利用矩陣理論詳細推導MIMO信道容量

1、利用矩陣理論詳細推導 MIMO信道容量摘要多輸入多輸岀(MIMO)技術被認為是現(xiàn)代通信技術中的重大突破之一，以其能極大增加系統(tǒng)容量與改善無線鏈路質(zhì)量的優(yōu)點而受到了越來越多的重視與關注。通信信道容量是信道進行無失真?zhèn)鬏斔俾实纳辖?，因此研究MIMO的信道容量具有巨大的指導意義。本文把矩陣理論知識與MIMO技術信道容量中的應用緊密結(jié)合，首先建立了MIMO信道模型，利用信息論理論和矩陣理論詳細推導出 MIMO信道容量。并得出重要結(jié)論。關鍵詞：MIMO ;信道容量；奇異值分解引言MIMO Multiple In put-Multiple Output)是指在通信鏈路的發(fā)送端與接收端均使用多個天線元的傳輸

2、 系統(tǒng)，它能夠?qū)鹘y(tǒng)通信系統(tǒng)中存在的多徑因素變成對用戶通信性能有利的因素，從而成倍地提高業(yè)務傳輸速率。矩陣理論在通信，自動控制等工程領域里應用廣泛，而通信的難點在于信道的處理，因此，矩 陣理論與無線信道的研究是一個很好的切入點。目前，MIMO技術的信道容量和空時編碼，空時復用等技術都離不開矩陣理論的應用。利用矩陣理論詳細推導 MIMO信道容量1) MIMO信道介紹MIMO是多輸入多輸出系統(tǒng)，當發(fā)送信號所占用的帶寬足夠小的時候，信道可以被認為是平坦的， 這樣，MIMO系統(tǒng)的信道用一個 樂漢山的復數(shù)矩陣H描述，H的子元素hj,i表示從第j(j=1,2，nJ根 發(fā)射天線到第i(i =1,2,.叫)根

3、接收天線之間的空間信道衰落系數(shù)。如下圖所示：hiih21hl2h22衛(wèi)甘hnR2In-r I h2nTahnRnr(2.1)每個符號周期內(nèi)，發(fā)送信號可以用一個 在第i個天線上發(fā)送的數(shù)據(jù)。同時，用一個 在第i個天線上發(fā)送的數(shù)據(jù)。對于高斯信道(2.5)丙；1的列向量乂=為x2為'冷丁表示，其中x表示 nR 1的列向量y = y, y2ynRT表示，其中y表示 ,發(fā)射信號的最佳分布也是高斯分布 。因此,x的元素是零均值獨立同分布的高斯變量。發(fā)送信號的協(xié)方差可以表示為:Rxx =EXXH(2.2)發(fā)送信號的功率可以表示為P = tr (Rxx)(2.3)接收信號和噪聲可以分別用兩個nR 1的列

4、向量y和n表示。其中信道噪聲是加性噪聲，服從循環(huán)對稱復高斯分布，并且與發(fā)射信號x不相關，假設n均值為0，功率為:一 。噪聲的協(xié)方差為：廠H2Rm - E | nnI nR(2.4)通過這樣一個線性模型，接收信號可以表示為y 二 Hx n接收信號的協(xié)方差可表示為Ryy 二 EyyH=E (Hx + n Hx + n)丨 - (2.6)=HE xxH Hh E nnH HE Ixn HhE nxH= HRxxHc2IAr因為x與噪聲n不相關，所以E xn I E | nxH = 0。2) MIMO信道容量一般公式推導下面根據(jù)信息論知識，我們對MIMO信道容量做一般性推導。在下面的推導過程中我們假設

5、信道矩陣H在接收端已經(jīng)完全已知，但是它是隨機的，因此我們可以得到瞬時信道容量為：C(H)二 max、x I x, y(2.7)其中，I x,y是在已知信道H的情況下輸入x與輸出y之間的互信息量，有：I x,y =H y -H y|x(2.8)其中，H y是y的信息熵(微分熵)，定義：H(y)-7 p(y)log2p(y)，其中p(y)是y的概 率(概率密度)。H y是y的差分嫡，H(y|x)是給定x條件下y的差分嫡，由于發(fā)送信號與噪聲之 間是獨立的，因此有 H(y|x) =H( n)1，所以上式可以重新寫為：(2.9)I x,y=H y -H n由于噪聲概率密度函數(shù)確定，所以H n為定值，當信

6、道為加性高斯信道時，信源x服從高斯分布時此時接收信號 的信息熵分別為：y也服從高斯分布，根據(jù)信息論理論，此時I(x, y)取最大，即為信道容量。此時y和n11 _H(y) = jog2'det卜e&y 'bit(2.10)(2.11)H (n) = ；log2det 兀 e2| nRbit所以我們可以得到信道瞬時交互信息I(x, y)，也即信息容量為:*1 C(H) =?log2 det 兀 e$y I/det 2InR H1 hr h h= ；log2 det I兀22入(入 +xx2) /detpg2lnR»(212)2 1一JJghetk + 呼 hit

7、2 J R -2 JJ工程中一般定義信道容量為單位時間內(nèi)的平均互信息，故定義MIMO的信道容量：21 C C H(2.13)其中T為一個符號周期，根據(jù)采樣定理，(1/T)_2B，其中B為信號帶寬，取(1/T)=2B，代入(2.13 )式，得:2HR H HC = Blog2 fdet 卩n + HRxxfb bit/s(2.14)i : R jj這即是MIMO的信道容量一般公式。3) 奇異值分解計算 MIMO信道容量對于MIMO 無線信道，信道是極其復雜的。因此原始的信道矩陣也就顯得復雜，不便于分析，而 且一般矩陣不經(jīng)過處理計算行列式很困難。這就自然想到在信源端對發(fā)射信號做某種預處理，使得經(jīng)過

8、 預處理的信號經(jīng)過的信道變得簡單易分析，而且具體實現(xiàn)也變得簡單。對于信道矩陣來說，對角矩陣是 最簡單的，所以自然就想到把信道矩陣分解，利用矩陣理論中的奇異值分解可以達到這種目的。下面就 矩陣的奇異值分解來計算MIMO的信道容量。由奇異值分解理論,任何一個nR nT的矩陣H可以寫成：3H=UDVH(2.15)式中，D是nR nT的對角陣，其對角非零元素模值為H的正奇異值，U和V分別為nR nR和°T XAt的酉矩陣。把公式(2.15)代入公式(2.5)，得：y 二 UDVHX n(2.16)公式(2.16)兩邊同時左乘酉矩陣 UH，利用UHU=lnR，同時令y=UHy，x二VHx即對信

9、源 信號x進行預編碼，n =U H n，得：y = Dx n(2.17)H根據(jù)矩陣理論，矩陣 HH的特征值為非負數(shù)，非零特征值的個數(shù)等于矩陣H的秩，用r表示，對于nR rT的矩陣H，秩的最大值 m二min(nr, rT)，用i表示矩陣H的奇異值，將.,代入公式(2.17)得：yi=x/rxi+n (i=1,2,.r)(2.18)y (i =r +1,.nR)(2.19)式(2.19)顯示，接收元素 y(i =r +1,.命)并不依賴于發(fā)射信號，即信道增益為零。另一方面，接收元素y(1,2.,r)僅僅取決于發(fā)射元素 x，因此，可以認為，通過式(2.18)和(2.19)得到的等效MIMO r/1O

10、SO信道是由個去耦平行子信道組成的。其信道增益為矩陣 H的奇異值?？梢赃M一步推導出yi，x ,和ni的協(xié)方差和跡：Ryy -UH RyyU ,Rxx = VH RxV, Rnn = U HRnU(2.20)tr(Ryy)二tr(Ryy),tr(RJ 二tr(Rxx),tr(RJ 二tr(RJ(2.21)對于接收端已知信道參數(shù)，發(fā)射端未知，發(fā)射端平均分配功率的MIMO系統(tǒng)。設發(fā)射端發(fā)射總功率為FT，則每個天線發(fā)射功率為FT / nT，此時Rx = E xxH H PT I nT(2.22)E T根據(jù)式(2.20)得:HPRxx，V RxV 二丄 |斤nT(2.23)然后把根據(jù)（2.15）算出HH

11、 H后和（2.23）代入MIMO信道一般公式（2.14）得:C 二 B' log2(1 羋i4匚叫)bit/s(2.24)式（2.24）可以看出,MIMO鏈路的信道容量很大程度上取決于H的秩r。矩陣的秩越大，容量也越大。所以，MIMO正是利用無線信道的多徑效應使相距超過半個波長的天線盡量不相關，從而使信道矩 陣秩越大，進而在不增加帶寬和發(fā)射功率的情況下增加系統(tǒng)容量。下面我們說明信道容量是如何與信道矩陣HQ = HH設-（i -1,2,.m）是Q的特征值，則：H相關的。令 m = min(nR,nT)為矩陣H的秩，定義:H ,H , nR nTH,nR ： nT(2.25)det( m -Q)二('；)i ：4(2.26)用一世 代替（2.26）中的得:PTmQ) -Jiii £(2.27)把式（2.27）代入式（2.24）得平均功率分配的MIMO信道容量:C = Blog2【det(lm-Pl7Q) bit/snT 二(2.28)A當nT逐漸增大，使得 Q > Im，此時，可以得到信道容量的近似表達式：PTC = Bmlog2（1 三）bit /s（2.29）cr由此可以看出當發(fā)射天線數(shù)目很多時，信道容量隨m的增大而線性增大，也就是說可以在不增加帶寬和發(fā)射功率的情況下成倍的提高信道容量。參考文獻：1梁毓鋒.