的右端，得 435()2,()4()2. yyyyyyy? 由得2()yyc?，將()y?代入得 535242,ycyy? 所以0c?，從而2().yy? （20）（本題滿分9分） 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),(xxaxxaxaxxxf?的秩為2. （I） 求a的值； （II） 求正交變換Qyx?，把),(321xxxf化成標準形； （III） 求方程),(321xxxf=0的解.

30、【分析】 （I）根據(jù)二次型的秩為2，可知對應矩陣的行列式為0，從而可求a的值；（II）是常規(guī)問題，先求出特征值、特征向量，再正交化、單位化即可找到所需正交變換； （III）利用第二步的結(jié)果，通過標準形求解即可. 【詳解】 （I） 二次型對應矩陣為 ?200011011aaaaA， 由二次型的秩為2，知 0200011011?aaaaA，得a=0. （II） 這里?200011011A， 可求出其特征值為0,2321?. 解 0)2(?xAE，得特征向量為：?100,01121?， 解 0)0(?xAE，得特征向量為：.0113? 由于21,?已經(jīng)正交，直接將21,?，3?單位化，得： . ?0

31、1121,100,01121321? 令?321?Q，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標準形： ),(321xxxf=.222221yy? （III） 由),(321xxxf=?222122yy0，得kyyy?321,0,0（k為任意常數(shù)）. 從而所求解為：x=Qy=?0003321cckk?，其中c為任意常數(shù). （21）（本題滿分9分） 已知3階矩陣A的第一行是cbacba,),(不全為零，矩陣?kB63642321（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解. 【分析】 AB=O, 相當于告之B的每一列均為Ax=0的解，關(guān)鍵問題是Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確定系數(shù)矩陣A的秩. 【詳解】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，且.3)()(?BrAr （1）若k9?, 則r(B)=2, 于是r(A)1?, 顯然r(A)1?, 故r(A)=1. 可見此時Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為3-r(A)=2, 矩陣B的第一、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=0 的通解為：2121,63321kkkkkx?為任意常數(shù). (2) 若k=9，則r(B)=1, 從而.