動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用

1、理論力學(xué)主主 講：譚寧講：譚寧 副教授副教授辦公室：教辦公室：教1 1樓北樓北305305理論力學(xué)2動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他們都可應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可以研究其它形式的運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題。 動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是能

2、根據(jù)問(wèn)題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼?，包括各種守恒情況的判斷，相應(yīng)守恒定理的應(yīng)用。避開(kāi)那些無(wú)關(guān)的未知量，直接求得需求的結(jié)果。二是對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，能根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)合求解。 求解過(guò)程中求解過(guò)程中,要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析, 提供正確的運(yùn)動(dòng)提供正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。學(xué)補(bǔ)充方程。理論力學(xué)3 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都是描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都是描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的變化與質(zhì)點(diǎn)系所受的作用力之間的關(guān)系。的變化與質(zhì)點(diǎn)系所受的作用力之間的關(guān)系。整體運(yùn)動(dòng)的變化整體運(yùn)動(dòng)的變化所受的作用力所受的作用力動(dòng)動(dòng) 量量 定定 理理動(dòng)動(dòng) 能能 定定 理理動(dòng)量

3、矩定理動(dòng)量矩定理動(dòng)動(dòng) 量量力力(沖量沖量)動(dòng)量矩動(dòng)量矩力力 矩矩動(dòng)動(dòng) 能能力力 的的 功功 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都可以用于求解動(dòng)力學(xué)的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都可以用于求解動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題。兩類基本問(wèn)題。動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用理論力學(xué)4 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理一般限于研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理一般限于研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題。動(dòng)變化問(wèn)題。 動(dòng)能定理可以用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其他運(yùn)動(dòng)形式之間的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化動(dòng)能定理可以用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其他運(yùn)動(dòng)形式之間的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化問(wèn)題。問(wèn)題。 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式為矢量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)量

4、定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式為矢量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不僅涉及有關(guān)運(yùn)動(dòng)量的大小，而且涉及運(yùn)動(dòng)量的方向。動(dòng)時(shí)，不僅涉及有關(guān)運(yùn)動(dòng)量的大小，而且涉及運(yùn)動(dòng)量的方向。 動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不涉動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不涉及運(yùn)動(dòng)量的方向，無(wú)論質(zhì)點(diǎn)系如何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能定理只能提供一個(gè)方及運(yùn)動(dòng)量的方向，無(wú)論質(zhì)點(diǎn)系如何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能定理只能提供一個(gè)方程程 。動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用理論力學(xué)5 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中含有時(shí)間參數(shù)。動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中含有時(shí)間參數(shù)。 動(dòng)能定理的表達(dá)式中含有路程參數(shù)。動(dòng)能定理的表達(dá)式中含有路程參

5、數(shù)。 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中只包含外力，而不包含內(nèi)力動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中只包含外力，而不包含內(nèi)力(內(nèi)內(nèi)力的主矢和主矩均為零力的主矢和主矩均為零) 動(dòng)能定理的表達(dá)式中可以包含主動(dòng)力和約束力，對(duì)于理想約束，動(dòng)能定理的表達(dá)式中可以包含主動(dòng)力和約束力，對(duì)于理想約束，則只包含主動(dòng)力；主動(dòng)力中可以是外力，也可以是內(nèi)力則只包含主動(dòng)力；主動(dòng)力中可以是外力，也可以是內(nèi)力(可變質(zhì)點(diǎn)系可變質(zhì)點(diǎn)系)。動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用理論力學(xué)6 明確研究對(duì)象明確研究對(duì)象, ,系統(tǒng)系統(tǒng)( (整體整體) )還是部分還是部分 受力分析受力分析-守恒守恒 運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析-運(yùn)動(dòng)關(guān)系運(yùn)動(dòng)關(guān)系 定理的

6、選取定理的選取 動(dòng)能定理動(dòng)能定理-突破口突破口( (整體整體),),適宜理想約束適宜理想約束, ,一個(gè)自一個(gè)自由度由度, ,主要求解運(yùn)動(dòng)量主要求解運(yùn)動(dòng)量. . 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理-求力求力, ,適宜剛體任何運(yùn)動(dòng)形式適宜剛體任何運(yùn)動(dòng)形式. . 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理-求力求力, ,適宜剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)適宜剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng). .動(dòng)力學(xué)綜合問(wèn)題求解技巧動(dòng)力學(xué)綜合問(wèn)題求解技巧動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用理論力學(xué)7 重150N的均質(zhì)圓盤(pán)與重60N、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地釋放。求求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位置B點(diǎn)時(shí)的速度及支座A的約束反力。解：（解：（1

7、）取圓盤(pán)為研究對(duì)象）取圓盤(pán)為研究對(duì)象00)(BBBBMJ F00B，圓盤(pán)平動(dòng)。動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用例一由相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得：由相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得：理論力學(xué)8（2）用動(dòng)能定理求速度）用動(dòng)能定理求速度。 取系統(tǒng)為研究對(duì)象。初始時(shí)T1=0 ， 最低位置時(shí)：2212222632121BBAvgPPvgPJT)30sin()30sin22(21)(llPllPWF)(12FWTT)30sin)(2(06321221llPPvgPPB代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得m/s 58. 1Bv動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用rad/s 58. 624. 058. 1lvBP1

8、P2lvB理論力學(xué)9（3）求）求AB桿的角加速度桿的角加速度。0)(dd)e(FAAMtL所以所以 AB桿角加速度桿角加速度 0 。盤(pán)質(zhì)心加速度：)0( 2BnBBalaa)0( 22CnCCalaa桿質(zhì)心C的加速度：)31(312221221lgPlgPvlgPlgPLA動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位置B點(diǎn)時(shí)，有根據(jù)動(dòng)量矩定理：理論力學(xué)10（4）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。 0t2t1AxBCixiFagPagPam2122212PPFlgPlgPamAyiyi研究整個(gè)系統(tǒng) 動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用 代入數(shù)據(jù)，可解出

9、.,AyAxFF 理論力學(xué)11或者： 以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象, 在任意位置時(shí)系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)是： 動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用)30sin(76)30cos(76tLytLxCC)30sin(76)30cos(7622tLatLaCyCx當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，質(zhì)心加速度為：當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，質(zhì)心加速度為：2m/s91. 87602LaaCyCx理論力學(xué)12AyyCyAxxCxFPPFMaFFMa21 代入數(shù)據(jù)，可解出 .,AyAxFF 動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用 本題應(yīng)用了動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，比本題應(yīng)用了動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，比較復(fù)雜

10、，較復(fù)雜，請(qǐng)大家仔細(xì)分析求解過(guò)程中所應(yīng)用的定理。請(qǐng)大家仔細(xì)分析求解過(guò)程中所應(yīng)用的定理。理論力學(xué)13解：取桿為研究對(duì)象解：取桿為研究對(duì)象2312lPlgPlg 2/3 均質(zhì)桿OA，重P，長(zhǎng)l，如圖所示。當(dāng)繩子突然剪斷的瞬時(shí)，求桿的角加速度及軸承O處的約束反力。例二動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用當(dāng)繩剪斷瞬間，當(dāng)繩剪斷瞬間，=0=0. .桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。理論力學(xué)14由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：0OxOxCxFFagPPFPFlgPagPOyOyCy41 2動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用aCxaCyCCynCCxaaaa,理論力學(xué)15題：均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l、質(zhì)量

11、為m，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí)，求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力。動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用例三理論力學(xué)16解：由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，倒下過(guò)程中質(zhì)心將鉛直下落。設(shè)桿左端滑于任一角度，如圖所示，p為桿的速度瞬心。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，桿的角速度與質(zhì)心C 的速度之間關(guān)系為：cos2lvCPvCC22222cos311212121CCCvmJmvT任意位置桿的動(dòng)能為初始動(dòng)能為零01TvCBPvBC動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用理論力學(xué)171212WTT由動(dòng)能定理sin120cos3112122lmgvmC即此過(guò)程中只有重力作功sin12

12、12lmgWglvC321lg3解出思考:倒地瞬時(shí)B點(diǎn)的速度?0當(dāng)桿完全倒地此時(shí)動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用BCmgFNaC理論力學(xué)18動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用如何求角加速度？如何求角加速度？sin12cos3112122lmgvmC由（該等式在任意時(shí)刻都成立?。┛煽紤]動(dòng)能定理的導(dǎo)數(shù)形式，但求導(dǎo)較復(fù)雜！理論力學(xué)19CAnCAACaaaaCa點(diǎn)A的加速度為水平， 鉛垂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知ACmgFNaC動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用2laaCAC沿鉛垂方向投影，得加速度矢量如圖所示。AaACaAnCAaCAaaC桿剛剛達(dá)到地面瞬時(shí)，理論力學(xué)20NCFmg

13、ma2CNlJF桿剛剛達(dá)到地面瞬時(shí)，由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程得ACmgFNaCy動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用2laaCAC運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系4mgFN代入動(dòng)力學(xué)方程，解得gl 43理論力學(xué)21例四動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用已知：勻質(zhì)桿長(zhǎng)30（cm）,重98（N）, 彈簧的剛性系數(shù)為4.9(N/m), 原長(zhǎng)為20(cm)。開(kāi)始時(shí)桿置于水平位置， 然后將其無(wú)初速釋放。 由于彈簧作用，桿繞O 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，OO140（cm）。求： 當(dāng)桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)桿的 角速度和軸承O 處的反力。理論力學(xué)22解：取研究對(duì)象：桿OA受力分析如圖：（1） 求桿在鉛垂位置的角速度（桿在鉛垂位置時(shí)的動(dòng)

14、能）T1 0 （水平位置 10） 應(yīng)用動(dòng)能定理： T2 T1 W222022226JmLT動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用理論力學(xué)23總功為：222221mgLcW22112030OAOOcmcmAO102012可求出：2 5.72( rad / s ) 代入動(dòng)能定理：WTT12動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用理論力學(xué)24222002CncCaLaa因此可得 ：（2）求桿在鉛垂位置時(shí)軸承O 的約束反力 在鉛垂位置時(shí)，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程（即動(dòng)量矩定理） 有：（因?yàn)橥饬νㄟ^(guò)O點(diǎn)，所以外力矩為零。）020()0eJmF動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用理論力學(xué)2

15、5再應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有:其中彈簧力：可解出N492cFxy（在（在 x、y 軸方向投影）軸方向投影）0OxncOyFmamgFF2298()2OOymLFFFPN動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用理論力學(xué)26 行星齒輪機(jī)構(gòu)在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量為m的均質(zhì)曲柄AB帶動(dòng)行星齒輪II在固定齒輪I上純滾動(dòng)。齒輪II的質(zhì)量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。桿與輪鉸接處的摩擦力忽略不計(jì)。當(dāng)曲柄受力偶矩為M的常力偶作用時(shí)，求桿的角加速度及輪II邊緣所受切向力F。ABMr1r2例七動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用例五動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用理論力學(xué)271. 求桿的角加速度求桿的角加速度222222122122 221 111 1()()2 322 2Tm rrm rrm r運(yùn)動(dòng)學(xué)條件運(yùn)動(dòng)學(xué)條件2122()/rrr2221231 1()()2 32Tmmrr主動(dòng)力系的元功為主動(dòng)力系的元功為由動(dòng)能定理得由動(dòng)能定理得221231()()32m