北師大版八年級數學下冊各章知識要點總結

1、北師大版八年級數學下冊各章知識要點總結第一章 三角形的證明一、全等三角形判定定理： 1、三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(sss) 2、有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(sas) 3、有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(asa) 4、有兩角及一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(aas) 5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（hl）二、等腰三角形的性質定理：等腰三角形有兩邊相等；(定義) 定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上

2、的高互相重合。 （三線合一）推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形； 三、等腰三角形的判定 1. 有關的定理及其推論 定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡寫成“等角對等邊”。） 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 2. 反證法：先假設命題的結論不成立，然后推導出 與定義、公理、已證定理或已知條 件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立。這種證明

3、方法稱為反證法 四、直角三角形1、直角三角形的性質直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方； 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半； 在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。 2、直角三角形判定如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形；3、互逆命題、互逆定理 在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題. 如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理. 五、線段

4、的垂直平分線 角平分線 1、 線段的垂直平分線。 性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等； 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。（外心）判定：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 2、 角平分線。 性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。（內心）判定：在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。 3、 逆命題、互逆命題的概念，及反證法第二章 一元一次不等式和一元一次不等式組一、一般地，用符號“”（或“”）,“”（或“”）連接的式子叫做不等式

5、。1、能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把所有滿足不等式的解集合在一起，構成不等式的解集. 3、求不等式解集的過程叫解不等式.4、由幾個一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組5、不等式組的解集 :一元一次不等式組各個不等式的解集的公共部分。6、等式基本性質1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或整式，所得的結果仍是等式. 基本性質2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數(除數不為0)，所得的結果仍是等式.二、不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變. （注：移項要變號，但不等號不變。）性質2：不等式的兩邊都乘以（

6、或除以）同一個正數，不等號的方向不變.性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.三、解不等式的步驟: 1、去分母; 2、去括號; 3、移項、合并同類項; 4、系數化為1。 四、解不等式組的步驟:1、解出不等式的解集。 2、在同一數軸表示不等式的解集。 3、寫出不等式組的解集。 五、列一元一次不等式組解實際問題的一般步驟：（1） 審題； （2）設未知數，找（不等量）關系式；（3）設元，(根據不等量)關系式列不等式(組) （4）解不等式組；檢驗并作答。第三章 圖形的平移與旋轉一、平移定義和規(guī)律 1平移的定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平

7、移。 關鍵：a. 平移不改變圖形的形狀和大小（也不會改變圖形的方向，但改變圖形的位置）。 b. 圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。 2平移的規(guī)律(性質)：經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等、對應角相等。 注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。 3簡單的平移作圖： 平移作圖要注意：方向；距離。整個平移作圖，就是把整個圖案的每一個特征點按一定方向和一定的距離平行移動。 二、旋轉的定義和規(guī)律 1旋轉的定義：在平面內，將一個圖形饒一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉。這個定點稱為旋轉中心；轉動的角稱為旋轉角。 關鍵：a. 旋轉不改變圖形的形狀和大?。?/p>

8、但會改變圖形的方向，也改變圖形的位置）。 b. 圖形旋轉四要素：原位置、旋轉中心、旋轉方向、旋轉角。 2旋轉的規(guī)律(性質)： 經過旋轉，圖形上的每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。(旋轉前后兩個圖形的對應線段相等、對應角相等。) 注意：旋轉后，原圖形與旋轉后的圖形全等。 3簡單的旋轉作圖： 旋轉作圖要注意：旋轉方向；旋轉角度。整個旋轉作圖，就是把整個圖案的每一個特征點繞旋轉中心按一定的旋轉方向和一定的旋轉角度旋轉移動。三、中心對稱1中心對稱的有關概念：中心對稱、對稱中心、對稱點 把一個圖形繞著某一點旋轉1

9、80°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這點對稱，也稱這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做對稱中心，兩個圖形中的對應點叫做對稱點。 2中心對稱的基本性質： （1）成中心對稱的兩個圖形具有圖形旋轉的一切性質。 （2）成中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。 3中心對稱圖形的有關概念：中心對稱圖形、對稱中心 把一個平面圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點就是它的對稱中心。 4、中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系 如果將成中心對稱的兩個圖形看成一個圖形，那么這個整體就是中心

10、對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形沿著過對稱中心的任一條直線分成兩個圖形，那么這兩個圖形成中心對稱。 3圖形的平移、軸對稱（折疊）、中心對稱（旋轉）的對比 5、圖案的分析與設計 首先找到基本圖案，然后分析其他圖案與它的關系，即由它作何種運動變換而形成。 圖案設計的基本手段主要有：軸對稱、平移、旋轉三種方法。第四章 分解因式一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、 3、 二、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。 1、把幾個整式的積化成一個多項式的形式，是乘法運算.2、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，是因式分解.3、ma+mb+mc=m（a

11、+b+c）4、因式分解與整式乘法是相反方向的變形。三、把多項式的各項都含有的相同因式，叫做這個多項式的各項的公因式.提公因式法分解因式就是把一個多項式化成單項式與多項式相乘的形式. 找公因式的一般步驟：（1）若各項系數是整系數，取系數的最大公約數；（2）取相同的字母，字母的指數取較低的；（3）取相同的多項式，多項式的指數取較低的.（4）所有這些因式的乘積即為公因式.四、分解因式的一般步驟為:（1）若有“-”先提取“-”，若多項式各項有公因式,則再提取公因式.（2）若多項式各項沒有公因式,則根據多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式.（3）每一個多項式都要分解到不能再分解為止.五、形如或的式子

12、稱為完全平方式.六、分解因式的方法：1、提公因式法。 2、運用公式法。第五章 分式與分式方程1. 分式的定義：如果a、b表示兩個整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式。1) 分式與整式最本質的區(qū)別：分式的字母必須含有字母，即未知數；分子可含字母可不含字母。2) 分式有意義的條件：分母不為零，即分母中的代數式的值不能為零。3) 分式的值為零的條件：分子為零且分母不為零2. 分式的基本性質：分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。用式子表示 或 其中a、b、c為整式（）注：（1）利用分式的基本性質進行分時變形是恒等變形，不改變分式值的大小，只改變形式。（2）應用基本性質時，要

13、注意c0，以及隱含的b0。（3）注意“都”，分子分母要同時乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分項，或避免出現分子、分母乘除的不是同一個整式的錯誤。3. 分式的通分和約分：關鍵先是分解因式1) 分式的約分定義：利用分式的基本性質，約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值。2) 最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式3) 分式的通分的定義：利用分式的基本性質，使分子和分母同乘適當的整式，不改變分式的值，把幾個異分母的分式化成分母相同的分式。4) 最簡公分母：取“各個分母”的“所有因式”的最高次冪的積做公分母，它叫做最簡公分母。4. 分式的符號法則分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中

14、任何兩個分式的值不變。用式子表示為注：分子與分母變號時，是指整個分子或分母同時變號，而不是指改變分子或分母中的部分項的符號。5.分式的運算：1）分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。 2）分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。 3）分式乘方法則： 分式乘方要把分子、分母分別乘方。 4）分式乘方、乘除混合運算：先算乘方，再算乘除，遇到括號，先算括號內的，不含括號的，按從左到右的順序運算5）分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，然后再加減7. 整數指數冪. 1） 任何一

15、個不等于零的數的零次冪等于1， 即；2） 任何一個不等于零的數的-n次冪（n為正整數），等于這個數的n次冪的倒數，即 （ 注：分數的負指數冪等于這個分數的倒數的正整數指數冪。即3） 科學計數法：把一個數表示為a×10n (1a10,n為整數)的形式，稱為科學計數法。 注：（1）絕對值大于1的數可以表示為a×10n 的形式，n為正整數； （2）絕對值小于1的數可以表示為a×10-n的形式，n為正整數.（3）表示絕對值大于10的n位整數時，其中10的指數是（4）表示絕對值小于1的正小數時,其中10的指數是第一個非0數字前面0的個數(包括小數點前面的一個0)4) 正整數

16、指數冪運算性質也可以推廣到整數指數冪(m,n是整數)（1）同底數的冪的乘法：；（2）冪的乘方：;（3）積的乘方：；（4）同底數的冪的除法：( a0)；（5）商的乘方：；(b0)8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知數的方程分式方程。 1) 增根：分式方程的增根必須滿足兩個條件：（1）增根是最簡公分母為0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 2）分式方程的解法：(1)能化簡的先化簡(2)方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；(3)解整式方程；(4)驗根注：解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最簡公分母有可能為，這樣就產生了增根，因此分式方程一定要驗根。分式方程檢驗方法：將整式方程

17、的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。 3）烈分式方程解實際問題 （1）步驟：審題設未知數列方程解方程檢驗寫出答案，檢驗時要注意從方程本身和實際問題兩個方面進行檢驗。（2）應用題基本類型； a.行程問題：基本公式：路程=速度×時間而行程問題中又分相遇問題、追及問題b.數字問題 在數字問題中要掌握十進制數的表示法c.工程問題 基本公式：工作量=工時×工效 d. 順水逆水問題 v順水=v靜水+v水 v逆水=v靜水-v水 e相遇問題 f.追及問題相遇路程速度和×相遇時間 追及距離速度差×追

18、及時間相遇時間相遇路程÷速度和 追及時間追及距離÷速度差速度和相遇路程÷相遇時間 速度差追及距離÷追及時間g流水問題 h濃度問題順流速度靜水速度水流速溶質的重量溶劑的重量溶液的重量逆流速度靜水速度水流速度 溶質的重量÷溶液的重量×100%濃度靜水速度(順流速度逆流速度)÷2 溶液的重量×濃度溶質的重量水流速度(順流速度逆流速度)÷2 溶質的重量÷濃度溶液的重量m利潤與折扣問題 利潤售出價成本 利潤率利潤÷成本×100%(售出價÷成本1)×100% 漲跌金額本金×漲跌百分比 折扣實際售價÷原售價×100%(折扣1) 利息本金×利率×時間 稅后利息本金×利率×時間×(120%) 第六章 平行四邊形一、平行四邊形的性質 1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形