函數(shù)解析式的七種求法

1、精品資料歡迎下載一）求函數(shù)的解析式1、函數(shù)的解析式表示函數(shù)與自變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系， 是函數(shù)與自變量建立聯(lián)系的一座橋梁，其一般形式是 y f（x），不能把它寫成 f （x，y）0；2、求函數(shù)解析式一般要寫出定義域，但若定義域與由解析式所確定的自變量的范圍一致時，可以不標出定義域；一般地，我們可以在求解函數(shù)解析式的過程中確保恒等變形；3、求函數(shù)解析式的一般方法有：（1）直接法：根據(jù)題給條件，合理設(shè)置變量，尋找或構(gòu)造變量之間的等量關(guān)系，列出等式，解出 y。（2）待定系數(shù)法：若明確了函數(shù)的類型，可以設(shè)出其一般形式，然后代值求出參數(shù)的值；（3）換元法：若給出了復合函數(shù) fg（x）的表達式，求 f （

2、x）的表達式時可以令 tg（x），以換元法解之；（4）構(gòu)造方程組法：若給出 f（x）和 f（x），或 f（x）和 f（1/x）的一個方程，則可以 x 代換x（或1/x），構(gòu)造出另一個方程，解此方程組，消去 f（x）（或 f（1/x）即可求出 f（x）的表達式；（5）根據(jù)實際問題求函數(shù)解析式：設(shè)定或選取自變量與因變量后，尋找或構(gòu)造它們之間的等量關(guān)系，列出等式，解出 y 的表達式；要注意，此時函數(shù)的定義域除了由解析式限定外，還受其實際意義限定。（二）求函數(shù)定義域1、函數(shù)定義域是函數(shù)自變量的取值的集合，一般要求用集合或區(qū)間來表示；2、常見題型是由解析式求定義域，此時要認清自變量，其次要考查自變量所在

3、位置，位置決定了自變量的范圍，最后將求定義域問題化歸為解不等式組的問題；3、如前所述，實際問題中的函數(shù)定義域除了受解析式限制外，還受實際意義限制，如時間變量一般取非負數(shù)，等等；4、對復合函數(shù) yfg（x）的定義域的求解，應(yīng)先由 yf （u）求出 u 的范圍，即 g（x）的范圍，再從中解出x 的范圍 I1；再由 g（x）求出 yg（x）的定義域 I2，I1和 I2的交集即為復合函數(shù)的定義域；5、分段函數(shù)的定義域是各個區(qū)間的并集；6、含有參數(shù)的函數(shù)的定義域的求解需要對參數(shù)進行分類討論， 若參數(shù)在不同的范圍內(nèi)定義域不一樣，則在敘述結(jié)論時分別說明；7、求定義域時有時需要對自變量進行分類討論，但在敘述結(jié)

4、論時需要對分類后求得的各個集合求并集，作為該函數(shù)的定義域；（三）求函數(shù)的值域1、函數(shù)的值域即為函數(shù)值的集合，一般由定義域和對應(yīng)法則確定，常用集合或區(qū)間來表示；2、在函數(shù) f：AB 中，集合 B 未必就是該函數(shù)的值域，若記該函數(shù)的值域為 C，則 C 是 B 的子集；若 CB，那么該函數(shù)作為映射我們稱為 “滿射”；3、分段函數(shù)的值域是各個區(qū)間上值域的并集；4、對含參數(shù)的函數(shù)的值域，求解時須對參數(shù)進行分類討論；敘述結(jié)論時要就參數(shù)的不同范圍分別進行敘述；5、若對自變量進行分類討論求值域，應(yīng)對分類后所求的值域求并集；6、求函數(shù)值域的方法十分豐富，應(yīng)注意總結(jié)函數(shù)解析式的七種求法一、待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解

5、析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法。例 1設(shè) f (x) 是一次函數(shù)，且 f f (x)4x3 ，求 f (x)解：設(shè) f ( x)axb(a0) ，則f f ( x)af ( x)ba(axb)ba2 xabb精品資料歡迎下載a24a2或a2ab b3b1b3f (x) 2x 1或f ( x)2x 3二、配湊法：已知復合函數(shù) f g( x) 的表達式，求 f (x) 的解析式， f g(x) 的表達式容易配成 g( x) 的運算形式時，常用配湊法。但要注意所求函數(shù) f ( x) 的定義域不是原復合函數(shù)的定義域，而是 g( x) 的值域。例 2已知 f (x1 )x 21(x0)，求 f ( x)

6、的解析式xx 2解：f ( x1 ) ( x1 ) 22 ， x12xxxf ( x)x 22( x2)三、換元法：已知復合函數(shù) f g ( x) 的表達式時，還可以用換元法求 f (x) 的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例 3 已知 f ( x 1)x2 x ，求 f ( x 1)解：令 tx1，則 t1， x(t1) 2f (x1)x2xf (t )(t1) 22(t1)t 21,f (x)x 21(x1)f (x 1) ( x 1) 21 x22x ( x 0)四、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點或者某條直線的對稱函數(shù)時，一般用代入法。例 4 已知：函數(shù) yx 2x與 yg

7、( x) 的圖象關(guān)于點 ( 2,3) 對稱，求 g( x) 的解析式解：設(shè) M ( x, y) 為 yg (x) 上任一點，且 M ( x , y ) 為 M (x, y) 關(guān)于點 ( 2,3) 的對稱點xx2xx42則y，解得：6，y3yy2點 M ( x , y ) 在 yg ( x) 上yx 2x精品資料歡迎下載xx4代入得：把6yy6 y( x4) 2( x 4)整理得 yx 27 x6g( x)x27x6五、構(gòu)造方程組法：若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過解方程組求得函數(shù)解析式。例 5 設(shè) f (x)滿足 f ( x)2 f ( 1 ) x, 求

8、 f ( x)x解f ( x) 2 f ( 1 ) x x顯然 x 0,將 x 換成 1，得：xf ( 1 ) 2 f ( x)1xx解 聯(lián)立的方程組，得：x2f ( x)3x3例 6設(shè) f (x) 為偶函數(shù)， g(x) 為奇函數(shù)，又 f (x) g( x)1 , 試求 f (x)和 g( x) 的解析式x1解f ( x) 為偶函數(shù)， g( x) 為奇函數(shù)，f ( x)f ( x), g (x)g ( x)又 f ( x)1 ，g(x)x1用 x 替換 x 得： f (x) g (x)1x 1即 f ( x)g( x)1x1解 聯(lián)立的方程組，得f (x)1g (x)12，x 2xx1精品資料歡

9、迎下載六、賦值法：當題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。例7已知：f (0)1xyf ( xy)f ( x) y(2x y 1)恒成立，求 f (x)，對于任意實數(shù) 、 ，等式解對于任意實數(shù) x、y，等式 f (xy)f ( x)y( 2xy1) 恒成立，不妨令 x0，則有 f ( y)f (0)y(y1)1y( y 1) y2y 1再令yx 得函數(shù)解析式為： f (x)x 2x1七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運算求得函數(shù)解析式。例 8設(shè) f ( x) 是 定 義 在 N 上 的 函 數(shù) ， 滿 足 f (1)1 ， 對 任 意 的 自 然 數(shù) a, b都 有f (a)f (b)f (a b)ab ，求 f ( x)解f (a)f (b)f (ab)ab， a,bN，不妨令 ax, b1，得： f ( x)f (1)