探究建模與建模探究

1、探究建模與建模探究例談求矩形周長最小值問題朱建良（江蘇省太倉市第一中學(xué)215400）摘要：挖掘中考試題所蘊(yùn)涵的創(chuàng)新教育功能，拓展學(xué)生的認(rèn)知水平，激發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造性 思維意識(shí).教學(xué)屮應(yīng)用“教者有意、學(xué)者無心”的形式，用建模解決問題的形式潛移默化 地影響學(xué)生，使學(xué)生冇意識(shí)地領(lǐng)會(huì)建模思想達(dá)到孕育建模的境界.在建模過程中學(xué)生學(xué)到 解決問題的方法，體驗(yàn)到知識(shí)的產(chǎn)生過程，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、主動(dòng)性.關(guān)鍵詞：建模、拓展、應(yīng)用、聯(lián)想、創(chuàng)新思維義務(wù)教育階段的初中數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已冇的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷探究活 動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.教師就要善于給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維空間，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的 過程中敢于質(zhì)疑

2、、勤于反思、善于拓展、大膽聯(lián)想，不拘泥于套用一種模型，學(xué)會(huì)多角度、 多層次地審視問題，在建模解題過程中鍛煉學(xué)牛思維的靈活性，提高學(xué)牛的分析問題的能 力.最值問題內(nèi)容涉及方程、不等式、函數(shù)及幾何等問題，著重考查了學(xué)生尋求數(shù)學(xué)內(nèi)在 的聯(lián)系和規(guī)律的能力，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思、想方法在問題解決中的指導(dǎo)意義.木文嘗試把鮮活的 2（）11年屮考數(shù)學(xué)試題編擬到課堂教學(xué)設(shè)計(jì)屮，挖掘屮考試題所蘊(yùn)涵的創(chuàng)新教冇功能，拓展 學(xué)牛的認(rèn)知水平，激發(fā)起學(xué)牛的創(chuàng)造性思維意識(shí).嘗試先探究后建模與先建模后探究二種 教學(xué)形式對(duì)矩形周長最小值問題的處理策略進(jìn)行剖析，就此拋磚引玉為同行教學(xué)提供參 考.1. 探究建模1.1觀察計(jì)算、引導(dǎo)學(xué)生思考

3、例1 （德州市2011年中考數(shù)學(xué)第22題）當(dāng)d=5, b = 3時(shí)， 與j亦的人小關(guān)系是.2當(dāng)。=4, = 4時(shí)， 空與陌的大小關(guān)系是.2解析 由特殊值引導(dǎo)學(xué)生思考、創(chuàng)設(shè)辨識(shí)問題情境、強(qiáng)化辨顯對(duì)比、引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí) 究竟a、b滿足什么條件吋才能判斷凹為j亦的大小關(guān)系.21.2探究證明、尋求規(guī)律r如圖所示，mbc為圓0的內(nèi)接三角形，43為直徑，過c作cd丄于d,設(shè)(1) 分別用a,b義示線段oc, cd；(2) 探求0c與cd表達(dá)式之間存在的關(guān)系(用含d, b的式子表示).解析 山表及里、究根問底，由代數(shù)不等式問題遷移至圓的相關(guān)問題，擺脫不等式解法的定勢(shì)， 發(fā)揮想彖，引導(dǎo)學(xué)生善于識(shí)別具有本質(zhì)的因素

4、，把不等式的數(shù)屋關(guān)系轉(zhuǎn)化到線段0c1j0d長，展開探究.(1 )如圖,有 acd s cbd ,.即2cd bdcd2 = ad bd = ab, /. cd = yab .(2)當(dāng) a=b 時(shí)，oc 二 cd, - = 4b ; a#b 時(shí)，oc>cd, -. 2 21.3歸納結(jié)論、建立模型根據(jù)上面的觀察計(jì)算、探究證明，你能得出凹與臨的人小關(guān)系是：2解析數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦不在于全盤授予，而在于教會(huì)學(xué)生自主探究，一堂高效的數(shù)學(xué) 課，不是教師個(gè)性能力的體現(xiàn)，而是學(xué)牛感悟和參與的過程，在學(xué)牛主動(dòng)探究、證明推理 的過程中感悟凹與陌的大小關(guān)系，即旦nj廳.2 21.4實(shí)踐應(yīng)用要制作面積為1平方米的長

5、方形鏡椎，直接利川探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最 小值.解析從知識(shí)的掌握到知識(shí)的應(yīng)用不是口然而成的簡單運(yùn)算，數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)只有在 充分、冇意識(shí)的訓(xùn)練棊礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)從繁亂的數(shù)學(xué)問題中抽彖出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.設(shè)長方形一邊長為x米,則另一邊長為丄米,設(shè)鏡框周長為/米，貝ij/ = 2（x + -） 3xx4jx-=4 .當(dāng)兀=丄，即x = l （米）時(shí)，鏡框周長最小.此時(shí)四邊形為正方形時(shí)，周長 v xx最小為4米.2. 建模探究2.1創(chuàng)設(shè)問題情境例2 （南京市2011年屮考數(shù)學(xué)第28題）已知矩形的面積為d （d為常數(shù)，6/>0）,當(dāng)該矩形的長為多少時(shí)，它的周長最??？最 小值是多少？2.2轉(zhuǎn)化問題

6、，給出數(shù)學(xué)模型設(shè)該矩形的長為兀，周長為y,貝oy-ux的函數(shù)關(guān)系式為y = 2（x + -）（x>0）x解析突破傳統(tǒng)，上題是通過探究得出不等式模型，再求解，本題大膽猜想打破思維 的固有模式，直接給出函數(shù)模型求解矩形的最小值問題.2.3尋根究底、大膽探究我們可以借鑒以前研究兩數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函數(shù) 歹+丄（兀>0）的圖象性質(zhì).%1 填寫下表，虺出函數(shù)的圖彖：x1413121234y%1 觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；%1 在求二次函數(shù)y=ax2 + bx+c （dho）的最大（?。┲禃r(shí)，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到.請(qǐng)你通過配方求函數(shù)y = x + -（x>0）

7、的最小值.解析 引導(dǎo)學(xué)牛大膽猜想，通過先建模再探究，類比求二次函數(shù)最人（小）值的方法,大膽猜想對(duì)新的問題能合理地選擇有效的手段和策略，靈活運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)和配方 法、圖彖法進(jìn)行探索研究，既體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，乂體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，深刻領(lǐng)會(huì) 函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系理清解決問題的思路示搭好探究的人方向，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，通過不斷的探索.總結(jié)、反思從圖象的最低點(diǎn)處，發(fā)現(xiàn)圖象最小值的10涵義，達(dá)到理性升華.c 1710函數(shù)y二兀+丄（兀0）的圖象如圖.亍當(dāng)0 vxv 1時(shí)，y隨兀增人而減小；當(dāng)兀1時(shí)，y隨兀增大而增大；當(dāng)兀=1時(shí)，函數(shù)y = x +丄（兀0）的最小值為2.x y =

8、兀=（vx）2 + （、-乎xv x(vx) +(j)(f q = (y/x j)2 + 2.當(dāng) vx j = 0 時(shí)，即兀=1時(shí)，函數(shù)y = x + ( x > 0 )的最小值為2.2.4解決問題用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案.解析 從理性證明推理過渡到正確丿應(yīng)用，解決“問題惜境”屮的問題，即當(dāng)該矩形的 長為奶吋，它的周長最小，最小值為4需.3. 數(shù)學(xué)建模要教什么3. 1淡化形式、注重實(shí)質(zhì)數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)的基木方法之一，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程屮，淡化建模的形式化、套路 化，耍強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，不管建模順序先后，教學(xué)中應(yīng)用“教者有意、學(xué)者無心” 的形式，用建模解決問題的形

9、式潛移默化地影響學(xué)生，使學(xué)生冇意識(shí)地領(lǐng)會(huì)建模思想達(dá)到 孕育建模的境界.在建模過程中學(xué)生學(xué)到解決問題的方法，體驗(yàn)到知識(shí)的產(chǎn)生過程，發(fā)揮 學(xué)生學(xué)習(xí)的口主性、主動(dòng)性.3.2教會(huì)學(xué)生探究與交流新課程倡導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程應(yīng)該表現(xiàn)為一個(gè)探索與交流的過程，在探究的過程中形成 自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解,引導(dǎo)學(xué)牛通過建模教v對(duì)數(shù)學(xué)問題要一題多解，追根溯源、橫向類比、 巧妙轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化數(shù)學(xué)體驗(yàn)，要時(shí)刻引導(dǎo)學(xué)生通過設(shè)計(jì)“問題鏈”、主動(dòng)構(gòu)知識(shí)，只有通過 自身經(jīng)歷和再創(chuàng)造的做，幫助學(xué)牛逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)不是機(jī) 械化的解題教學(xué)，而是通過“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”式的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生在探究 中感悟、理解.卅發(fā)

10、學(xué)生在充分展示思、考問題的思、維過程中相互探討、改正錯(cuò)誤、完善解 題過程，增強(qiáng)師生、生生之間的信息交流，鼓勵(lì)學(xué)生通過建模積極思考，主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)的 有效延伸和拓展.3.3培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，學(xué)起于思、思起于疑，疑則激發(fā)創(chuàng)新.本 案例同一問題從不同角度建模，從不等式建模到函數(shù)建模，激發(fā)學(xué)生在質(zhì)疑、探索和求異 中冇所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，體會(huì)數(shù)學(xué)建模是橋梁，在教帥介理設(shè)計(jì)和組織下，抓住教學(xué)契機(jī)讓學(xué) 生思維飛揚(yáng)，跨越思維障礙，引向縱深，推向高潮，經(jīng)歷艱難曲折的思維過程才能提高思 維層次，發(fā)展思維能力，建模過程就是數(shù)學(xué)思維的碰撞與整合的過程，是認(rèn)知策略與學(xué)習(xí) 策略的形成、改變與完善的過程，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)思維的活動(dòng).蘇霍姆林斯基曾說：“教給學(xué)生能借助已冇的知識(shí)獲取新的知識(shí)，這是最高的教學(xué)技 巧所在這正是運(yùn)用建模思想解決數(shù)學(xué)問題的真實(shí)寫照，通過建模引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題 的探究思維過程充分展示剖析，讓學(xué)生解探究問題的思維發(fā)展過程，從模仿體驗(yàn)到實(shí)踐 探究，掌握類比、對(duì)比、聯(lián)想、歸納、猜想等多種問題的探究方法，鼓勵(lì)學(xué)生從多角度建 模，左思考.建模教學(xué)耍從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，