動力學普遍定理綜合應用

1、理論力學主主 講：譚寧講：譚寧 副教授副教授辦公室：教辦公室：教1 1樓北樓北305305理論力學2動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用 動力學普遍定理包括質點和質點系的動量定理、動量矩定理和動力學普遍定理包括質點和質點系的動量定理、動量矩定理和動能定理。動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標量形式，他們都可應用研究機械運動，而動能定理還可以研究其它形式的運動能量轉化問題。 動力學普遍定理提供了解決動力學問題的一般方法。動力學普動力學普遍定理提供了解決動力學問題的一般方法。動力學普遍定理的綜合應用，大體上包括兩方面的含義：遍定理的綜合應用，大體上包括兩方面的含義：一是能

2、根據問題的已知條件和待求量，選擇適當的定理求解，包括各種守恒情況的判斷，相應守恒定理的應用。避開那些無關的未知量，直接求得需求的結果。二是對比較復雜的問題，能根據需要選用兩、三個定理聯(lián)合求解。 求解過程中求解過程中,要正確進行運動分析要正確進行運動分析, 提供正確的運動提供正確的運動學補充方程。學補充方程。理論力學3 動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質點系整體運動動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質點系整體運動的變化與質點系所受的作用力之間的關系。的變化與質點系所受的作用力之間的關系。整體運動的變化整體運動的變化所受的作用力所受的作用力動動 量量 定定 理理動動 能能 定定 理理動量

3、矩定理動量矩定理動動 量量力力(沖量沖量)動量矩動量矩力力 矩矩動動 能能力力 的的 功功 動量定理、動量矩定理和動能定理都可以用于求解動力學的動量定理、動量矩定理和動能定理都可以用于求解動力學的兩類基本問題。兩類基本問題。動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用理論力學4 動量定理、動量矩定理一般限于研究物體機械運動范圍內的運動量定理、動量矩定理一般限于研究物體機械運動范圍內的運動變化問題。動變化問題。 動能定理可以用于研究機械運動與其他運動形式之間的運動轉化動能定理可以用于研究機械運動與其他運動形式之間的運動轉化問題。問題。 動量定理、動量矩定理的表達式為矢量形式，描述質點系整體運動量

4、定理、動量矩定理的表達式為矢量形式，描述質點系整體運動時，不僅涉及有關運動量的大小，而且涉及運動量的方向。動時，不僅涉及有關運動量的大小，而且涉及運動量的方向。 動能定理的表達式為標量形式，描述質點系整體運動時，不涉動能定理的表達式為標量形式，描述質點系整體運動時，不涉及運動量的方向，無論質點系如何運動，動能定理只能提供一個方及運動量的方向，無論質點系如何運動，動能定理只能提供一個方程程 。動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用理論力學5 動量定理、動量矩定理的表達式中含有時間參數。動量定理、動量矩定理的表達式中含有時間參數。 動能定理的表達式中含有路程參數。動能定理的表達式中含有路程參

5、數。 動量定理、動量矩定理的表達式中只包含外力，而不包含內力動量定理、動量矩定理的表達式中只包含外力，而不包含內力(內內力的主矢和主矩均為零力的主矢和主矩均為零) 動能定理的表達式中可以包含主動力和約束力，對于理想約束，動能定理的表達式中可以包含主動力和約束力，對于理想約束，則只包含主動力；主動力中可以是外力，也可以是內力則只包含主動力；主動力中可以是外力，也可以是內力(可變質點系可變質點系)。動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用理論力學6 明確研究對象明確研究對象, ,系統(tǒng)系統(tǒng)( (整體整體) )還是部分還是部分 受力分析受力分析-守恒守恒 運動分析運動分析-運動關系運動關系 定理的

6、選取定理的選取 動能定理動能定理-突破口突破口( (整體整體),),適宜理想約束適宜理想約束, ,一個自一個自由度由度, ,主要求解運動量主要求解運動量. . 質心運動定理質心運動定理-求力求力, ,適宜剛體任何運動形式適宜剛體任何運動形式. . 動量矩定理動量矩定理-求力求力, ,適宜剛體轉動和平面運動適宜剛體轉動和平面運動. .動力學綜合問題求解技巧動力學綜合問題求解技巧動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用理論力學7 重150N的均質圓盤與重60N、長24cm的均質桿AB在B處用鉸鏈連接。系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求求系統(tǒng)經過最低位置B點時的速度及支座A的約束反力。解：（解：（1

7、）取圓盤為研究對象）取圓盤為研究對象00)(BBBBMJ F00B，圓盤平動。動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用例一由相對質心的動量矩定理得：由相對質心的動量矩定理得：理論力學8（2）用動能定理求速度）用動能定理求速度。 取系統(tǒng)為研究對象。初始時T1=0 ， 最低位置時：2212222632121BBAvgPPvgPJT)30sin()30sin22(21)(llPllPWF)(12FWTT)30sin)(2(06321221llPPvgPPB代入數據，得代入數據，得m/s 58. 1Bv動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用rad/s 58. 624. 058. 1lvBP1

8、P2lvB理論力學9（3）求）求AB桿的角加速度桿的角加速度。0)(dd)e(FAAMtL所以所以 AB桿角加速度桿角加速度 0 。盤質心加速度：)0( 2BnBBalaa)0( 22CnCCalaa桿質心C的加速度：)31(312221221lgPlgPvlgPlgPLA動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用系統(tǒng)經過最低位置B點時，有根據動量矩定理：理論力學10（4）由質心運動定理求支座反力。）由質心運動定理求支座反力。 0t2t1AxBCixiFagPagPam2122212PPFlgPlgPamAyiyi研究整個系統(tǒng) 動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用 代入數據，可解出

9、.,AyAxFF 理論力學11或者： 以整個系統(tǒng)為研究對象, 在任意位置時系統(tǒng)的質心坐標是： 動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用)30sin(76)30cos(76tLytLxCC)30sin(76)30cos(7622tLatLaCyCx當系統(tǒng)到達最低點時，質心加速度為：當系統(tǒng)到達最低點時，質心加速度為：2m/s91. 87602LaaCyCx理論力學12AyyCyAxxCxFPPFMaFFMa21 代入數據，可解出 .,AyAxFF 動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用 本題應用了動量矩定理、動能定理、質心運動定理，比本題應用了動量矩定理、動能定理、質心運動定理，比較復雜

10、，較復雜，請大家仔細分析求解過程中所應用的定理。請大家仔細分析求解過程中所應用的定理。理論力學13解：取桿為研究對象解：取桿為研究對象2312lPlgPlg 2/3 均質桿OA，重P，長l，如圖所示。當繩子突然剪斷的瞬時，求桿的角加速度及軸承O處的約束反力。例二動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用當繩剪斷瞬間，當繩剪斷瞬間，=0=0. .桿作定軸轉動。桿作定軸轉動。理論力學14由質心運動定理：由質心運動定理：0OxOxCxFFagPPFPFlgPagPOyOyCy41 2動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用aCxaCyCCynCCxaaaa,理論力學15題：均質細桿長為l、質量

11、為m，靜止直立于光滑水平面上。當桿受微小干擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角速度和地面約束力。動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用例三理論力學16解：由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，倒下過程中質心將鉛直下落。設桿左端滑于任一角度，如圖所示，p為桿的速度瞬心。由運動學知，桿的角速度與質心C 的速度之間關系為：cos2lvCPvCC22222cos311212121CCCvmJmvT任意位置桿的動能為初始動能為零01TvCBPvBC動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用理論力學171212WTT由動能定理sin120cos3112122lmgvmC即此過程中只有重力作功sin12

12、12lmgWglvC321lg3解出思考:倒地瞬時B點的速度?0當桿完全倒地此時動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用BCmgFNaC理論力學18動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用如何求角加速度？如何求角加速度？sin12cos3112122lmgvmC由（該等式在任意時刻都成立！）可考慮動能定理的導數形式，但求導較復雜！理論力學19CAnCAACaaaaCa點A的加速度為水平， 鉛垂，由運動學知ACmgFNaC動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用2laaCAC沿鉛垂方向投影，得加速度矢量如圖所示。AaACaAnCAaCAaaC桿剛剛達到地面瞬時，理論力學20NCFmg

13、ma2CNlJF桿剛剛達到地面瞬時，由剛體平面運動微分方程得ACmgFNaCy動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用2laaCAC運動學補充關系4mgFN代入動力學方程，解得gl 43理論力學21例四動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用已知：勻質桿長30（cm）,重98（N）, 彈簧的剛性系數為4.9(N/m), 原長為20(cm)。開始時桿置于水平位置， 然后將其無初速釋放。 由于彈簧作用，桿繞O 軸轉動，OO140（cm）。求： 當桿轉到鉛垂位置時桿的 角速度和軸承O 處的反力。理論力學22解：取研究對象：桿OA受力分析如圖：（1） 求桿在鉛垂位置的角速度（桿在鉛垂位置時的動

14、能）T1 0 （水平位置 10） 應用動能定理： T2 T1 W222022226JmLT動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用理論力學23總功為：222221mgLcW22112030OAOOcmcmAO102012可求出：2 5.72( rad / s ) 代入動能定理：WTT12動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用理論力學24222002CncCaLaa因此可得 ：（2）求桿在鉛垂位置時軸承O 的約束反力 在鉛垂位置時，由剛體定軸轉動微分方程（即動量矩定理） 有：（因為外力通過O點，所以外力矩為零。）020()0eJmF動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用理論力學2

15、5再應用質心運動定理質心運動定理，有:其中彈簧力：可解出N492cFxy（在（在 x、y 軸方向投影）軸方向投影）0OxncOyFmamgFF2298()2OOymLFFFPN動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用理論力學26 行星齒輪機構在水平面內運動。質量為m的均質曲柄AB帶動行星齒輪II在固定齒輪I上純滾動。齒輪II的質量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。桿與輪鉸接處的摩擦力忽略不計。當曲柄受力偶矩為M的常力偶作用時，求桿的角加速度及輪II邊緣所受切向力F。ABMr1r2例七動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用例五動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用理論力學271. 求桿的角加速度求桿的角加速度222222122122 221 111 1()()2 322 2Tm rrm rrm r運動學條件運動學條件2122()/rrr2221231 1()()2 32Tmmrr主動力系的元功為主動力系的元功為由動能定理得由動能定理得221231()()32m