第五章彎曲變形PPT課件

1、材料力學(xué)材料力學(xué)1()()zMxwxEI 式（式（2 2）就是撓曲線近似微分方程。）就是撓曲線近似微分方程。3221( ) ( )(1)w xw xw 小變形小變形yxM0( )0w xyxMb，則右支座轉(zhuǎn)角絕對值最大，即離力近的支座轉(zhuǎn)角大。，則右支座轉(zhuǎn)角絕對值最大，即離力近的支座轉(zhuǎn)角大。最大撓度發(fā)生在轉(zhuǎn)角為零處，即最大撓度發(fā)生在轉(zhuǎn)角為零處，即maxd0dwwwx，C()3Fab abxalEI ，可見若可見若a b，則，則C處轉(zhuǎn)角為負(fù)，說明處轉(zhuǎn)角為負(fù)，說明A到到C轉(zhuǎn)角改變了符號，轉(zhuǎn)角改變了符號，撓曲線為光滑連續(xù)曲線，撓曲線為光滑連續(xù)曲線， =0必在必在AC段內(nèi)，令段內(nèi)，令 1=0 求得求得2

2、203lbx22 3max()9 3FbwlblEI第16頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)17當(dāng)力靠近右支座，即當(dāng)力靠近右支座，即b00時，以致時，以致b2與與l2相比可以略去。相比可以略去。00.5773lxl22max15.69 3FblFblwEIEI2222(34)4816lFbFblwlbEIEI此時梁中點(diǎn)的撓度為此時梁中點(diǎn)的撓度為用中點(diǎn)撓度代替最大撓度所引起的誤差為用中點(diǎn)撓度代替最大撓度所引起的誤差為max2max2.65%lwww 在簡支梁中，當(dāng)承受相同的橫向載荷在簡支梁中，當(dāng)承受相同的橫向載荷(向下向下)作用時，梁作用時，梁的撓曲線無拐點(diǎn)，總可用跨中撓度代替最大撓度。其精度滿的撓曲

3、線無拐點(diǎn)，總可用跨中撓度代替最大撓度。其精度滿足工程計(jì)算要求。足工程計(jì)算要求。第17頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)18積分法求梁的變形優(yōu)點(diǎn)：可全面表達(dá)撓度和轉(zhuǎn)角；缺點(diǎn)：方程表達(dá)與坐標(biāo)選擇有關(guān)，計(jì)算量大。 計(jì)算梁在多個荷載作用下的變形，有時只關(guān)心個別截面的撓度和轉(zhuǎn)角(最大撓度和最大轉(zhuǎn)角)，而不一定計(jì)算出撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，這時采用疊加法是很方便的。第18頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)19 在材料服從虎克定律和小變形的條件下，幾個力共同作用引起梁的變形 ，等于這幾個力分別單獨(dú)作用時引起梁變形的代數(shù)和。121122()()()()nnnFFFFFF、 、121122()()()()nnnw FFFw F

4、w Fw F、 、二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）5.3 5.3 用疊加原理求梁的彎曲變形用疊加原理求梁的彎曲變形一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。第19頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)20解、載荷分解如圖查簡單載荷引起的變形。 36CFFawEI()24AFFaEI( )4524CqqawEI()33AqqaEI( )B按載荷疊加原理求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)的撓度。qFACaa=+qABABF疊加AA FA q2(34)12aFqaEI( )435246CqaF awE IE I()第20頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)21解：原載荷可看成為圖a

5、和b兩種荷載的疊加，對應(yīng) 的變形和相關(guān)量如圖所示。利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的懸臂梁自由端B截面的撓度和轉(zhuǎn)角。FlllEIFABCDB1FC1wC1wC1C12l直線wB1(a)CBD1B2wD1FD1l直線wD1wB2(b)DB第21頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)22323111422323BCCFlFlFlwwllEIEIEIEIFlCB2211由位移關(guān)系可得此時由位移關(guān)系可得此時B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：（向下）（向下）（順時針）（順時針）313CFlwEIEIFlC221對圖對圖a，可得，可得C截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：B1FC1wC1wC1C12l直

6、線wB1(a)CB第22頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)233232118414323BDDFlFlFlwwllEIEIEI EIFlDB2122同理可得此時同理可得此時B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：（向下）（向下）（順時針）（順時針）3123DFlwEI2122DFlEI對圖對圖b，可得，可得D截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：D1B2wD1FD1l直線wD1wB2(b)DB第23頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)2433312414633BBBFlFlFlwwwEIEIEIEIFlEIFlEIFlBBB252222221（向下）（向下）（順時針）（順時針）將相應(yīng)的位移進(jìn)將相應(yīng)的位移

7、進(jìn)行疊加，即得：行疊加，即得：FlllEIFABCD第24頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)25C怎樣用怎樣用疊加法確定疊加法確定 C和和wC?CBAq2l2lwCCBAq2l2lqqCBA2l2lqqCBA2l2l第25頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)26解：可將原載荷看成為圖示關(guān)于跨中解：可將原載荷看成為圖示關(guān)于跨中C截面的正對截面的正對 稱和反對稱載荷的疊加。稱和反對稱載荷的疊加。利用疊加原理求圖示彎曲剛度為利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的簡支梁的跨中的簡支梁的跨中撓度撓度wC和兩端截面的轉(zhuǎn)角和兩端截面的轉(zhuǎn)角 A， B。qBACl/2l +lACBq/2Al/2CBl/2q/2q/2第26頁/共

8、61頁材料力學(xué)材料力學(xué)27lACBq/21 1、對正對稱載荷，跨中截面、對正對稱載荷，跨中截面C的撓度和兩端的轉(zhuǎn)的撓度和兩端的轉(zhuǎn) 角分別為：角分別為：441525384768CqlqlwEIEIEIqlEIlqBA482423311第27頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)28Al/2CBl/2q/2q/22 2、對反對稱載荷，跨中截面、對反對稱載荷，跨中截面C的撓度等于零，并可的撓度等于零，并可 分別將分別將AC段和段和CB段看成為段看成為l/2的的簡支梁，即有：簡支梁，即有：20CwEIqlEIlqBA38424223322第28頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)294412550768768CCCql

9、qlwwwEIEI（）將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加，即得：將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加，即得：qBACl/2l EIqlEIqlEIqlAAA12833844833321（ ）EIqlEIqlEIqlBBB38473844833321（ ）第29頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)30結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) 原理說明。=+BCFl2w1w2等價等價等價等價xy12wwwwFl1l2ABCxyFl1l2ABC剛化剛化AC段段Fl1l2ABC剛化剛化BC段段Fl1l2ABCMxy第30頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)31分析： BC段彈性彎曲引起 wCF ， 疊加疊加CCFBwwaqEI=常數(shù)，求 wC qaCAa2aB

10、 AB段B截面轉(zhuǎn)角引起 Ba 。wCFaqaBCAq2aBqaqa2BC第31頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)32注意：引起 B的有兩項(xiàng)， 均布載荷q 和集中力qa2，它們的轉(zhuǎn)向不同，疊加時注意正負(fù)號。34()33CFqa aqawEIEI()423CCFBqawwaEI()qqaCAa2aBwCFaqaBCAq2aBqaqa2BCBBMBq23()2(2 )324qaaqaEIEI( )33qaEI第32頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)33解：可將外伸梁看成是圖a和b所示的簡支梁 和懸臂梁的疊加。（1）對圖a，其又可看成為圖c和d所示荷載的組合。由疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的外伸梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)

11、角以及D截面的撓度。ACaaaF=qaBDEIqF=qaAEIDBqaqa2/2(a)BC(b)q+第33頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)34圖圖c中中D截面的撓度和截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為：截面的轉(zhuǎn)角為：31248DqaawEIEIaqaB16221圖d中D截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為：42216DqawEI EIqaB332BAF=qa(c)D+qa2/2(d)BDA第34頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)35將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加，即得：將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加，即得：444126824DDDqaqaqawwwEIEIEI（向下）（向下）EIqaEIqaEIaqaBBB12316233221（順時針）（

12、順時針）48CqqawEIEIqaCq63（2）對圖）對圖b，C截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為：qBC(b)第35頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)36 4341581224CqaqaqawaEIEIEIEIqaEIqaEIqaC4126333所以：所以：（向下）（向下）（順時針）（順時針）CCqBwwaCqBC原外伸梁原外伸梁C端的撓度和轉(zhuǎn)角也可按疊加原理求得，即：端的撓度和轉(zhuǎn)角也可按疊加原理求得，即：ACaaaF=qaBDEIBCqBawCqq第36頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)37求圖示變截面梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角wmax ， max 。2EIEIFllABC解：最大撓度和最大轉(zhuǎn)

13、角發(fā)生在解：最大撓度和最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在C處。處。變截面梁可看成兩個懸臂梁組成。變截面梁可看成兩個懸臂梁組成。FEIlBC2EIlAFBFl+323()53(2)2(2)12BFlFllFlwEIEIEI22()32(2)(2)4BFlFllFlEIEIEI33max332CBBFlFlwwwlEIEI 22max524CBFlFlEIEI第37頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)38qqlllACBD求梁求梁C截面處的撓度。截面處的撓度。lllACBDqlllACBDq=+=lllACBDql22ql2q=lllACBD2qlllACBD+2q12342245(2)(2 )(2)(2 )038416(

14、)48CCCCwwwwqlqllEIEIqlEI 第38頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)39 解：可在鉸接點(diǎn)處將梁分成圖a和b所示兩部分，并可求得鉸接點(diǎn)處的一對作用力與反作用力為：qaFFFBB2求圖示彎曲剛度為EI的中間鉸梁鉸接點(diǎn)B處的撓度和B點(diǎn)右截面的轉(zhuǎn)角以及D截面的撓度，其中F=2qa。qAEIEIFBCa/2DaaF/2wBBCq(b)F/2wBBwDFw/2AF(a)BD直線第39頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)40并且圖b又可分解為圖c所示兩種載荷的組合。F/2wBBCq(b)+qBCF/2BC(c)=（1）對圖）對圖b，可得其，可得其B截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：截面的撓度和轉(zhuǎn)角為：43BBFq

15、awEIEIqaBBF2348BqqawEIEIqaBq63第40頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)41 進(jìn)行相應(yīng)的疊加可得：進(jìn)行相應(yīng)的疊加可得：444a118324BBBqBFqaqqawwwEIEIEI（向下）（向下）3332623BBqBFBqaqaqaEIEIEI （逆時針）（逆時針）F/2wBBCq(b)（2）圖）圖a可看成為右支座有一定豎直位移（位移可看成為右支座有一定豎直位移（位移量為量為wB）的簡支梁，此時）的簡支梁，此時D截面的撓度為：截面的撓度為：F/2wBBwDFw/2AF(a)BD直線4441211132484848DDFBqaqaqawwwEIEIEI（向下）（向下）第41

16、頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)42d dFFlABd dnnbhn-n截面截面寬度為寬度為b，高度為，高度為h的矩形截面彎的矩形截面彎曲鋼梁，在兩端受力作用使其平曲鋼梁，在兩端受力作用使其平直后，將有均布壓力作用于剛性直后，將有均布壓力作用于剛性平面上。已知鋼梁彈性模量平面上。已知鋼梁彈性模量E和和梁長梁長l及及d d。求壓直梁所需的力。求壓直梁所需的力F和和壓直后梁內(nèi)的最大正應(yīng)力。壓直后梁內(nèi)的最大正應(yīng)力。解：鋼梁壓直后，有均布載荷解：鋼梁壓直后，有均布載荷作用，這等價于簡支梁受均布作用，這等價于簡支梁受均布載荷作用，其跨中撓度為載荷作用，其跨中撓度為d d。FF2Fq=l4433552125(

17、 )38438416qllFFlEIElbhEb hd316( )5EblFhd梁內(nèi)最大正應(yīng)力為梁內(nèi)最大正應(yīng)力為22maxmax224865zMqlbhEhlWd第42頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)43BACFqlFlhACB放在剛性平面上的長均質(zhì)梁被力放在剛性平面上的長均質(zhì)梁被力F吊起，吊起，已知梁單位長度重已知梁單位長度重q，抗彎剛度為的，抗彎剛度為的EI，求吊起的長度求吊起的長度l和吊起高度和吊起高度h。解：梁未被吊起左右解：梁未被吊起左右A、B端有端有110MEI所以：所以：MA= MB=0A、B兩端彎矩為零，亦無位移，兩端彎矩為零，亦無位移，可簡化為如圖所示簡支梁。且簡可簡化為如圖所示

18、簡支梁。且簡支梁端點(diǎn)轉(zhuǎn)角為零。支梁端點(diǎn)轉(zhuǎn)角為零。3202416ABqlFlEIEI23qlF344359483842048FlqlFhEIEIEIq第43頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)44lRABFEI懸臂梁下是半徑為懸臂梁下是半徑為R的剛性圓柱面，的剛性圓柱面，求在力求在力F作用下端點(diǎn)作用下端點(diǎn)B的撓度。的撓度。C w1w2w3解：梁內(nèi)任意解：梁內(nèi)任意x截面的曲率有截面的曲率有x1( )FxxEI若若 l R，即，即EIFRl端點(diǎn)B的撓度為33BFlwEI若若 l R，即，即EIFRl梁上一段梁上一段AC與剛性圓柱面接觸，且與剛性圓柱面接觸，且 C=R。不與圓柱接觸。不與圓柱接觸段段CB在力在

19、力F作用下彎曲。作用下彎曲。B端撓度由三部分組成。端撓度由三部分組成。l00011CFlEIlREIFR第44頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)45lRABFEIC w1w2w3xl022210()()RwllR220123()()22llFRlEIwRF R02023()llFRlEI EIwlRF R320323()33FlEIwEIF R2212311() 23BEIwwwwlRFR第45頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)46ABCDlll拉桿拉桿剛架剛架F剛架的抗彎剛度為剛架的抗彎剛度為EI，拉桿的抗拉剛度為，拉桿的抗拉剛度為EA，求求C點(diǎn)的位移。點(diǎn)的位移。ABCFFDBCD DlllD Dlw1

20、 解：解：C點(diǎn)的位移由三部分組成。點(diǎn)的位移由三部分組成。Fw2BClCABCFllFCw3 B B1CxFlwlEAFlwlEA D 323FlwEI33()33BFl lFlwllEIEI 312323CxCyFlwEAFlFlwwwwEAEI第46頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)47其中：稱為許用轉(zhuǎn)角；w/l稱為許用撓跨比。 通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：(對于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）一、梁的剛度條件max wwllmax 5.5 5.5 梁的剛度校核梁的剛度校核 提高剛度的措施提高剛度的措施、設(shè)計(jì)截面尺寸、確定許用載荷、校核剛度max wwllma

21、x 第47頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)48F2CBDA=+CF1=1kNABDF2=2kNBCDA+=F2BCaF2BDAMCF2=2kNCl=0.4mAa=0.1m0.2mDF1=1kNB空心圓截面梁的內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的 w/l =1/1000，B點(diǎn)的 =0.001弧度，試校核此梁的剛度第48頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)49211116CBFl awaEI21116BFlEI2333BF alMlEIEI 22333CBF a lwaEI 20B3223CF awEI F2=2kNCl=0.4mAa=0.1m0.2mDF1=1kNB

22、+圖圖2 2=+F2BCa圖圖1 1CF1=1kNABD圖圖3 3F2BDAMC解：查表求簡單載荷變形。第49頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)501232321221633CCCCwwwwFl aF aF a lEIEIEI123212163BBBBF lF alEIEI疊加求復(fù)雜載荷下的變形44441284()643.14 (8040 ) 1064 188 10 mIDd F2=2kNCl=0.4mAa=0.1m0.2mDF1=1kNB+圖圖2 2=+F2BCa圖圖1 1CF1=1kNABD圖圖3 3F2BDAMC第50頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)5123261225.19 10 m1633CF

23、l aF aF a lwEIEIEI 24120.4400200()0.423 10163210 1880163BFlF laEIEI 4max0.423 100.001m axwwll校核剛度6m ax545.1910m1.3101100.4 mwl第51頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)52 由型鋼表中查得，由型鋼表中查得，NO.22a工字鋼的抗彎截面系數(shù)工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wz3.09xl0-4m3 ，慣，慣性矩性矩Iz=3.40 x10-5m4，可見選擇，可見選擇NO.22a工字鋼作梁將同時滿足強(qiáng)度和剛度工字鋼作梁將同時滿足強(qiáng)度和剛度要求。要求。2、根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，要求、根據(jù)彎曲正應(yīng)

24、力強(qiáng)度條件，要求 3463maxm1019. 2101601035MWz3、梁的剛度條件為：、梁的剛度條件為：由此得由此得500483lEIFlz459232m1092. 210200484103550048500EFlIz一簡支梁受載如圖示，已知許用應(yīng)力一簡支梁受載如圖示，已知許用應(yīng)力 160MPa，許用撓度，許用撓度w=l /500，彈性模量，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號。，試選擇工字鋼型號。F=35kN2mAB2ml=4m 解：解： 1、作出梁的彎矩圖、作出梁的彎矩圖mN10354410354：得33maxFlMM4/Fl第52頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)53強(qiáng)度：正應(yīng)力：切應(yīng)力： max zMW *S zzF SbI( )zM xwEI 剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。二、提高梁抗彎剛度的措施第53頁/共61頁材料力學(xué)材料力學(xué)541、選擇合理的截面形狀 北宋李誡于1100年著營造法式 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h/b)為1.5 英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為剛度最大。時強(qiáng)度最大時, 3 ;, 2bhbhR矩形木梁的合理高寬比bh第5