空間向量與平行垂直關(guān)系PPT課件

1、1用向量表示點的位置(1)基點：在空間中，我們?nèi)作為基點(2)向量表示：空間中任意一點P的位置可以用_來表示(3)點的位置向量：點P的位置向量為_一定點O第1頁/共42頁 2用向量表示直線的位置方向向量位置一點第2頁/共42頁方向向量a第3頁/共42頁新知探求新知探求 素養(yǎng)養(yǎng)成素養(yǎng)養(yǎng)成知識點一知識點一如圖如圖(1)(1)所示所示, ,直線直線lm,lm,在直線在直線l l上取兩點上取兩點A,B,A,B,在直線在直線m m上取兩點上取兩點C,D.C,D.直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量和平面的法向量圖圖(1)(1)第4頁/共42頁如圖如圖(2)(2)所示所示, ,直線直線ll平面平面

2、,直線直線lm,lm,在直線在直線m m上取向量上取向量n n. .圖(2)第5頁/共42頁梳理梳理(1)(1)直線的方向向量直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線直線的方向向量是指和這條直線 的向量的向量, ,一條直線的一條直線的方向向量有無數(shù)個方向向量有無數(shù)個. .(2)(2)平面的法向量平面的法向量直線直線l,l,取直線取直線l l的方向向量的方向向量a a, ,則向量則向量a a叫做平面叫做平面的法向量的法向量. .平行或共線第6頁/共42頁知識點二知識點二空間平行關(guān)系的向量表示空間平行關(guān)系的向量表示如圖如圖(3)(3)所示所示, ,直線直線ll平面平面,直線直線l l的方向向量為

3、的方向向量為a a, ,平面平面的法向量為的法向量為n n. .圖(3)如圖如圖(4)(4)所示所示, ,平面平面平面平面,平面平面的法向量為的法向量為m m, ,平面平面的法向量為的法向量為n n. .圖(4)第7頁/共42頁問題問題2:2:(1)(1)在圖在圖(3)(3)中中, ,向量向量a a與向量與向量n n的關(guān)系是怎樣的的關(guān)系是怎樣的? ?(2)(2)在圖在圖(4)(4)中中, ,向量向量m m與向量與向量n n的關(guān)系是怎樣的的關(guān)系是怎樣的? ?答案答案: :(1)(1)a an n.(2).(2)m mn n. .第8頁/共42頁梳理梳理(1)(1)線線平行線線平行設(shè)直線設(shè)直線l,

4、ml,m的方向向量分別為的方向向量分別為a a=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),b b=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),則則lmlma ab b a a1 1=a=a2 2,b,b1 1=b=b2 2,c,c1 1=c=c2 2(R R).).(2)(2)線面平行線面平行設(shè)直線設(shè)直線l l的方向向量為的方向向量為a a=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),平面平面的法向量為的法向量為u u=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),l),l ,則則lla au u a a1 1a a2 2+b+b1 1b b2 2+c+c1 1c

5、c2 2=0.=0.(3)(3)面面平行面面平行設(shè)平面設(shè)平面,的法向量分別為的法向量分別為u u=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),v v=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),則則u uv v a a1 1=a=a2 2,b,b1 1=b=b2 2,c,c1 1=c=c2 2(R R).).a a=b ba au u=0u u=v v第9頁/共42頁知識點三知識點三空間垂直關(guān)系的向量表示空間垂直關(guān)系的向量表示如圖如圖(5)(5)所示所示, ,直線直線ll平面平面,直線直線l l的方向向量為的方向向量為a a, ,平面平面的法向量為的法向量為n n. .圖(5)

6、如圖如圖(6)(6)所示所示, ,平面平面平面平面,平面平面的法向量為的法向量為n n, ,平面平面的法向量為的法向量為m m. .圖(6)第10頁/共42頁問題問題3:3:(1)(1)在圖在圖(5)(5)中中, ,向量向量a a與向量與向量n n的關(guān)系是怎樣的的關(guān)系是怎樣的? ?(2)(2)在圖在圖(6)(6)中中, ,向量向量m m與向量與向量n n的關(guān)系是怎樣的的關(guān)系是怎樣的? ?答案答案: :(1)(1)a an n.(2).(2)m mn n. .梳理梳理(1)(1)線線垂直線線垂直設(shè)直線設(shè)直線l l的方向向量為的方向向量為a a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),

7、直線直線m m的方向向量為的方向向量為b b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),則則lmlma ab b=0=0 . .(2)(2)線面垂直線面垂直設(shè)直線設(shè)直線l l的方向向量是的方向向量是a a=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),平面平面的法向量是的法向量是u u=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),則則l l a au ua a=u u (R R).).(3)(3)面面垂直面面垂直若平面若平面的法向量的法向量u u=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),平面平面的法向量的法向量v v=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2

8、 2),),則則 u uv vu uv v=0=0 . .a1b1+a2b2+a3b3=0a1=a2,b1=b2,c1=c2a1a2+b1b2+c1c2=0第11頁/共42頁題型一題型一 利用空間向量證明平行問題利用空間向量證明平行問題課堂探究課堂探究 素養(yǎng)提升素養(yǎng)提升【例例1 1】 已知正方體已知正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為2,E,F2,E,F分別是分別是BBBB1 1,DD,DD1 1的中點的中點, ,求求證證:FC:FC1 1平面平面ADE.ADE.證明證明: :如圖所示如圖所示, ,建立空間直角坐標系建立空間直角坐標系Dx

9、yz.Dxyz.則有則有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),CD(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1 1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B B1 1(2,2,2),(2,2,2),第12頁/共42頁第13頁/共42頁一題多變一題多變: :在本例條件下在本例條件下, ,求證求證: :平面平面ADEADE平面平面B B1 1C C1 1F.F.第14頁/共42頁方法技巧方法技巧 利用向量法證明幾何中的平行問題可以通過兩條途徑實現(xiàn)利用向量法證明幾何中的平行問題可以通過兩條途徑實現(xiàn), ,一是利

10、用三角形法則和平面向量基本定理實現(xiàn)向量間的相互轉(zhuǎn)化一是利用三角形法則和平面向量基本定理實現(xiàn)向量間的相互轉(zhuǎn)化, ,得到向得到向量的共線關(guān)系量的共線關(guān)系; ;二是通過建立空間直角坐標系二是通過建立空間直角坐標系, ,借助直線的方向向量和平借助直線的方向向量和平面的法向量進行平行關(guān)系的證明面的法向量進行平行關(guān)系的證明. .第15頁/共42頁【備用例備用例1 1】 如圖所示如圖所示, ,在正方體在正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分別是分別是C C1 1C,BC,B1 1C C1 1的中的中點點. .求證求證:MN:MN平面平面A A1 1

11、BD.BD.第16頁/共42頁第17頁/共42頁第18頁/共42頁題型二題型二 利用空間向量證明線線垂直問題利用空間向量證明線線垂直問題【例【例2 2】 已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的各棱長都為的各棱長都為1,M1,M是底面上是底面上BCBC邊的中點邊的中點,N,N是側(cè)棱是側(cè)棱CCCC1 1上的點上的點, ,且且CN= CCCN= CC1 1. .求證求證:AB:AB1 1MN.MN.14第19頁/共42頁第20頁/共42頁第21頁/共42頁方法技巧方法技巧 用向量法證明空間兩條直線相互垂直用向量法證明空間兩條直線相互垂直, ,主要思路是證明兩直主

12、要思路是證明兩直線的方向向量相互垂直線的方向向量相互垂直, ,具體方法為具體方法為(1)(1)坐標法坐標法: :根據(jù)圖形的特征根據(jù)圖形的特征, ,建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼到⑶‘數(shù)闹苯亲鴺讼? ,準確地寫出相關(guān)點準確地寫出相關(guān)點的坐標的坐標, ,表達出兩直線的方向向量表達出兩直線的方向向量, ,證明其數(shù)量積為證明其數(shù)量積為0.0.(2)(2)基向量法基向量法: :利用向量的加減法運算利用向量的加減法運算, ,結(jié)合圖形結(jié)合圖形, ,將要證明的兩直線所在將要證明的兩直線所在的向量用基向量表達出來的向量用基向量表達出來, ,利用數(shù)量積運算證明兩向量的數(shù)量積為利用數(shù)量積運算證明兩向量的數(shù)量積為0.0.第2

13、2頁/共42頁即時訓練即時訓練2 2- -1:1:如圖如圖, ,在直三棱柱在直三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中,AC=3,BC=4,AB=5,AA,AC=3,BC=4,AB=5,AA1 1=4,=4,求求證證:ACBC:ACBC1 1. .第23頁/共42頁【備用例備用例2 2】 ( (20182018南通高二期中南通高二期中) )如圖如圖, ,正四棱柱正四棱柱ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,設(shè)設(shè)AD= AD= 1,D1,D1 1D=(0),D=(0),若棱若棱C C1 1C C上存在唯一的一點上存在唯一的一點P

14、P滿足滿足A A1 1PPB,PPB,求實數(shù)求實數(shù)的值的值. .第24頁/共42頁第25頁/共42頁題型三題型三 利用空間向量證明線面垂直問題利用空間向量證明線面垂直問題【例【例3 3】 如圖所示如圖所示, ,正三棱柱正三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1的所有棱長都為的所有棱長都為2,D2,D為為CCCC1 1的中點的中點. .求證求證:AB:AB1 1平面平面A A1 1BD.BD.證明證明: :如圖所示如圖所示, ,取取BCBC的中點的中點O,O,連接連接AO.AO.因為因為ABCABC為正三角形為正三角形, ,所以所以AOBC.AOBC.因為在正三棱柱因為在正三

15、棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,平面平面ABCABC平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,所以所以AOAO平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .第26頁/共42頁第27頁/共42頁方法技巧方法技巧 用向量法證明線面垂直的方法及步驟用向量法證明線面垂直的方法及步驟(1)(1)基向量法基向量法確定基向量作為空間的一個基底確定基向量作為空間的一個基底, ,用基向量表示有關(guān)直線的方向向量用基向量表示有關(guān)直線的方向向量; ;找出平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量找出平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量, ,并分別用基向量表示并分別用基向量表示; ;分別計算有關(guān)直線的方向

16、向量與平面內(nèi)相交直線的方向向量的數(shù)量積分別計算有關(guān)直線的方向向量與平面內(nèi)相交直線的方向向量的數(shù)量積, ,根據(jù)數(shù)量積為根據(jù)數(shù)量積為0,0,證得線線垂直證得線線垂直, ,然后由線面垂直的判定定理得出結(jié)論然后由線面垂直的判定定理得出結(jié)論. .(2)(2)坐標法坐標法方法一方法一: :建立空間直角坐標系建立空間直角坐標系; ;將直線的方向向量用坐標表示將直線的方向向量用坐標表示; ;找出平面內(nèi)兩條相交直線找出平面內(nèi)兩條相交直線, ,并用坐標表示它們的方向向量并用坐標表示它們的方向向量; ;第28頁/共42頁分別計算兩組向量的數(shù)量積分別計算兩組向量的數(shù)量積, ,得到數(shù)量積為得到數(shù)量積為0.0.方法二方法

17、二: :建立空間直角坐標系建立空間直角坐標系; ;將直線的方向向量用坐標表示將直線的方向向量用坐標表示; ;找出平面的法向量找出平面的法向量; ;判斷直線的方向向量與平面的法向量平行判斷直線的方向向量與平面的法向量平行. .第29頁/共42頁即時訓練即時訓練3 3- -1:1:如圖如圖, ,四棱柱四棱柱ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面ABCDABCD是正方形是正方形,O,O為底面中為底面中心心,A,A1 1OO平面平面ABCD,AB=AAABCD,AB=AA1 1= .= .證明證明:A:A1 1CC平面平面BBBB1 1D D1 1D.D.2

18、第30頁/共42頁第31頁/共42頁【備用例備用例3 3】 在四棱錐在四棱錐P P- -ABCDABCD中中,PD,PD底面底面ABCD,ABCD,底面底面ABCDABCD為正方形為正方形,PD= ,PD= DC,E,FDC,E,F分別是分別是AB,PBAB,PB的中點的中點. .(1)(1)求證求證:EFCD;:EFCD;第32頁/共42頁(2)(2)在平面在平面PADPAD內(nèi)求一點內(nèi)求一點G,G,使使GFGF平面平面PCB.PCB.第33頁/共42頁題型四題型四 利用空間向量證明面面垂直問題利用空間向量證明面面垂直問題【例例4 4】如圖如圖, ,在四棱錐在四棱錐E E- -ABCDABCD中中,AB,AB平面平面BCE,CDBCE,CD平面平面BCE,AB=BC=CE=BCE,AB=BC=CE=2CD=2,BCE=1202CD=2,BCE=120. .求證求證: :平面平面ADEADE平面平面ABE.ABE.第34頁/共42頁第35頁/共42頁方法技巧方法技巧 利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑, ,一是利用一是利用兩個平面垂直的判