向量知識點(diǎn)題型歸納

1、學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)專題 -平面向量1.向向量的相關(guān)概念、 、C. e1 (3,5), e2 (6,10)D.1213（答： B）；e(2, 3),e( ,)24（3）已知 AD, BE 分別是ABC 的邊 BC, AC 上的中線 ,且 ADa, BEb ,則 BC 可用向量 a, b 表示為 _（答： 2a4b ）；33（4）已知 ABC中，點(diǎn) D在 BC邊上，且 CD2DB ， CDr AB s AC ， 則 r s 的 值 是（答： 0）四 實(shí) 數(shù) 與 向 量 的 積 ：實(shí) 數(shù) 與 向 量 a 的 積是 一 個(gè) 向 量， 記 作a ， 它 的 長 度 和方 向 規(guī) 定 如 下：1 aa ,

2、 2 當(dāng)>0 時(shí)，a 的方向與 a 的方向相同，當(dāng)<0 時(shí)，a 的方向與 a 的方向相反，當(dāng)2.向量的線性運(yùn)算二向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB ，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2符號表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a ， b ， c 等；3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x 軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量i ， j 為基底，則平面內(nèi)的任一向量 a 可表示為 a xi y jx, y，稱 x, y 為向量 a 的坐標(biāo)， a x, y 叫做向量 a 的坐標(biāo)表示。如果 向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三平面向量的基本定理：如

3、果 e1 和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1、2 ，使 a= 1 e12 e2。 如（ 1）若 a (1,1),b(1, 1),c ( 1,2) ，則 c_（答： 1a3b ）；22（ 2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A. e1 (0,0), e2(1, 2)B. e1 ( 1,2), e2 (5,7) 0 時(shí)， a0 ，注意： a 0。五平面向量的數(shù)量積：1兩個(gè)向量的夾角 ：對于非零向量a ， b ，作 OAa,OB b ，AOB0稱為向量 a ， b 的夾角，當(dāng)0時(shí)， a ， b 同向，當(dāng)時(shí)， a ， b 反向，當(dāng)時(shí)， a

4、，2b 垂直。2：如果兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為，我們把數(shù)量 | a | b |cos叫做a與b的平面向量的數(shù)量積數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積） ，記作： ab ，即 ab a b cos。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）ABC 中， | AB | 3，| AC | 4，| BC |5，則 AB BC_ （答： 9）；（ 2）已知 a1(0,1kb, dab ， c 與 d 的夾角為，則 k 等于 _（答： 1）；(1, ), b),c a224（ 3）已知 a2, b5, a b3 ，則 ab 等于 _（答： 23 ）；（ 4）已知 a, b

5、是兩個(gè)非零向量，且abab ，則 a與 ab 的夾角為 _（答： 30 ）3 b 在 a 上的投影 為 | b | cos，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。 如已知 | a | 3 ， | b | 5 ，且 ab12 ，則向量 a 在向量 b 上的投影為 _（答： 12 ）54 a b 的幾何意義 ：數(shù)量積 ab 等于 a 的模 | a | 與 b 在 a 上的投影的積。5向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a ， b ，其夾角為，則： aba b0 ；學(xué)習(xí)必備當(dāng) a ，b 同向時(shí)， a b a b ，特別地， a2aa2, aa2a；當(dāng) a 與 b 反向時(shí)， a b a b ；當(dāng) 為銳角時(shí)， ab

6、 0，且 a、b 不同向， a b0是為銳角的必要非充分條件；當(dāng) 為鈍角時(shí)， a b 0，且 a、b 不反向， a b0 是 為鈍角的必要非充分條件；非零向量 a ， b 夾角 的計(jì)算公式： cosab； | ab | | a | b | 。如a b（1）已知 a ( ,2) ， b(3 ,2) ，如果 a 與 b 的夾角為銳角，則的取值范圍是 _（答：4 或0 且1 ）；33（2）已知OFQ 的面積為 S ，且 OF FQ1，若 1S3 ，則OF,FQ夾角的取值范圍是 _22（答：( ,) ）；43六向量的運(yùn)算：1 幾何運(yùn)算 ：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用

7、于不共線的向量，如此之外，向量 加 法 還 可 利 用 “ 三 角 形 法 則 ”： 設(shè) ABa, BCb ， 那 么 向 量 AC 叫 做 a 與 b 的 和 ， 即abABBCAC ；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè) ABa, ACb, 那么 abABACCA ，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡：ABBCCD_； ABADDC_ ； ( ABCD )( ACBD)_（答： AD ； CB ； 0 ）；（2）若正方形 ABCD 的邊長為1， AB a, BCb, AC c ，則 | abc | _（答：2 2）；（ 3 ）若 O 是 ABC

8、 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OB OCOBOC2OA ，則ABC 的形狀為 _（答：直角三角形） ；（4）若 D 為 ABC 的邊 BC 的中點(diǎn)，ABC 所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P ，滿足 PA BP CP0，設(shè) |AP|，|PD|則 的值為 _（答： 2）；（5）若點(diǎn) O 是 ABC 的外心，且 OAOB CO0 ，則 ABC 的內(nèi)角 C 為 _（答： 120）；2 坐標(biāo)運(yùn)算 ：設(shè) a (x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，則：向量的加減法運(yùn)算 ： a b( x1 x2 ， y1 y2 ) 。 如精品知識點(diǎn)已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力 F1(3,4), F2(2,5), F3(3,1)，則

9、合力 FF1F2F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是（答：（ 9,1） 實(shí)數(shù)與向量的積 ： ax1, y1x1,y1。若 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，則 ABx2x1, y2y1，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè) A(2,3), B(1,5) ，且 AC1AB， AD3AB ，則 C、D 的坐標(biāo)分別是 _（答： (1,11),(7,9) ）；33 平面向量數(shù)量積 ： abx1 x2y1 y2 。 向量的模 ： | a |x2y22| a |2x2y2 。 如, a已知 a, b 均為單位向量，它們的夾角為60，那么 | a3b | _（答：13 ）； 兩點(diǎn)

10、間的距離 ：若 A x1 , y1, B x2 , y2 ，則 | AB |x22y12x1y2。七向量的運(yùn)算律：1交換律： abba ，aa ， a b ba ；2結(jié)合律： abcabc, abcabc，ababab；3分配律：aaa,abab ， abc acb c 。如下列命題中：a(bc )aba c ； a (bc )( a b)c ； ( ab) 2| a |2222abb2 | a | | b | b | ； 若 ab0 ，則 a0或 b0 ；若 a bc b, 則 ac ； aa；2；aa (a b)2 a22b)222ab2。其中正確的是 _（答：）b ； (aab提醒：（

11、1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量， 切記兩向量不能相除 ( 相約 ) ；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即 a(bc) (a b)c ，為什么？八向量平行 ( 共線 ) 的充要條件 ： a / b ab( a b) 2(| a | b |)2x1 y2y1 x2 0。 如(1) 若向量 a( x,1),b(4, x) ，當(dāng) x _時(shí) a 與 b 共線且方向相同（答： 2）；（ 2）已知 a(1,1),b(4, x) ， u a 2b ， v2

12、ab ，且 u / v ，則 x_（答： 4）；學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)（ 3）設(shè) PA(k ,12), PB(4,5), PC(10,k) ，則 k_時(shí)， A,B,C 共線（答： 2 或 11）九 向 量 垂 直 的 充 要 條 件 ：aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 . 特 別 地A BA CA BA C()(。如A B)A BA CA C(1) 已知 OA ( 1,2), OB (3, m) ，若 OAOB ，則 m（答：3 ）；B 902（ 2）以原點(diǎn) O 和 A(4,2) 為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB ，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 _（答： (1,3)或（ 3， 1

13、）；（ 3）已知 n ( a, b), 向量 n m ，且 nm ，則 m 的坐標(biāo)是 _（答： (b,a)或(b,a) ）十線段的定比分點(diǎn)：1定比分點(diǎn)的概念 ：設(shè)點(diǎn) P 是直線 P1P 2上異于 P、 P2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使 1PP2 ，1PP則叫做點(diǎn) P 分有向線段 PP12所成的比， P 點(diǎn)叫做有向線段PP12 的以定比為的定比分點(diǎn)；2的符號與分點(diǎn)P 的位置之間的關(guān)系：當(dāng) P 點(diǎn)在線段 P1P2上時(shí)>0；當(dāng) P 點(diǎn)在線段P1P 2 的延長線上時(shí)< 1；當(dāng) P 點(diǎn)在線段 P 2 P 1 的延長線上時(shí)10 ；若點(diǎn) P 分有向線段 PP12所成的比為，則點(diǎn) P 分有向線段

14、 P2 P1所成的比為 1 。如若點(diǎn) P 分 AB 所成的比為3 ，則 A 分 BP 所成的比為 _4（答：7 ）3x1x2x3線段的定比分點(diǎn)公式 ：設(shè) P (x ,y ) 、P ( x, y ) ，分有向線段PP12所成的比為，則1，1 1 1222P( x, y)y1y2y1xx1x2= xx1= yy12。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確( x, y) ，線段 P1P 2 的中點(diǎn)公式y(tǒng)y2x2xy2yy12( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比。如（

15、1）若 M （ -3， -2），N （ 6， -1），且 MP1 MN，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 _3（答： (76, )）；3（ 2）已知 A(a,0), B(3,21ax與線段 AB交于 M ，且 AM 2MB ，則 a 等于 _a) ，直線 y2（答：或）十一平移公式 ：如果點(diǎn) P(x, y) 按向量 ah, k 平移至 P( x , y ) ，則 a = pp' ， xxh ；曲線 f ( x, y) 0yyk按向量 ah, k 平移得曲線 f ( x h, yk)0 .注意 ：（ 1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（ 2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如（ 1）按

16、向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ，則按向量 a 把點(diǎn) ( 7,2) 平移到點(diǎn) _（答：（，）；（2）函數(shù)y sin 2x 的圖象按向量a 平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2 x 1 ，則 a _（答： (,1) ）412、向量中一些常用的結(jié)論：（ 1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（ 2） |a |b | | ab | | a | b |，特別地，當(dāng)a、b 同向或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab | ； 當(dāng) a、b 反 向 或 有 0| ab | | a |b | | |a |b| a|b ；| 當(dāng) a、b 不 共

17、線|a |b| | a|b| a| b(|這些和實(shí)數(shù)比較類似).在 ABC 中，若 A x1 , y1 , B x2 , y2 , Cx3 , y3，則其重心的坐標(biāo)為 Gx1x2x3 , y1y2y3。如33若 ABC的三邊的中點(diǎn)分別為 （ 2，1）、（ -3 ，4）、（ -1 ，-1 ），則 ABC的重心的坐標(biāo)為24_（答： (, )）；33 PG 1(PAPB PC)G 為 ABC 的重心，特別地 PAPBPC0P 為ABC 的重心；3PA PBPB PCPC PAP 為ABC 的垂心；向量 (ABAC)(0) 所在直線過ABC 的內(nèi)心 ( 是BAC 的角平分線所在直線) ；|AB|AC|

18、（ 4）向量 PA、PB、PC 中三終點(diǎn)A、B、C 共線存在實(shí)數(shù)、使得 PAPBPC 且1 .如平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1) , B( 1,3) , 若點(diǎn) C 滿足 OC1 OA2 OB , 其中學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)1,2R且12 1, 則點(diǎn) C 的軌跡是 _例二： 設(shè)兩個(gè)非零向量e1 與 e2，不共線，（答：直線 AB）（ 1）如果 ABe1e2 , BC3e12e2 ,CD8e12e2 ,求證： A, C, D三點(diǎn)共線；12、向量與三角形外心 .（ 2）如果 ABe1e2 , BC2e13e2 ,CD2e1k e2 , 且A,C, D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù) k 的值。三角

19、形外接圓的圓心, 簡稱外心 . 是三角形三邊中垂線的交點(diǎn). （下左圖）重心三角形三條中線的交點(diǎn), 叫做三角形的重心.掌握重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2 倍. （上右圖）三、垂心三角形三條高的交點(diǎn), 稱為三角形的垂心. （下左圖）變式一： 設(shè) e1 與 e2兩個(gè)不共線向量，AB121212若三點(diǎn) A,B,D 共線，求2eke ,CBe3e , CD2ee ,實(shí)數(shù) k 的值。變式二： 已知向量 a, b ，且 ABa2b, BC5a2b, CD7a2b, 則一定共線的三點(diǎn)是（）A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D題型二：線段定比分點(diǎn)的向量形式在向量線性表示中的應(yīng)用例一：

20、 設(shè) P 是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，2BPBCBA, 則（）A.0 PA PBB.0PCPAC.0PBPCD. 0PC PA PB四、內(nèi)心變式一： 已知 O 是三角形 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D 為 BC邊的中點(diǎn)，且0 2OAOB OC , 那么（） A.三角形內(nèi)切圓的圓心 ,簡稱為內(nèi)心 . 是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn) .A0 OD B.A0 2ODC.A03ODD.2A0OD三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理: 三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例. （上右圖）題型一：共線定理應(yīng)用變式二： 在平行四邊形 ABCD中 ABa ， ADb ， AN3NC ,M 為 BC的中點(diǎn)，

21、則 MN( 用 a, b 表示 )例一： 平面向量 a, b 共線的充要條件是（） A. a, b 方向相 同 B.a, b 兩向量中至少有一個(gè)為零向量C.存在R, baD 存在不全為零的實(shí)數(shù)1 , 2 , 1 a2 b0例二： 在三角形 ABC中， ABc ， AC b , 若點(diǎn) D 滿足 BD2DC,則AD ()變式一： 對于非零向量a, b ，“ a b0 ”是“ a/ b ”的（）A. 2 b1 c , B.5 c2 b,C.2 b1 c,D.1 b2 c,33333333A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件變式二： 設(shè) a, b 是兩個(gè)非

22、零向量（）變式一：( 高考題 )在三角形 ABC中，點(diǎn) D 在邊 AB上，CD平分角 ACB,CBa ，CA b, a1, b 2 , 則 CD( )A. 若 a ba _ b 則 a bB.若 ab ，則 a b a _ bA. 1 a2 b, B.2 a1 b, C.3 a4 b , D.4 a3 b,33335555C. 若 a ba _ b ，則存在實(shí)數(shù)，使得 baD 若存在實(shí)數(shù)，使得 ba ，則 a ba _ b學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)變式二： 設(shè) D,E,F分別是三角形ABC 的邊 BC,CA,AB 上的點(diǎn)，且 DC2BD , CE 2EA, AF 2FB, 則AD BE, CF與BC(

23、 )A. 反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D. 既不平行也不垂直變式三：在平行四邊形ABCD中，E 和 F 分別是邊CD和 BC的中點(diǎn)，若 ACAEAF , 其,R, 則=變式四：在平行四邊形ABCD中，AC與 BD交于點(diǎn) O,E 是線段 OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn) F，若 AC a,BD b, 則 AF ()A.1 a1 b, B.2a1 b, C.1 a1 b , D.1 a2 b,42332433題型三：三點(diǎn)共線定理及其應(yīng)用例一： 點(diǎn) P 在 AB 上，求證： OPOAOB 且=1（,R,）變式：在三角形 ABC中，點(diǎn) O是 BC的中點(diǎn)，過點(diǎn) O的直線分別交直線AB、AC

24、于不同的兩點(diǎn)M和 N, 若 ABmAM ,ACnAN , 則 m+n=例二： 在平行四邊形ABCD中， E,F 分別是 BC,CD的中點(diǎn)， DE與 AF交于點(diǎn) H, 設(shè) AB a, BCb, 則 AHA. 2 a4 b, B.2 a4 b, C.2 a4 b, D.2 a4 b,55555555變式：在三角形 ABC中，點(diǎn) M是 BC的中點(diǎn)，點(diǎn) N 是邊 AC上一點(diǎn)且 AN=2NC,AM與 BN相交于點(diǎn) P, 若 APPM ,求 的值。題型四：向量與三角形四心一、內(nèi)心例一： O是ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 OPOA(ABAC ), 【0，）ABAC，則點(diǎn) P 的軌跡一定通過ABC的（）

25、A.外心B. 內(nèi)心C. 重心D.垂心變式一： 已知非零向量AB與 AC 滿足 ( ABAC )BC0，且 ABAC1，則ABC為ABACABAC2（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形變式二：ABPCBCPACAPB0P 為ABC的內(nèi)心二、重心例一： O是ABC內(nèi)一點(diǎn)， OCOAOB0 ，則為ABC的（） A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心變式一： 在ABC中， G為平面上任意一點(diǎn)，證明：GO1 (GA GB GC )O為ABC的重心3變式二： 在ABC中， G為平面上任意一點(diǎn)，證明：GO1 ( AB AC )O為ABC的重心3三垂心：例一

26、： 求證：在ABC中， OAOBOBOCOCOAO 為ABC的垂心變式一：O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OPOA(ABAC),R, 則點(diǎn) P 的軌跡一定通過ABC的（）AB COSBAC COSCA. 外心B. 內(nèi)心C.重心D. 垂心四外心例一： 若 O是ABC的外心， H是ABC的垂心，則 OHOA OC OB變式一： 已知點(diǎn)O， N，P 在ABC 所在平面內(nèi)，且 OAOBOC,0 NANBNC ，PAPBPBPCPCPA ，則 O， N， P 依次是ABC的（）A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心 、內(nèi)心C. 外心 、重心、垂心D. 外心 、重心、內(nèi)心學(xué)習(xí)

27、必備精品知識點(diǎn)題型五：向量的坐標(biāo)運(yùn)算例一： 已知 A(-2,4),B(3， -1) ，C(-3 ， -4) ，且 CM3CA , CN2CB , 試求點(diǎn) M,N和 MN 的坐標(biāo)。變式一： 已知平面向量 a(3,1), b( 1,3 ),向量 xa （ t3）b, yk at b, 其22中 t和 k 為不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)， （ 1）若 xy ，求此時(shí) k 和 t 滿足的函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(2)若 x / y ，求此時(shí) k 和 t 滿足的函數(shù)關(guān)系式 k=g(t).變式二：平面內(nèi)給定3 個(gè)向量 a( 3,2), b(1,2), c( 4,1) ，回答下列問題。（ 1）求 3ab2 c ；（ 2

28、） 求 滿 足 am bn c 的 實(shí) 數(shù)m,n;(3)若 ( ak c) /( 2b a) ， 求 實(shí) 數(shù)k ；（ 4） 設(shè)d( x, y) 滿足 ( dc) / / a(b) 且 dc1 ，求 d 。題型六：向量平行（共線）、垂直充要條件的坐標(biāo)表示例一： 已知兩個(gè)向量a(1.2), b( 3,2) , 當(dāng)實(shí)數(shù) k 取何值時(shí)，向量ka2b 與 2a4b 平行？變式一： 設(shè)向量 a,b 滿足 |a|= 25 ，b=（ 2,1 ），且 a 與 b 反向，則 a 坐標(biāo)為 _例二： 已知向量OA (k,12), OB (4,5), OC ( k,10) 且 A,B,C 三點(diǎn)共線，則k=（）A: 3B

29、:2C:2D:32332變式一： 已知 a( 3 sin), b(cos, 1), 且 a/b ，則銳角 為 _23變式二： ABC的三內(nèi)角 A,B,C 所對邊的長分別為a,b,c 設(shè)向量 p (a c, b), q(b a,c a), 若 p / q ，則 C 的大小為（）A:B:C:2D:6323題型七：平面向量的數(shù)量積例一：（ 1）在 Rt ABC中， C=90°， AC=4，則 AB AC（） A： -16B:-8C:8D:16（2） ( 高 ) 已知正方形 ABCD的邊長為1，點(diǎn) E 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE CB 的值為 _； DE CB 的最大值為 _（ 3）在 A

30、BC中， M是 BC中點(diǎn)， AM=1，點(diǎn) P在 AM上滿足 AP2PM ，則 PA (PB PC) 等于（）A:4444B:C:D:9933變式一： ( 高)如圖所示，平行四邊形ABCD中， AP BD，垂足為 P，且 AP=3，則 AP AC =_變式二： 在 ABC中， AB=1， BC= 2 ， AC= 3 ，若 O為 ABC的重心，則AO AC 的值為 _例二： ( 高 ) 在矩形 ABCD中，AB=2 ,BC=2, 點(diǎn) E 為 BC的中點(diǎn)， 點(diǎn) F 在邊 CD上，若 AB AF2 , 則 AE BF的值是變式一： ( 高) 在 ABC中，A 900, AB1,AC=2. 設(shè)點(diǎn) P,Q

31、 滿足 APAB, AQ (1 ) AC,R , 若BQ CP2,則 =（1B:2C:4D:2） A:333例三： 已知向量 a, b, c 滿足 abc0, a1, b2, c2, 則 a bb cc a變式一： 在 ABC中，若AB3, BC4, AC6, 則 ABBCBC CACAAB變式二： 已知向量 a, b,c 滿足 abc0,且 ab, a1, b2, 則 c變式三： 已知向量 a, b,c 滿足 a b c0,且（a b)c, a b, 若 a2221, 則 abc題型八：平面向量的夾角例一： 已知向量 a(1,3), b( 2,0), 則 a與 b 的夾角是例二： 已知 a,

32、 b 是非零向量且滿足 （a2b)a, (b2a)b, 則 a與 b 的夾角是變式一： 已知向量 a, b,c 滿足 a1, b2,cab, ac, 則 a與b 的夾角是學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)變式二： 已知 a, b 是非零向量且滿足abab , 則 a與ab 的夾角是變式三： 若向量 a與b 不共線， a b0,且 c a ( aa)b, 則 a與 c 的夾角是ab變式四：( 高 )若向量與滿足1,1, 且以向量與為鄰邊的平行四邊形的面積為. ，則與的夾角的取值范圍是例二：已知 a2 , b1， a與b 的夾角為 45 0 ，求使向量 ab 與ab 的夾角為銳角的的取值范圍。變式一： 設(shè)兩個(gè)向量

33、 e1 ,e2 ，滿足 e12, e2 1， e1與e2 的夾角為，若向量 2te17e2 與 e1t e2 的夾角3為鈍角，求實(shí)數(shù)t 的范圍。變式二： 已知 a與b 均為單位向量，其夾角為，有下列 4 個(gè)命題：p1 : a b 10, 2 );p2 : a b 1( 2, ;p3 : a b 10, );333p4 : a b 1( , ; 其中的真命題是（） A. p1 , p4B.p1, p3 C. p2 , p3 D.p2 , p43題型九：平面向量的模長例一： 已知 ab5 ，向量 a與b 的夾角為，求 ab ， ab 。3變式一： 已知向量 a與b 滿足 a1, b2, ab 2，則 ab =變式二： 已知向量 a與b 滿足 a1, b2, a與 b 的夾角為，則 a b =3變式三： 在 ABC中，已知 AB3, BC4,ABC600 ,求 AC .例