觀察實驗歸納類比猜想證明學(xué)案

1、七年級數(shù)學(xué)觀察、猜想與證明一、【觀察與實驗】認(rèn)識來源于實踐， 是我們認(rèn)識事物的重要方法，通過觀察和實驗，可以發(fā)現(xiàn)許多規(guī)律。 是獲得感性認(rèn)識的重要途徑， 但觀察得到的結(jié)果是否正確， 還需要經(jīng)過驗證； 是人們認(rèn)識事物 的一種有目的的探索過程，一般是為了檢驗?zāi)撤N猜想或理論而進(jìn)行的操作或活動。 實驗的關(guān)鍵是要具有可重復(fù)操作性。例題： 1. 下面給出了兩個圖形，你能分別用一筆畫出來嗎？（每部分既不能重復(fù)，也不能遺漏）？2. 【錯覺】 上圖（ 3）中的兩條紫色的線條是平行的嗎？圖你的觀察？ 下面左邊兩幅圖形中，哪個圖形的豎線更長？4）中線段AB與線段 CD哪個比較長？用什么辦法驗證右圖中有曲線嗎？【結(jié)論】

2、： 觀察可能產(chǎn)生錯覺；所以觀察的結(jié)果需要驗證。3. 一個正方體有六個面，分別標(biāo)上文字“觀，察，猜，想，證，明”是從三個不同方向看到的幾個漢 字 . 觀察圖形中的漢字特點， 那么， “觀”相對面上的漢字是 ；“察”相對面上的漢字是猜”相對面上的漢字是4. 用鋸鋸木，鋸會發(fā)熱；用銼銼物，銼會發(fā)熱；在石頭上磨刀，刀會發(fā)熱，所以物體摩擦?xí)l(fā)熱此 結(jié)論的得出運(yùn)用的方法是（ ）A 觀察 B 實驗 C 歸納 D 類比5. 【實驗是人們認(rèn)識事物的一種有目的的探索過程】 三條線段能組成一個三角形嗎？ 用兩塊形狀、大小相同的三角尺，你能拼出多少個形狀不同的三角形？能拼出多少個形狀不同的四邊 形？ （擺一擺，試一試

3、） 如圖， OM 為AOB 的平分線，點 P是射線 OM 上的一點， PA OA 于點 A，PB OB 于點 B，分 別度量 PA，PB 的長度，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系；如果在射線OM 上再取幾個不同位置的點 P，然后向角的兩邊作垂線段，剛才的數(shù)量關(guān)系還存在嗎？ 用剪刀把一張長方形的紙剪了一次， 剩余的一部分紙是什么圖形？ 把長方形紙片剪成兩部分， 用剪得 的兩部分可以拼成哪些形狀不同的圖形？你能拼接成一個三角形嗎？并畫出拼接后的示意圖?！練w納與類比】歸納與類比是得出猜想的兩個重要的方法 .【歸納】歸納的方法也是人們認(rèn)識事物的重要方法，歸納法有 歸納法和 歸納法兩類，初中 階段只要了解歸納的一些

4、補(bǔ)步知識， 在高中階段將會進(jìn)一步進(jìn)行研究。 運(yùn)用不完全歸納法可以由一些特 殊性的前提，得出一般性的結(jié)論，幫助我們認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律， 在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中起著重要的作 用 . 同時也要注意它的局限性，借助不完全歸納法得到的結(jié)論有時可能是不正確的。例題： 1. 當(dāng) a為正整數(shù)時，比較 a、a 的倒數(shù)與 a的平方的大小；2. 三個蘋果放入甲、乙兩個抽屜中，有多少種不同的放法。3. 魯班根據(jù)絲茅草有鋒利的小細(xì)齒可以劃破手指， 類比推理如果把鐵片做成帶細(xì)齒的形狀， 就可以鋸樹， 這樣便發(fā)明了鋸子魯班發(fā)明鋸子的過程，就是運(yùn)用了 .4. 一條直線上有 3個點，觀察它共有幾條線段？一條直線上有4 個點呢？一

5、條直線上有 5個點呢？一條直線上有 2016 個點呢？一條直線上有 n 個點呢？5. 從 2 開始，連續(xù)的偶數(shù)相加，和的情況如下：2+2=2 ×22+4=6=2 ×32+4+6=12=3 ×42+4+6+8=20=4 ×51）請推測從 2 開始， n 個連續(xù)偶數(shù)相加，和是多少？2）取 n=6，驗證（ 1）的結(jié)論是否正確？【類比】通過對兩個或兩類研究對象進(jìn)行比較，找出它們之間某些屬性的相同點或相似點，以此為依 據(jù)，推測它們的其他屬性也可能有相同或相似的結(jié)論。1. 如圖，在一個三角形的一條邊上取四個點，把這些點與這條邊所對的頂點聯(lián)結(jié)起來 . 問圖中共有多 少

6、個三角形 . 請你通過與數(shù)線段或數(shù)角的問題進(jìn)行類比來思考。2. 紫薇同學(xué)通過學(xué)習(xí)已經(jīng)知道：在如圖所示的正方形ABCD 中，若各邊都被三等分，那么圖中正方形的總數(shù)為 3 × 3 + 2 × 2 + 1× 1 = 14 ；在長方形EFGH 中，已知該長方形各邊上最短的線段分別相等。請你用類比的方法，計算圖中正方形的總數(shù)。3. 從下面的關(guān)系中歸納出規(guī)律，然后進(jìn)行計算。2 2 2 21 ×3=3，而 3=2 1； 3 ×5=15，而 15=4 1；5×7=35，而 35=6 1；7×9= ，而 =1；將你歸納出的規(guī)律用只含一個字母的

7、式子表示出來： ；并按此規(guī)律計算 19×21=；2015×2017+1=；4. 用黑白兩種顏色正方形的紙片按黑色紙片數(shù)逐漸加l 的規(guī)律拼成一列圖案：5. 若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，并且的值為 ；1!=1 ，2!=2 ×1=2，3!=3 ×2×1=6，4! =4×3×2× 1，則 100!98!6. 如圖，是小明用火柴搭的1條，2條，3條“金魚”，按此規(guī)律搭 100 條金魚需要火柴數(shù)為根，從簡單的情按此規(guī)律搭 n 條金魚需要火柴數(shù) S=根7. 你能化 簡（x 1）（ x99 x98 形入手分別計算下列各式的值： （

8、x1）（x1） x2 1；（x1）（x2x1）x31； （x1）（x3x21） x4 1； 由此我們可以得到： （x1） （x99x98x97x1）請你利用上面的結(jié)論，完成下面兩題的計算：（1）2 99 298 297 21；（2）（2）50（2）49（2）48（ 2） 18. 除去零以外的自然數(shù)按以下規(guī)律排列，根據(jù)第一列的奇數(shù)行的數(shù)的規(guī)律，寫出第一列第 10 行的數(shù)為，再結(jié)合第一行的偶數(shù)列的數(shù)的規(guī)律，判斷2016 所在的位置是第 行第列。三、【猜想與證明】我們借助于以往的經(jīng)驗或直覺思維，對某一命題作出猜測，這便是猜想 。其中最有代表性的猜想 便是哥德巴赫猜想；通過觀察、實驗、歸納、類比可以得

9、出猜想，這是認(rèn)識事物的有效途徑之一 。 例題：1.1840年，英國的亞當(dāng)斯和法國的勒維烈同時用數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)了海王星，亞當(dāng)斯等天文學(xué)家觀察到天王星的運(yùn) 行有“失?！爆F(xiàn)象于是猜想天王星之外有一顆行星 x他先假設(shè) x的運(yùn)行軌道為圓，結(jié)果與觀測結(jié)果出入很大 于 是，他又設(shè)想 x 的軌道為橢圓，再進(jìn)行計算、誤差縮小，再作一次次的假想實驗，反復(fù)修正，逐步逼近觀測結(jié)果勒 維烈也做了同樣的工作，他把結(jié)果寄給柏林天文臺，信中寫道：“請把望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)黃道上經(jīng)度為326度的地方，你會看到 一顆九等小星，最后的實踐檢驗完全證實了這一點他們所使用的數(shù)學(xué)方法，就是 方法 【通過觀察、實驗、歸納、類比、猜想得出的結(jié)論還需要通

10、過證明來確認(rèn)它的正確性】2. 某地發(fā)生了一起盜竊案，警察局拘留了甲、乙、丙、丁 4 個嫌疑犯審訊時，甲說： “這事不是我干 的”乙說：“這事我沒干” 丙說：“這事是甲干的” 丁說：“這事是丙干的” 偵破的結(jié)果， 4人中 只有一人說了假話，那么，盜竊犯是（ ）A 甲 B 乙 C 丙 D 丁3. 從前有一個國王，他企圖謀殺一個大臣 . 國王對這個大臣說：“我已經(jīng)寫好了兩個鬮，一個寫有 殺'字，另一個寫有赦'字，你從里面抓一個，抓到哪一個，我就按上面的方法處置你 . ”這位 聰明的大臣已事先得知兩個鬮上寫的都是“殺”字， 無論他抓到哪一個， 都逃脫不了死亡的命運(yùn)， 但這 位大臣動用邏

11、輯的方法想出了一個好主意，從而免去了殺身之禍 . 你知道這位大臣想出的是什么主意 嗎？他這樣做的依據(jù)是什么？ 【定義、命題、公理、定理】（ 1 ） 定義：對一個名詞或術(shù)語的意義的說明叫做定義 .（ 2 ） 命題：判斷某一件事情的語句叫做命題 . 命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成 . 題設(shè)是已知事項，結(jié) 論是由已知事項推出的事項 . 命題?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?，“如果”后面接的部 分是題設(shè)，“那么”后面接的部分是結(jié)論 。命題又分真命題和假命題。（ 3 ） 公理：被人們長期的實踐所證實，并作為推理依據(jù)的事實叫做公理 .（ 4 ） 定理：用邏輯的方法判斷為正確，并作為推理依據(jù)的真命題叫做定理 .

12、例題：填空：（1）判斷一件事情的句子叫 ；（2）數(shù)學(xué)中每個命題都由 和 兩部分組成 正確的命題叫 ，不正確的稱為 （3）被人們長期的實踐所證實，并作為推理依據(jù)的事實叫做 ；（4）用邏輯的方法判斷為正確，并作為推理依據(jù)的真命題叫做 ；（5）下列命題：所有的直角都相等 所有的等邊三角形的形狀都一樣所有的直角三角形的形狀都一樣 a2> 0，則 a> 0，其中真命題有 （填序）2. 下列語句中是命題的是（A 畫一個三角形你討厭數(shù)學(xué)嗎？C 銳角總大于鈍角等式兩邊都加上 53下列命題中假命題有（兩個銳角的和等于直角一個銳角與一個鈍角的和等于平角如果三個角的和等于180°，那么這三個角

13、中，至少有兩個為銳角A 0 個 B 1 個C 2 個 D 3個4. 將“垂直于同一條直線的兩條直線平行”改寫成“如果那么”的形式練習(xí)與檢測】1平面有 4 個點，過任意兩點作直線，一共可作多少條直線？ 2找規(guī)律填數(shù)字：（1）-1 ，2，-3，5，-8，13，-21，34，（ ），（ ）（2）3.下列四個句子是命題的是（）A 相等的角是對頂角B 對頂角相等嗎C 利用三角形畫 60 °的角D 直線、射線、線段4. 等量公理：等量加等量， 相等，即如果 a=b，那么 a+ c b+c； 等量減等量，差 ，即如果 a=b，那么 a cb c； 等量的同位量相等，即如果 a=b，那么 acac； 等量的同分量 ，即ab如果 a=b， c0，那么 cc 等量代換，即如果 a=b ，b=c ，那么 a c5平面內(nèi)有三條直線，它們能把平面分成幾個部分。6掛歷上用一矩形任意框出4 個數(shù)，如果它們的數(shù)字之和是 100，求這四天的日期