2020屆河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟領(lǐng)軍考試高三11月數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2020屆河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟領(lǐng)軍考試高三11月數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則（ ）abcd【答案】d【解析】分別計(jì)算出集合,再由交集的運(yùn)算計(jì)算出，可得答案.【詳解】解：由已知可得:，或，所以.故選：d.【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，求出集合是解題的關(guān)鍵.2下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）abcd【答案】d【解析】根據(jù)偶函數(shù)及函數(shù)單調(diào)性的定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行判斷，可得答案.【詳解】解：對(duì)于a，函數(shù)是奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于b，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于c，函數(shù)是奇函數(shù)，在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；對(duì)于d，函數(shù)是偶函

2、數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意.故選：d.【點(diǎn)睛】本題主要考查具體函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題型.3已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ）abcd【答案】b【解析】求導(dǎo)，可得，代入，可得的值.【詳解】由求導(dǎo)得.令，得，解得.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.4若，則的大小關(guān)系為（ ）abcd【答案】a【解析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷所在的范圍，可得其大小關(guān)系.【詳解】解：可得，所以,故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值大小的比較，熟悉指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出所在的范圍是解題的關(guān)鍵.5函數(shù)的圖象大致為（ ）abcd【答案】b【解析】由，可得，可得

3、函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)a，c，又當(dāng)時(shí)，排除選項(xiàng)d，可得答案.【詳解】解：由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可排除選項(xiàng)a，c；又當(dāng)時(shí)，所以，可排除選項(xiàng)d，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的識(shí)別和判斷、函數(shù)奇偶性等知識(shí)，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.6已知變量滿足約束條件，則的最小值為（ ）ab0c3d4【答案】a【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可.【詳解】解：作出約束條件表示的可行域，如圖所示.由可得，平移直線，可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，為.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)

4、的幾何意義進(jìn)行求解釋解題的關(guān)鍵.7如圖，在長(zhǎng)方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）abcd【答案】c【解析】取的中點(diǎn)，連接.易得，所以是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），在中，分別求出、 、的值，由余弦定理可得的值.【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接.易得，所以是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）.在中，.由余弦定理，可得.故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，求出是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）并進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.8已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和最小時(shí)，的值為（ ）a9b10c11d9或10【答案】d【解析】由題意等差數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足成

5、等比數(shù)列，可得即，可得當(dāng)當(dāng)或10時(shí)，最小，可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列為遞增數(shù)列，所以.又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，結(jié)合等差數(shù)列為遞增數(shù)列，可得都小于，即都小于0，所以當(dāng)或10時(shí)，最小.故選：d.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與基本量的計(jì)算、等差數(shù)前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力與分析能力.9已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）a當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值b的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱c在區(qū)間上單調(diào)遞增d的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】b【解析】根據(jù)函數(shù)圖像可求出、的值，可得的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】解：

6、由圖象得，則.又，所以，所以.又因?yàn)?，所以，所?對(duì)于a，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)最小值，故a正確；對(duì)于b，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故b錯(cuò)誤；對(duì)于c，由，可得，令，可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故c正確；對(duì)于d，由的圖象向左平移個(gè)單位得到，故d正確.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的知識(shí)，掌握的圖像與性質(zhì)及參數(shù)的含義求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.10如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且，則空間四面體的外接球的表面積為（ ）abcd【答案】a【解析】根據(jù)空間四面體棱長(zhǎng)特征，將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，可得四面體的外接球也是該長(zhǎng)方體的外接球，由長(zhǎng)方體的外接球的性質(zhì)可得其外接

7、球的半徑，可得該四面體外接球的表面積.【詳解】解：根據(jù)空間四面體棱長(zhǎng)特征，將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖所示，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，所以，由上圖可知，四面體的外接球也是該長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，故該四面體外接球的表面積為故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體的外接球問(wèn)題，將四面體的外接球轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.11在中，點(diǎn)在上，且，若，則的值是（ ）abcd【答案】a【解析】設(shè)的中點(diǎn)為,由，可得，同時(shí)由題意可得，可得，可得答案.【詳解】解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為.因?yàn)?因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所?故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，由題意

8、求出，是解題的關(guān)鍵.12已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則不等式的解集為（ ）abcd【答案】c【解析】由，可得，令，對(duì)其求導(dǎo)可得，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，可得原不等式的解集.【詳解】解：解：因?yàn)椋?，?令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，不等式，可變形為，即，所以，即不等式的解集?故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及解不等式，由題意構(gòu)造出函數(shù)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.二、填空題13己知向量，若，則_.【答案】【解析】由題意計(jì)算可得，由，可得，代入可得的值，可得答案.【詳解】解:由已知可得，因?yàn)椋?，解得，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向

9、量垂直性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題型.14比薩斜塔建造于1173年8月，是人類歷史上著名的建筑奇跡.已知比薩斜塔的傾斜角度為3.99度，偏移距離為4.09米，圓形地基面積為285平方米.若比薩斜塔可近似看成圓柱體，則其側(cè)面積約為_平方米.（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：，）【答案】3399【解析】由題意計(jì)算出比薩斜塔的高度為與圓形地基的半徑，由圓柱體側(cè)面積公式代入各數(shù)據(jù)可得答案.【詳解】解：設(shè)比薩斜塔的高度為米，則由已知可得米.設(shè)圓形地基的半徑為米，則，解得，所以比薩斜塔的側(cè)面積為平方米，故答案為：3399.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱體側(cè)面積的計(jì)算，相對(duì)不難，求出比薩斜塔的高度為與圓形地基的半徑

10、是解題的關(guān)鍵.15已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：，_.【答案】【解析】將變形為，可得數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得的值.【詳解】解：由，可得，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，又所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列前n項(xiàng)的和，構(gòu)造出數(shù)列， 后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.16如圖，在平面四邊形中，是等邊三角形，且，則面積的最大值為_.【答案】【解析】設(shè)，由余弦定理可得，,由正弦定理可得，由，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)由三角函數(shù)性質(zhì)，可得其最大值.【詳解】解：設(shè)，則由余弦定理，可得，.又由正弦定理，可得，即，所以.又因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，面積最大

11、，最大值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形的面積公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題17在平面直角坐標(biāo)系中，已知量，其中.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）1（2）【解析】（1）由，可得，由題意求出的值，可得的值；（2）由題意可得，可求出的值，可得代入，可得答案.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以，解得.所以.（2）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所?所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量平行的性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積及三角函數(shù)的恒等變換等知識(shí)，考查學(xué)生的綜合計(jì)算能力，屬于中檔題.18在中，角對(duì)應(yīng)的邊分別是，且.（1）求；（2

12、）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理，將進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，將代入進(jìn)行化簡(jiǎn)可得的值，可得答案；（2）由可得的值，由直線定理計(jì)算出的值，同時(shí)由可得的值，代入可得答案.【詳解】解：（1）因?yàn)?，由正弦定理，可得，?又因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?由正弦定理，可得.又.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，及三角函數(shù)的恒等變換等知識(shí)，注意定理的靈活運(yùn)用及運(yùn)算準(zhǔn)確.19如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）連接，易得，由線面平行的判定定理可

13、得平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，由空間向量法可得二面角的余弦值，可得其二面角的正弦值.【詳解】證明：（1）連接.因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以也是中點(diǎn).因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)榈酌?，底面是正方形，所以兩兩垂?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以.所以，所以，即二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理及向量法求二面角，考查學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力.202019年全國(guó)掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時(shí)尚，同時(shí)帶動(dòng)了垃

14、圾桶的銷售.某垃圾桶生產(chǎn)和銷售公司通過(guò)數(shù)據(jù)分析，得到如下規(guī)律：每月生產(chǎn)只垃圾桶的總成本由固定成本和生產(chǎn)成本組成，其中固定成本為100萬(wàn)元，生產(chǎn)成本為.（1）寫出平均每只垃圾桶所需成本關(guān)于的函數(shù)解析式，并求該公司每月生產(chǎn)多少只垃圾桶時(shí)，可使得平均每只所需成本費(fèi)用最少？（2）假設(shè)該類型垃圾桶產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的垃圾桶都能賣掉），每只垃圾桶的售價(jià)為元，滿足.若當(dāng)產(chǎn)量為15000只時(shí)利潤(rùn)最大，此時(shí)每只售價(jià)為300元，試求的值.（利潤(rùn)銷售收入成本費(fèi)用）【答案】（1）每只的成本費(fèi)用為250元.（2），.【解析】（1）由題意寫出生產(chǎn)成本的表達(dá)式，可得，利用基本不等式計(jì)算的最小值，并求出所對(duì)應(yīng)的的值；（2）由題

15、意可得利潤(rùn)函數(shù)，結(jié)合題意列出方程，可得的值.【詳解】解：（1）由題意知，生產(chǎn)成本為，所以.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值250元.即該公司生產(chǎn)1萬(wàn)只垃圾桶時(shí)，使得每只平均所需成本費(fèi)用最少，且每只的成本費(fèi)用為250元.（2）由已知可得，利潤(rùn).因?yàn)楫?dāng)產(chǎn)量為15000只時(shí)利潤(rùn)最大，此時(shí)每只售價(jià)為300元，所以解得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用及基本不等式在最值問(wèn)題的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題.21已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）.（2）【解析】（1）

16、由代入計(jì)算可得；將代入，可得，可得；（2）由，可得的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法可得的值，由，可得，分為偶數(shù)與奇數(shù)進(jìn)行討論，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由已知可得.當(dāng)時(shí)，所以.顯然也滿足上式，所以.因?yàn)?，所?又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以.（2）由（1）可得，所以.所以，所以，兩式作差，得所以.不等式，化為.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則.因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以.所以.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即，即.因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以.所以.綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和及數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，需注意解題方法的積累，屬于中檔題.22已知函數(shù).（1）若在點(diǎn)處的切線與直線平行，討論的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由兩直線平行可得的值，代入可得其單調(diào)性；（2）由，可得當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)可得，令，則，對(duì)進(jìn)行分析可得，分，進(jìn)行討論，可得實(shí)數(shù)的取值范圍