函數(shù)導(dǎo)數(shù)高考題匯編答案

1、高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編函數(shù)（答案）1.（2009 浙江文）（本題滿(mǎn)分 15 分）已知函數(shù) f ( x) x3(1 a) x2a(a 2)x b (a,b R) （ I）若函數(shù) f (x) 的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率是3 ，求 a, b 的值；（ II）若函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 ( 1,1) 上不單調(diào) ，求 a 的取值范圍解析：（）由題意得( )322(1 )(2)fxxa xa af (0)b0，解得 b0 ， a3 或 a 1又2)f ( 0)a(a3）由 f' ( x) 0 ,得 xa, xa 2123又 f ( x ) 在 ( 1,1) 上不單調(diào) ,即a21a231a或

2、3a21 a1a31a15a1解得1或a1a22所以 a 的取值范圍是 (5,1)( 1,1) .222.(2009 山東卷文 ) （本小題滿(mǎn)分12 分）已知函數(shù)f (x)1ax3bx2x 3其中 a03,（1）當(dāng) a,b 滿(mǎn)足什么條件時(shí) , f ( x) 取得極值 ?（2）已知 a0 ,且 f (x) 在區(qū)間 (0,1 上單調(diào)遞增 ,試用 a 表示出 b 的取值范圍 .解: (1) 由已知得 f '(x)ax22bx1,令 f ' ( x)0 ,得 ax22bx10 ,f ( x) 要取得極值 ,方程 ax 22bx 10 必須有解 ,所以4b24a0 ,即 b2a ,此時(shí)方

3、程 ax22bx 10 的根為x2b 4b24abb2a , x22b4b24abb2a ,12aa2aa所以 f '(x)a( xx1 )( xx2 )當(dāng) a 0 時(shí) ,x(- ,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以 f ( x) 在 x 1, x2 處分別取得極大值和極小值.當(dāng) a 0時(shí) ,x(- ,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以 f ( x) 在 x 1, x2 處分別取得極大值和極小值 .綜上 ,當(dāng) a,b 滿(mǎn)足 b2a 時(shí) ,f (x) 取得極值

4、.(2)要使 f ( x) 在區(qū)間(0,1 上單調(diào)遞增 ,需使 f '(x)ax22bx1 0 在 (0,1 上恒成立 .即bax1, x(0,1恒成立 ,所以b(ax1) max22x22xax1 ,a 1a(x21 )設(shè) g( x)g '(x)a,22x22x22x2令 g '( x)0得 x1或 x1(舍去 ),aa當(dāng) a1時(shí),011,當(dāng) x(0,1) 時(shí) g '( x)0 , g (x)ax1單調(diào)增函數(shù) ;aa22x當(dāng) x (1,1 時(shí) g '( x)0 , g(x)ax1單調(diào)減函數(shù) ,a22x所以當(dāng) x1時(shí) , g( x) 取得最大 ,最大值為

5、 g(1)a .aa所以 ba當(dāng) 0a1時(shí) ,11,此時(shí) g '( x )0在區(qū)間 (0,1恒成立 ,所以 g( x)ax1在區(qū)間 (0,1 上單a22x調(diào)遞增 ,當(dāng)x1時(shí)g( x)最大,最大值為g (1)a1ba1所以2,2綜上 ,當(dāng) a 1 時(shí) , ba ;當(dāng) 0 aa 11時(shí) , b2【命題立意】 :本題為三次函數(shù) ,利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值 ,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù) ,則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號(hào)確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立 ,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值 .運(yùn)用函數(shù)與方程的思想 ,化歸思想和分類(lèi)討論的思想解答問(wèn)題.1323.設(shè)函數(shù)f ( x)x(1a) x4ax24a

6、 ，其中常數(shù)a>1( )討論 f(x) 的單調(diào)性 ;( )若當(dāng) x0時(shí)， f(x)>0 恒成立，求a 的取值范圍。解析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問(wèn)關(guān)鍵是通過(guò)分析導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問(wèn)是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。解：（I）f(x)x22(1)4(x2)(x2 )a xaa由 a1知，當(dāng) x2 時(shí)， f(x)0 ，故 f (x) 在區(qū)間 (,2) 是增函數(shù)；當(dāng) 2x2a 時(shí)， f(x)0 ，故 f ( x) 在區(qū)間 ( 2,2a) 是減函數(shù)；當(dāng) x2a 時(shí)， f(x)0 ，故 f (x) 在

7、區(qū)間 (2a,) 是增函數(shù)。綜上，當(dāng) a1時(shí)， f ( x)在區(qū)間 (,2) 和 (2a,) 是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a) 是減函數(shù)。（II ）由（ I ）知，當(dāng) x0 時(shí)， f ( x) 在 x2a 或 x0處取得最小值。fa1 (2a)3(1a)(2a) 24a2a24 a(2)34 a34a 224a3f (0)24a由假設(shè)知a 1a1,4f (2a)0,即a(a3)( a6)0,解得1<a<63f (0)0,24a0.故 a 的取值范圍是（ 1，6）4.（2009江西卷文）（本小題滿(mǎn)分 12 分）設(shè)函數(shù) f ( x) x39 x26xa 2（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x ， f( x

8、)m 恒成立，求 m 的最大值；（2）若方程 f ( x)0 有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a 的取值范圍解： (1)f ' ( x)3x29x6 3(x1)(x2) ,因?yàn)?x(,) ,f ' ( x)m ,即3x29x(6 m)0恒成立 ,所以8112(6m)0 , 得 m3，即 m 的最大值為344(2) 因?yàn)?當(dāng) x1時(shí) , f ' ( x)0;當(dāng) 1x2 時(shí) , f ' ( x)0 ;當(dāng) x2時(shí) ,f ' (x)0 ;所以 當(dāng) x1 時(shí), f ( x) 取極大值f (1)5a ;2當(dāng) x2時(shí) , f (x) 取極小值f (2)2a ;故當(dāng) f (2)0

9、或 f (1)0時(shí) ,方程 f ( x) 0 僅有一個(gè)實(shí)根 . 解得a2 或 a5.25.（2009四川卷文）（本小題滿(mǎn)分12 分）已知函數(shù) f (x)x32bx2cx 2 的圖象在與 x 軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是y5x10 。（I）求函數(shù) f ( x) 的解析式；（ II ）設(shè)函數(shù) g(x)f (x)1 mx ，若 g( x) 的極值存在，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍以及函數(shù)g( x) 取得3極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x 的值 .【解析】（ I ）由已知 , 切點(diǎn)為 (2,0),故有 f (2)0 , 即4b c30又 f ( x)3x24bxc ，由已知 f (2)128bc5 得8bc70 聯(lián)立，解得 b1

10、,c1.所以函數(shù)的解析式為f ( x)x32x2x24 分（II）因?yàn)?g( x)x32x2x21 mx3令 g ( x) 3x24x 1 1 m 031 m當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則0，方程 3x24x10 有實(shí)數(shù)解，3由4(1 m)0 ，得 m1.當(dāng) m1時(shí)， g (x)0有實(shí)數(shù) x22左右兩側(cè)均有g(shù) ( x)0 ，故函數(shù) g( x) 無(wú)極值，在 x33當(dāng) m1時(shí)， g ( x)0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x11 (21 m), x21 (21m ), g ( x), g( x) 情況如33下表：x(, x1 )x1( x1 , x2 )x2( x2)g ( x)+0-0+g (x)極大值極小值所以在 m(,1

11、) 時(shí)，函數(shù) g( x) 有極值；當(dāng) x1 (21m ) 時(shí)， g (x) 有極大值；當(dāng)x1 (21m ) 時(shí)， g (x) 有極小值；3312 分6.（2009 湖南卷文）（本小題滿(mǎn)分 13 分）已知函數(shù) f ( x)x3bx2cx 的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2 對(duì)稱(chēng) .（）求 b 的值；（）若 f (x) 在 xt 處取得最小值，記此極小值為g(t ) ，求 g(t) 的定義域和值域。解: （） f (x) 3x22bxc .因?yàn)楹瘮?shù) f( x) 的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2 對(duì)稱(chēng)，所以2b6.62 ，于是 b（）由（）知，f ( x)x36x2cx ， f ( x)3x2 12x c3(x2)2

12、 c12 .（）當(dāng) c12 時(shí)， f( x)0 ，此時(shí) f (x) 無(wú)極值。（ii ）當(dāng) c<12 時(shí)， f( x)0有兩個(gè)互異實(shí)根x1 , x2 .不妨設(shè) x1 x2，則 x1 2 x2 .當(dāng) x x1 時(shí)， f( x)0 ，f (x) 在區(qū)間 (, x1 ) 內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) x1 x x2 時(shí)， f( x)0 ， f ( x) 在區(qū)間 ( x1, x2 ) 內(nèi)為減函數(shù) ;當(dāng) xx2 時(shí)， f( x)0 ， f ( x) 在區(qū)間 (x2 ,) 內(nèi)為增函數(shù) .所以 f ( x) 在 xx1 處取極大值，在 xx2 處取極小值 .因此，當(dāng)且僅當(dāng)c 12 時(shí)，函數(shù) f ( x) 在 xx2

13、處存在唯一極小值，所以t x22 .于是 g(t) 的定義域?yàn)?(2,) .由 f (t ) 3t 212tc0 得 c3t 212t .于是 g(t)f (t ) t 36t 2ct2t36t 2 ,t(2,).當(dāng) t2 時(shí)， g (t)6t 212t6t (2t)0,所以函數(shù)g(t )在區(qū)間 (2,) 內(nèi)是減函數(shù)，故g(t) 的值域?yàn)?(,8).7.（2009陜西卷文）（本小題滿(mǎn)分12 分）已知函數(shù)f (x) x33ax 1, a0求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；若 f ( x) 在 x1 處取得極值，直線(xiàn)y=my 與 yf (x) 的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m 的取值范圍。解析：（ 1）

14、f ' ( x)3x23a3(x2a),當(dāng) a0時(shí)，對(duì) xR ，有 f ' ( x)0,當(dāng) a0時(shí)， f ( x) 的單調(diào)增區(qū)間為(,)當(dāng) a0 時(shí)，由 f ' (x)0 解得 xa 或 xa ；由 f ' ( x)0 解得axa ，當(dāng) a0時(shí)， f ( x) 的單調(diào)增區(qū)間為(,a ),(a,) ； f (x) 的單調(diào)減區(qū)間為( a ,a ) 。（2）因?yàn)?f ( x) 在 x1 處取得極大值，所以 f ' ( 1)3(1)23a0,a1.所以 f ( x)x33x 1, f ' ( x)3x23,由 f ' ( x)0 解得 x11,

15、x21。由（ 1）中 f ( x) 的單調(diào)性可知，f ( x) 在 x1 處取得極大值f (1)1 ，在 x1處取得極小值 f (1)3 。因?yàn)橹本€(xiàn) ym 與函數(shù) yf (x) 的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又f (3)193 ， f (3)17 1，結(jié)合 f ( x) 的單調(diào)性可知，m 的取值范圍是 ( 3,1)。9.（2009 天津卷理）（本小題滿(mǎn)分12 分）已知函數(shù) f ( x)(x2ax2a23a)ex ( xR), 其中 aR（ 1）當(dāng) a0 時(shí)，求曲線(xiàn) yf ( x)在點(diǎn) (1, f (1)處的切線(xiàn)的斜率；（ 2）當(dāng) a2時(shí)，求函數(shù)f (x) 的單調(diào)區(qū)間與極值。3本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何

16、意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類(lèi)討論的思想方法。滿(mǎn)分12 分。（I）解：0時(shí)，()2x'()(22)x'(1)3 .當(dāng)afxx e，fxx，故fx ee所以曲線(xiàn) yf ( x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線(xiàn)的斜率為 3e.（II）解： '()2(2)224x.fxxaxaa e令 f ' ( x)0，解得 x2a，或 xa2.由 a2 知， 2a a2.3以下分兩種情況討論。（1） 若 a 2，則2a a2 . 當(dāng) x 變化時(shí)， f ' (x)， f ( x) 的變化情況如下表：3x， 2a2a2a，a 2a

17、 2a2，+00+極大值極小值所以 f ( x)在(， 2a)，(a 2，)內(nèi)是增函數(shù)，在 (2a，a 2)內(nèi)是減函數(shù) .函數(shù) f ( x)在x2a處取得極大值 f (2a)，且 f ( 2a)3ae 2a .函數(shù) f ( x)在xa2處取得極小值 f ( a2)，且 f (a2)(43a)ea 2 .（2） 若 a 2，則2a a2 ，當(dāng) x 變化時(shí)， f ' ( x)， f (x) 的變化情況如下表：3x，a2a2a，2a2a，22a+00+極大值極小值所以 f ( x)在(， a2)，( 2a，)內(nèi)是增函數(shù)，在 (a2， 2a)內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù) f ( x)在xa2處取得極大值

18、f ( a2)，且 f (a2)(43a)ea 2 .函數(shù) f ( x)在x2a處取得極小值 f (2a)，且 f ( 2a)3ae 2a .10.（2009 重慶卷文）（本小題滿(mǎn)分12 分，（）問(wèn) 7 分，（）問(wèn)5 分）已知 f (x)x2bxc 為偶函數(shù)，曲線(xiàn)yf ( x) 過(guò)點(diǎn) (2,5) ， g(x) (x a) f ( x) （）求曲線(xiàn) yg( x) 有斜率為 0 的切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；（）若當(dāng) x1 時(shí)函數(shù) yg ( x) 取得極值，確定yg ( x) 的單調(diào)區(qū)間解 :（）f ( x) x2bxc 為偶函數(shù) , 故 f (x)f (x) 即有( x)2b(x)cx2bxc 解得 b0又曲線(xiàn)yf (x)過(guò)點(diǎn) (2,5) , 得 22c5,有 c 1g( x)( xa) f (x)x3ax2xa 從而 g ' ( x)3x22ax1 ,曲線(xiàn)y g( x) 有斜率為0 的切線(xiàn)，故有 g' (x)0 有實(shí)數(shù)解 . 即 3x22ax10