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文檔簡介
1、福建省廈門六中2018-2019學(xué)年高三(上)第一次段考數(shù)學(xué)試卷(文科)一、選擇題(本大題共12小題,共60.0分)1. 函數(shù)y = sinx + v3cosx的最小值為()a. 1b. 2c. v3d. 2【答案】d【解析】解:. y = sinx + v3cosx = 2(| sinx + 乎 cosx) = 2sin(x + ?)-1 < sin(x + -) < 1,3.當(dāng)sin(x + ;) = -1時,函數(shù)y取得最小值一2.故選:d.利用兩角和的正弦公式即可化為asinx + bcosx = va2 + b2sin(x +。),進(jìn)而利用正弦函 數(shù)的單調(diào)性、最值即可得出.
2、本題屬于基礎(chǔ)題,熟練掌握兩角和的正弦公式化asinx + bcosx = va2 + b2sin(x + 0)> 及正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值是解題的關(guān)鍵.2. 已知正四面體abcd中,e是ab的中點(diǎn),則異面直線ce與bd所成角的余弦值 為()a.【答案】b【解析】解:如圖,取ad中點(diǎn)f,連接ef, cf,.e為ab的中點(diǎn),ef/db,則匕cef為異面直線bd與ce所成的角,- abcd為正四面體,e, f分別為ab, ad的中點(diǎn),ce = cf.設(shè)正四面體的棱長為2a,則 ef = a,ce = cf = j(2a)2 _ a。= v3a.在cef中,由余弦定理得:coszcef =ce2
3、+ef2-cf22ceefa2 =v32x73a2故選:b.由e為ab的中點(diǎn),可取ad中點(diǎn)f,連接ef,則zcef為異面直線ce與bd所成角, 設(shè)出正四面體的棱長,求出acef的三邊長,然后利用余弦定理求解異面直線ce與bd 所成角的余弦值.本題考查異面直線及其所成的角,關(guān)鍵是找角,考查了余弦定理的應(yīng)用,是中檔題.3. 己知m和n是兩條不同的直線,a和6是兩個不重合的平面,那么下面給出的條件 中一定能推出m 1 p的是()a. alp,且 m c ab. m/n,且 n 1 pc. a 1 且m/ad. mln,且n0【答案】b【解析】解:a 1且mu an mu 6,或m/p,或m與6相交,
4、故a不成立;m/n,且n 1 p m 1 p,故 b 成立;alp,且manmu6,或m/p,或m與。相交,故c不成立;由mln,且n/p,知m 1 p不成立,故d不正確.故選:b.根據(jù)a, b, c, d所給的條件,分別進(jìn)行判斷,能夠得到正確結(jié)果. 本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.4. 要得到函數(shù)y = sin(2x + :)的圖象,只要將函數(shù)y = sin2x的圖象()a.向左平移;單位b.向右平移?單位44c.向右平移;單位d.向左平移;單位【答案】d【解析】解:由于函數(shù)y = sin(2x + 5 = sin2(x +4o故只要將函數(shù)y = s
5、in2x的圖象相左平移:個單位,即可得到函數(shù)y = sin(2x + =)的圖象, 故選:d.由于函數(shù)y = sin(2x + :) = sin2(x + :),故只要將函數(shù)y = sin2x的圖象相左平移遏個單 位即可實(shí)現(xiàn)目標(biāo).本題主要考查函數(shù)y = asin(a)x +。)的圖象變換,屬于中檔題.5. 已知zkabc的三個頂點(diǎn)a, b, c及平面內(nèi)一點(diǎn)p滿足pa +pb + pc = ba,則點(diǎn)p 與zxabc的關(guān)系為()a. p在 abc內(nèi)部b. p在zkabc外部cp在bc邊所在直線上d. p是ac邊的一個三等分點(diǎn)【解析】解:abc的三個頂點(diǎn)a, b, c及平面內(nèi)一點(diǎn)p滿足pa + p
6、b + pc = ba,則:oa-op + ob-op + oc-op = oa-ob,所以:3 0p = 2 0b+ 0c,整理得:op = i0c + -0b,33根據(jù)向量共線的充要條件旋=xoc + yob,x + y = 1,所以:p、b、c三點(diǎn)共線.故選:c.直接利用向量的線性運(yùn)算整理得op = |oc + |ob,進(jìn)一步利用向量的共線的充要條件 求出結(jié)果.本題考查的知識要點(diǎn):向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用,向量的共線的充要條件的應(yīng)用,主要考 查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.6. abc的三個內(nèi)角a, b, c所對的邊分別為a, b, c,且滿足竺m普=與,則a =(sinb-sin
7、c a+b')a. :b. ?c.奪d.搏等【答案】b【解析】解:.迎§琴=氣,sinb-sinc a+b.由正弦定理可得:攔=土,整理可得:b2 + c2-a2 = bc,b-c a+b.由余弦定理可得:cosa =弋-,涪=2bc 2bc 2. a e (0, n),: a =3故選:b.由己知及正弦定理可得b2 + c2 - a2 = be,由余弦定理可得cosa =結(jié)合范圍a e (0,n), 可求a的值.本題主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7. 將函數(shù)f(x) = 2sin(2x-?) + 1的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的
8、所得圖象的一個對稱中心可能是()a. (p0)b. (*0)c. (pl)d. (*1)【解析】解:由題意得:變換后的函數(shù)是y = 2sin(4x ?) + l,由4x-? = kn, k e z,可得x = + , k e z,3412tt令k = 1,則x =汽x =:時 , y = 2sin(? ?) + 1 = 1,所以所得圖象的一個對稱中心可能是(勺1).故選:c.根據(jù)y = asin(0)x + 0)的圖象變換規(guī)律可得所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y = 2sin(4x-?) + 1, 由4x ; = kn, kgz,可得對稱中心的橫坐標(biāo),從而得出結(jié)論.本題主要考查y = asin(o)x
9、+。)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的對稱中心,屬于中檔題.8. 己知sin(- a) =則cos2(? + a)的值是()635a*b. fc.【答案】d【解析】 解: sin(: - a) = cos(; _ ? + a) = cos (j + a) = |,oz o33 cos2(? + a) = 2 cos2 + a) l = 2x|1 = 故選:d.由已知和誘導(dǎo)公式可得cos(: + a) =3從而由二倍角的余弦公式即可求值.本題主要考察了誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9. 如圖,aai,bbi均垂直于平面abc和平面 bac =匕aibki = 90°, ac
10、= ab = a】a = bgi = v2, 則多面體abc - aibici的外接球的表面積為()2 k4n6tt8tta.b.c.d.【解析】解:由題意,多面體abc-aibici為棱長為龍的 正方體,切去一個角,.多面體abc - aibici的外接球的直徑為必-v2 = v6,半 徑為位2.多面體abc - aibici的外接球的表面積為4nr2 = 4ir -(乎)2 = 6tt故選:c.由題意,多面體abc-aibici為棱長為據(jù)的正方體,切去一個角,可得多面體abc- aibici的外接球的直徑、半徑,即可求出多面體abc-aibici的外接球的表面積.本題考查多面體abc-ab
11、】ci的外接球的表面積,考查學(xué)生的計算能力,求出多面體 abc 一 aibici的外接球的半徑是關(guān)鍵.10, 一船向正北方向航行,看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直 線上,繼續(xù)航行半個小時后,看見一燈塔在船的南偏西60。方向,另一燈塔在船的 南偏西75。方向,則這只船的速度是()a. 15海里/時 b.5海里/時 c. 10海里/時d. 20海里/時【解析】解:設(shè)燈塔位置為a, b,船的初始位置為c,半【答案】c 小時后航行至d處, 由題意可矢hzacd = 90°, zbdc = 60°, zadc = 75°, ab = 10海里,. za
12、= zadb = 15°,bd = ab = 10海里,cd = bdcoszbdc = 5海里,.船的航行速度為尋=1°海里/小時.2故選:c.作出圖形,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得出結(jié)論. 本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用,屬于中檔題.11. 已知函數(shù)y = 2sinx的定義域為a,b,值域為2,1,貝ijb - a的值不可能是()a. ?b. nc. 2nd.:66【答案】c【解析】解:函數(shù)y = 2sinx在r上有一2 < y < 2函數(shù)的周期t = 2tt值域-2,1含最小值不含最大值,故定義域a,b小于一個周期b a < 2n故選:c結(jié)合三角函數(shù)r上的值
13、域-2,2,當(dāng)定義域為a,b,值域為-2,1,可知a, b小于一個 周期,從而可得.本題考查了正弦函數(shù)的圖象及利用圖象求函數(shù)的值域,解題的關(guān)鍵是熟悉三角函數(shù)y = 2sinx的值域-2,2,而在區(qū)間a,b上的值域-2,1,可得函數(shù)的定義域與周期的關(guān)系, 從而可求結(jié)果.12. 己知 0 為 zkabc 內(nèi)一點(diǎn),且有 oa + 2ob + 3oc = 0,記 abc, bco, aco 的 面積分別為s1,s2, s3,則si: s2: s3等于()a. 3: 2: 1 b. 3: 1: 2 c. 6: 1: 2 d.6: 2: 1【答案】c【解析】解:如圖所示,延長ob到點(diǎn)e,使得0e = 2
14、0b,分別以宓,施為鄰邊 作平行四邊形oafe.則 5x +20b = oa + oe = of,v oa + 2ob + 3oc = 0,a - of = 30c-又af = 20b,可得df = 2 0d.于是司=od,. saabc = 2saa0b.同理可得:sabc = 3smoc,sabc = 6sab0c.a abc, a boc, a匕=6: 1: 2.故選:c.如圖所示,延長ob到點(diǎn)e,使得oe = 20b,分別以福,龐為鄰邊作平行四邊形oafe. 則 oa + 2ob = oa + oe = of,由于 0a + 2 0b + 3 0c = 0,可得一 0f = 3 0c,
15、又屈= 2 0b,可得屏=2而于是赤=0d,得到sabc = 2saa0b.同理可得:saabc = 3saa0c abc = 6sboc即可得出本題考查了向量的平行四邊形法則、向量共線定理、三角形的面積計算公式.二、填空題(本大題共4小題,共20.0分)13. 巳知向量a=(l,m), b = (3,-2),且(a+ b) 1b,則實(shí)數(shù)m =.【答案】8【解析】解:根據(jù)題意,向量a = b = (3,-2),則甘 + b = (4, m - 2),若0 + b) 1 b,則q + b) 6 = 12 2(m 2) = 0,解可得m = 8,故答案為:8.根據(jù)題意,由向量的坐標(biāo)計算公式可得a
16、+ b的關(guān)系,又由向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān) 系可得(a + b) b = 12 - 2(m - 2) = 0,解可得m的值,即可得答案.本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計算,關(guān)鍵是掌握向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系.14. 某幾何體的三視圖如圖所示,正視圖與側(cè)視圖完全相同,則該幾何體的體積為正視圖側(cè)視圖俯視圖【解析】解:由三視圖可知:該幾何體是一個正四棱錐,挖去一個圓錐所得的組合體, 四棱錐的體積為“4x4x4 =號,圓錐的體積為:|nx22x2=|n, 故組合體的體積與竺; 故答案為:苧.由三視圖可知:該幾何體是一個四棱錐,挖去一個圓錐所得的組合體,分別計算四棱錐 和圓錐的體積,相減可得答案本題考查的知
17、識點(diǎn)是由三視圖求幾何體的體積和表面積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何 體的形狀.15. 函數(shù)f(x) = cos(o)x + (p)的部分圖象如圖所示,則【答案】2k j,2k + j, k g z【解析】解:由題意可得函數(shù)的周期為2(|-j) = 2, = 2,解得 3 = 7t,3再根據(jù)函數(shù)的圖象以及五點(diǎn)法作圖,可得; + <p = pjt io令2kn < tux + - < 2kn + tc,可解得2k < x < 2k + -,444f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為:2k 2k +1, k g z 故答案為:2k j,2k + j, k £ z.由函數(shù)的圖
18、象和五點(diǎn)法作圖可得函數(shù)的解析式,由余弦函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào) 性可得.本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題.16, 直線1:;灌疽為參數(shù)),拋物線c的方程y2 = 2乂,1與<2交于*、?2,求點(diǎn)人(0,2) 到pl,p2兩點(diǎn)的距離和是答案43 + 4v3【解析】解:令2t = t,貝ljx = t, y=2-|t,則|t|表示直線上任一點(diǎn)到(0,2)的距 離,將 x = t, y = 2:t 代入 y2 = 2x 得:(2:t)2 =vt,化簡 t2 - 4(2 + v3)t +2zz16 = 0,則點(diǎn)a(0,2)到pi,p2兩點(diǎn)的距離之和等于|t
19、i _ t2| = j4(2 +必)2 _ 64 = 4丁3 + 4歸, 故答案為:43 + 4-/3 -令2t = t,貝岐=爽1 y = 2:t,則|t|表示直線上任一點(diǎn)到(0,2)的距離,將x = t,2z2y = 2-|t代入y2 = 2x,則點(diǎn)a(0,2)到pi,p2兩點(diǎn)的距離之和等于iti -t2|,即可得出 結(jié)論.本題考查直線的參數(shù)方程,考查參數(shù)幾何意義的運(yùn)用,比較基礎(chǔ).三、解答題(本大題共6小題,共70.0分)(x-l)2 + (y-2)2 = 1,以坐標(biāo)17. 在直角坐標(biāo)系xoy中,直線ci: x = 2,圓c2: 原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求邕,c
20、2的極坐標(biāo)方程;(口)若直線c3的極坐標(biāo)方程為。=;(pr),設(shè)c2與c3的交點(diǎn)為m, n, 求c2mn的面積.【答案】解:(i )由于x = pcos0, v = psin0,ci: x = 2的極坐標(biāo)方程為pcos。= 2,故c2: (x1)2 + (y_ 2尸=1的極坐標(biāo)方 程為:x=-2(pcos0 一 l)2 + (psinq 2)2 = 1,化簡可得 p2 (2pcos0 + 4psin0) + 4 = 0.(口)把直線c3的極坐標(biāo)方程。= ;(pe r)代入圓c2: (x1)2+ (y 2)2 = 1,可得"(2pcos0 + 4psin0) + 4 = 0,求得pi
21、= 2v2, p2 = v2,.|mn| = |pi p2| =歸,由于圓c2的半徑為1,c2m1c2n, c2mn 的面積為-c2m-c2n=i-l-l=i.222【解析】(i )由條件根據(jù)x = pcos0, y = psin。求得c1,c2的極坐標(biāo)方程.(口)把直線c3的極坐標(biāo)方程代入p2_3vp + 4 = 0,求得pi和p2的值,結(jié)合圓的半徑可 得c2m 1 c2n,從而求得左c2mn的面積;c2mc2n的值.本題主要考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程,點(diǎn)的極坐標(biāo)的定義,屬于基礎(chǔ)題.18. abc的內(nèi)角 a, b, c 的對邊分別為 a, b, c,己知4accos2= a2 + c2 - b
22、2.2(1)求聽(ii)若c = 3,且ac邊的中線bm=手,求a的值.【答案】解:(i)* 4accos2 生三=a2 + c2 b2.2 4accos2 = 4ac(1 cosb) = a2 + c2 b。.可得:22b2 = a2 + c2 + 2accosb 2ac,二由余弦定理可得:b2 = a2 + c2 - 2accosb,2accosb 2ac = 2accosb, nj*得:cosb =b e (0, n),(ii) vc = 3, ac邊的中線bm=半,由中線長定理可得:32+a2 =2(?)2 + (乎)2,.整理可得:b2 = 2a2 + 5,又b = j由余弦定理可得
23、:b2 = a2 + 9-3a, 2a2 + 5 = a2 + 9 3a,整理可得:a2 + 3a 4 = 0,解得:a = 1 或一4(舍去).【解析】(i)利用降幕公式,誘導(dǎo)公式,三角形內(nèi)角和定理,余弦定理化簡己知可求 cosb = 結(jié)合范圍b 6 (0,n),可求b的值.(ii)由己知及中線長定理可得:b2 = 2a2 + 5,由余弦定理可得:b2 = a2 + 9-3a,從 而可得:a2 + 3a-4 = 0,進(jìn)而解得a的值.本題主要考查了降幕公式,誘導(dǎo)公式,三角形內(nèi)角和定理,余弦定理,中線長定理,余 弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19. 己知
24、曲線c的極坐標(biāo)方程是p = 4cos0(0 v。v;),以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正 半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.(1) 寫出曲線c的普通方程,并說明它表示什么曲線;(2) 過點(diǎn)p(-2,0)作傾斜角為a的直線1與曲線c相交于a、b兩點(diǎn),證明|pa| - |pb|為 定值,并求傾斜角a的取值范圍.【答案】解:(1) .曲線c的極坐標(biāo)方程是p = 4cos0(o v。v ;),.p2 = 4pcos0,化為x2 + y2 = 4x,即(x-2)2 +y2 = 4,由于0 v 0 v ?,.y = psin。> 0,因此曲線c表示的上半圓.(2)過點(diǎn)p(-2,0)作傾
25、斜角為a的直線1方程為:y = (x + 2)tana.當(dāng)直線1與半圓相切時,圓心c(2,0)到直線1的距離d = r,j藉螺e = 2, 化為 tan2 a =3.曲線c表示的是上半圓,因此取tana =戲,a = ?.36因此當(dāng)直線1與曲線c相交于a、b兩點(diǎn)時,a£(0,:).由割線定理可得|pa| - |pb| = |po| - (|po| + 2r) = 2 x (2 + 4) = 12.【解析】(1)由曲線c的極坐標(biāo)方程是p = 4cos9(0 v。v;),可得p2 = 4pcos0, 化為x2 +y2 = 4x,由于0v6v:,可得y = psin0 > 0,因此曲
26、線c表示的上半圓.(2)過點(diǎn)p(-2,0)作傾斜角為a的直線1方程為:y = (x + 2)tana.利用直線1與半圓相切的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式可得:圓心c(2,0)到直線1的距離d = r,空普|羿=2,化為tan2a = |由于曲線c表示的是上半圓,取tana =笠,可 vtan2a+133得a*.因此當(dāng)直線1與曲線c相交于a、b兩點(diǎn)時,可得a的取值范圍.再利用割線定理可得|pa| |pb| = |po|(|po| + 2r)即可得出.本題考查了圓的極坐標(biāo)方程及其標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的相切與相交時的位置關(guān)系及其性 質(zhì)、割線定理,屬于中檔題.20. 如圖,在三棱柱abc-aibici中,側(cè)
27、棱aai_l底面 abc, ab = ac = 2aai = 2, zbac = 120°, d, d】分 別是線段bc, bici的中點(diǎn),p是線段ad±異于端 點(diǎn)的點(diǎn).(i)在平面abc內(nèi),試作出過點(diǎn)p與平面aibc平行 的直線1,說明理由,并證明直線11平面addiai;(口)設(shè)(1 )中的直線i交ac于點(diǎn)q,求三棱錐a】- qcid的體積(錐體體積公式:v = ish,其中s為底面面積,h為高)【答案】解:(i)在平面abc內(nèi),過點(diǎn)p作直線1和bc平行,由于直線1不在平面aibc 內(nèi),而bc在平面aibc內(nèi), 故直線1與平面aibc平行.三角形abc中,.ab = a
28、c = 2aa = 2, zbac = 120°, d, d】分另u是線段bc, bq的 中點(diǎn),. ad 1 bc, /. 1 1 ad.再由aai _l底面abc,可得aai 11.而aai n ad = a,直線1 _l平面add/.(口)設(shè)(i)中的直線1交ac于點(diǎn)q,過點(diǎn)d作dei ac,.側(cè)棱aai 1底面abc,故三棱柱abc - aib】c為直三棱柱, 故 de_l平面aaicic.直角三角形acd中,v ac = 2, zcad = 6o°, .ad = accos60° = l, .de = ad sin60° =.2 sqaici =
29、 «, aici aa1 = -x2xl = l,.三棱錐 a】_ qcid 的體積 vaj_qcd = vd_qa1c1 = | saqa1c1 -de = |xlxy = y.【解析】(i)在平面abc內(nèi),過點(diǎn)p作直線1和bc平行,根據(jù)直線和平面平行的判定 定理可得直線1與平面aibc平行.等腰三角形abc中,根據(jù)等腰三角形中線的性質(zhì)可得ad 1 bc,故11 ad.再由aai _1底 面abc,可得aai 11 .再利用直線和平面垂直的判定定理可得直線1 1平面addiai()過點(diǎn)d作dei ac,證明de 1平面aak1c.直角三角形acd中,求出ad的值,可 得de的值,從
30、而求得sqaici =aiciaai的值,再根據(jù)三棱錐ai-qcid的體積 valqcid = vd_qaci = | sqaici de,運(yùn)算求得結(jié)果.本題主要考查直線和平面平行、垂直的判定定理的應(yīng)用,用等體積法求三棱錐的體積, 屬于中檔題.21, 己知橢圓c: § + g=i(a>b>0)的離心率為爭,點(diǎn)m(2,l)在橢圓c上.(1)求橢圓c的方程;(2)直線1平行于om,且與橢圓c交于a, b兩個不同的點(diǎn),若zaob為鈍角,求 直線1在y軸上的截距m的取值范圍.【答案】解:(1).橢圓c: § + § = l(a > b > 0)的離
31、心率為奪點(diǎn)m(2,l)在橢圓c上.(c v3 e = 一 = a 2a a. = 1 , 解得a = 2克,b =克,c =扁,a2 十 b2 - 1a2 = b2 + c222.橢圓c的方程為七+七=1.82(2)由直線1平行于om,得直線1的斜率k = kom=!,又1在y軸上的截距為m,.1的方程為y = |x + m.(y = -x + mv2 l ,得x2 + 2mx + 2m2 -4 = 0.- + = 182又直線1與橢圓交于a、b兩個不同點(diǎn),= (2m)2 一 4(2m2 - 4) > 0,于是一2 < m < 2. zaob為鈍角等價于oa-ob <
32、0,且m = 0,設(shè)agyd,b(x2,y2),wjoa ob = xtx2 + yiy2 = xxx2 + (|xx + m)(|x2 + m) = |xix2 + y (xt + x2) + m2 < 0,由韋達(dá)定理xi + x2 = -2m, xtx2 = 2m2 - 4,代入上式,化簡整理得m2 < 2,即vvmvv,故所求范圍是(-吃0)u(0,很).【解析】由橢圓c: § + §=i(a>b>0)的離心率為手 點(diǎn)m(2,l)在橢圓c上,列出方程組,求出a, b,由此能求出橢圓c的方程.(2)設(shè)1的方程為尸=1 -x2+ m,再與橢方程聯(lián)立,將匕aob為鈍角,轉(zhuǎn)化為ux .說v 0,且mo0,利用韋達(dá)定理,即可求出直線1在y軸上的截距m的取值范圍.本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查
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