初中階段因式分解

1、初中階段因式分解因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。 1. 因式分解的對象是多項式； 2. 因式分解的結果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式； 5. 結果如有相同因式，應寫成冪的形式； 6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用

2、乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項（添項）等方法；一、提公因式法 概念：公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. 如 ambmcmm（a+b+c） 具體方法：（1）若各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的；（3）取相同的多項式，多項式的指數(shù)取較低的.（4）

3、所有這些因式的乘積即為公因式.二、運用公式法。 平方差公式： a2b2(ab)(ab) 完全平方公式： a2±2abb2(a±b)2 注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍. （運用完全平方公式也叫配方法） 立方和公式：a3+b3 (a+b)(a2-ab+b2). 立方差公式：a3-b3 (a-b)(a2+ab+b2). 完全立方公式： a3±3a2b3ab2±b3(a±b)3 三、分組分解法.四、十字相乘法.（一）二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用

4、公式進行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1； （2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。（二）二次項系數(shù)不為1的二次三項式條件：（1） （2） （3） 分解結果：=典型例題：1下列各式由左到右的變形中，屬于分解因式的是（）aa（m+n）=am+anba2b2c2=（ab）（a+b）c2c10x25x=5x（2x1）dx216+6x=（x+4）（x4）+6x2a、b、c是三角形的三條邊長，則代數(shù)式a22ab+b2c2的值（）a大于零b小于零c等于零d與零的大小無關3多項式77x213x30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均為整數(shù)，求a+b+c之值為何？（

5、）a0b10c12d224小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：ab，xy，x+y，a+b，x2y2，a2b2分別對應下列六個字：昌、愛、我、宜、游、美，現(xiàn)將（x2y2）a2（x2y2）b2因式分解，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）a我愛美b宜昌游c愛我宜昌d美我宜昌5若實數(shù)x滿足x22x1=0，則2x37x2+4x2017= 6如果1+a+a2+a3=0，代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 三解答題（共12小題）7因式分解：（1）4m2n8mn22mn （2）m2（m+1）（m+1）（3）4x2y+12xy+9y （4）（x26）2+2（x26）158分解

6、因式：a2+4b2+c44ab2ac2+4bc219先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n26n+9=0，求m和n的值解：m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3問題：（1）若x2+2y22xy+4y+4=0，求xy的值（2）已知abc的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b26a6b+18+|3c|=0，請問abc是怎樣形狀的三角形？10分解因式：（1）3ab330a2b2+75a3b； （2）（3m+2n）24（m6n）2（3）8（x22y2）x（7x+y）+xy （4）6a2+

7、12a6；（5）3a3b27ab3； （6）（x2+2）212（x2+2）+36；11常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，如x24y22x+4y，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了過程為：x24y22x+4y=（x+2y）（x2y）2（x2y）=（x2y）（x+2y2）這種分解因式的方法叫分組分解法利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式x22xy+y216；（2）abc三邊a，b，c滿足a2abac+bc=0，判斷

8、abc的形狀12若a2+a=0，求2a2+2a+2015的值13已知x2+3x1=0，求：x3+5x2+5x+18的值14已知m2+m11=0，求m3+12m221的值14簡便計算：1.992+1.99×0.01 20132+20132014215我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且pq），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解并規(guī)定：f（n）=例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為1216243，所以3×4是12的最佳分解，

9、所以f（12）=（1）如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有f（m）=1；（2）如果一個兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1xy9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；（3）在（2）所得“吉祥數(shù)”中，求f（t）的最大值18“十字相乘法”能把二次三項式分解因式，對于形如ax2+bxy+cy2的x，y二次三項式來說，方法的關鍵是把x2項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積，即a=a1a2，把y2項系數(shù)c分解成兩個因數(shù)，c1，c2的積，即

10、c=c1c2，并使a1c2+a2c1正好等于xy項的系數(shù)b，那么可以直接寫成結果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x22xy8y2解：如右圖，其中1=1×1，8=（4）×2，而2=1×（4）+1×2x22xy8y2=（x4y）（x+2y）而對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法來分解，如圖1，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy3y2+3x+y+2解：如圖2，其中1=1×1，3=（1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（1），1=（1）×2+3×1，3=1×2+1×1；x2+2xy3y2+3x