正弦定理教學(xué)案例

1、 教 學(xué) 案 例（一）一節(jié)未按教學(xué)設(shè)計(jì)完成的課（正弦定理）汾西一中劉惠文1 / 14正弦定理教學(xué)案例汾西一中 劉惠文一、背景介紹結(jié)合新課標(biāo)課改的精神和我?！耙匀藶楸尽钡慕逃砟畹闹笇?dǎo)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅局限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，更應(yīng)該倡導(dǎo)自主探究、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”的過程。 2013年4月29日上午第一節(jié)在高二227班（重點(diǎn)班）講的示范課，正弦定理第一課時。本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一課時，是在高一學(xué)生了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應(yīng)用；同時，作為三角

2、形中的一個定理，也是對初中直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。本課“正弦定理”，作為單元的起始課，為后續(xù)內(nèi)容作知識與方法的準(zhǔn)備，是在學(xué)生已有的三角函數(shù)及向量知識的基礎(chǔ)上，通過對三角形邊角關(guān)系作量化探究，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解決簡單的三角形度量問題。本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應(yīng)用。1、設(shè)計(jì)思想根據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，輔以討論法以及多媒體演示法。即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容。分為三個階段：第一階段教師通過

3、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生對實(shí)際問題的探索，并大膽提出猜想；第二階段由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中；邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”、 “向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性；第三階段利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡單的應(yīng)用。學(xué)生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察實(shí)驗(yàn)猜想證明應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。2、學(xué)情分析對普通高一的學(xué)生來說，在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的邊和角的基本關(guān)系、全等三角形等與三角形有關(guān)的基礎(chǔ)知識；同時在必修4 ，學(xué)生也學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量三角

4、恒等變換以及平面向量等內(nèi)容。這些為學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形邊、角之間數(shù)量關(guān)系的重要公式，在物理學(xué)等其它學(xué)科、工業(yè)生產(chǎn)以及日常生活等常常涉及解三角形的問題。 但學(xué)生對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度。而且學(xué)生基礎(chǔ)差、底子薄，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，分析問題、解決問題的能力，邏輯推理能力，思維能力都比較弱，所以在設(shè)計(jì)課的時候往往要多作鋪墊，教學(xué)中以討論法（師生對話、生生討論）為主，以發(fā)現(xiàn)法、類比法、接受法、練習(xí)法為輔。3、出現(xiàn)狀況講課中，第一階段的引導(dǎo)、猜想順利完成，第二階段由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中；邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”

5、、 “向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，也完成了 。本來一句“大家還有其他的證明方法嗎？”再來一句“還有很多，有興趣的同學(xué)下去試一試。”就往下講第三階段了，但是二、教學(xué)片段上面我們結(jié)合實(shí)例，引出正弦定理的構(gòu)造=，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？1、探索發(fā)現(xiàn)猜想老師：我們先通過特殊例子檢驗(yàn)=是否成立，舉出特例，給學(xué)生指明一個方向。如圖一的第一個圖中，在ABC中，A=B=C=60o，對應(yīng)的邊長a：b：c=1，對應(yīng)角的正弦值分別為，；引導(dǎo)學(xué)生考察，的關(guān)系學(xué)生1：:它們相等，都是 如圖一的第二個圖中，在ABC中，A=B=45o，C=90o，對應(yīng)的邊長a=b=1，c=，對應(yīng)角的正弦值分

6、別為，1；學(xué)生2：:它們相等，都是 如圖一的第三個圖中，在 ABC中，A，B，C分別為30o，60o，90o，對應(yīng)的邊長a=1，b=，c=2，對應(yīng)角的正弦值分別為，1； 學(xué)生3：:它們相等，都是2老師：下面我們考慮任意的RtABC，結(jié)論如何？學(xué)生4：思考交流得出，如圖2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則有sinA=, sinB=,又sinC=1=,則=c從而在直角三角形ABC中，=老師：更進(jìn)一步，對于任意三角形是否有=呢？學(xué)生按事先安排分組，讓學(xué)生閱讀，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學(xué)生沒有問題，教師讓學(xué)生動手計(jì)算。）學(xué)生：分組互動，每組畫一個三角形，席

7、量出三邊和三個角度數(shù)值，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較、的近似值。老師：放映利用幾何畫板制作的多媒體動畫，畫面將顯示：不管三角形的邊、角如何變化， 比值：，的值都會相等。我們猜想：=設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。2、探索證明定理老師：我們通過驗(yàn)證知道結(jié)論成立，那么對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明=呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個代表總結(jié)。學(xué)生5：在三角形中，如圖3設(shè)BC=a，CA=b,AB=c作：ADBC，垂足為D在RtABD中，sinB=AD=AB·sinB=c

8、3;sinB 在RtADC中，sinC=AD=AC·sinC=b·sinCc·sinB=b·sinC=同理，在ABC中，=學(xué)生6：不對，如果是鈍角三角形，就不對，如圖4老師：( _ )不錯嘛，由于鈍角三角形與銳角三角形的高位置不同，得重新考慮，那么同學(xué)6說一說你的證明方法。學(xué)生6： 在鈍角三角形中，如圖4設(shè)C為鈍角，BC=a,CA=b,AB=c作ADBC交BC的延長線于D，在RtADB中，sinB=AD=AB·sinB=c·sinB,在RtADC中，sinACD=AD=AC·sinACD=b·sinACBc

9、3;sinB=b·sinACB=同銳角三角形證明可知=3、深入探討研究老師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理。在向量中，我也學(xué)過·=··cos,這與邊的長度和三角函數(shù)值有較這密切的聯(lián)系，是否能夠利用向量來證明正弦定理？師生共同復(fù)習(xí)利用向量數(shù)量積解決數(shù)學(xué)問題的方法：先找向量等式，再同乘某一向量來處理。學(xué)生7：思考（聯(lián)系作高的思想）得出：在銳角三角形ABC中，=，作單位向量垂直于AC，·=··即0=c·cos(90o-A)a·cos(90o-C)c·sinA-a·sinC=0=（圖5）對于鈍角三

10、角形，直角三角形的情況作簡單交代。老師：大家還有其他的證明方法嗎？（本來這節(jié)課準(zhǔn)備到此為止，講例題，可有學(xué)生亟不可待的站起來。）學(xué)生8：可借助初中所學(xué)過的面積公式和三角函數(shù)知識思考得出。老師：很好，你上來給咱們證明一下。學(xué)生8講解：如圖6，對于任意ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：SABC=AC·BD=CB·AE=BA·CF，而由圖中可以看出：sinBAC=,sinACB=,sinABC=,BD=AB·sinBAC,AE=AC·sinACB,CF=BC·sinABCSABC=AC·BD=CB·AE=BA

11、83;CF=AC·AB·sinBAC=CB·CA·sinACB=BA·BC·sinABC=b·c· sinBAC=a·b· sinACB=c·a· sinABC等式b·c· sinBAC=a·b· sinACB=c·a· sinABC中均除以abc后可得=即=。（講到此，我突然發(fā)現(xiàn)可講在高中最常見的三角形面積公式：SABC =absinC）老師：在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高AE=c· sinABC

12、=a· sinABC,三角形的面積：SABC=a·AE，能否得到新面積公式。學(xué)生9：我見過，SABC=a·AE c·a·sinABC得到三角形面積公式SABC =absinC=casinB=bcsinA（既然課上的這兒，那就不如往下講正弦定理的完整公式=2R）老師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、都等于同一個比值k，那么它們也相等，這個k到底有沒有什么特殊幾何意義呢？學(xué)生討論，不知道該如何處理。老師提示先考慮RtABC中學(xué)生10：在前面的檢驗(yàn)中，RtABC中，（圖7）=c,c是斜邊。（此時及時提醒：斜邊c在直角三角形中恰可做為三角形外接圓的直

13、徑。）老師：那么對于一般三角形呢？這個k到底有沒有什么特殊幾何意義呢？學(xué)生討論了半天，學(xué)生11：好像應(yīng)該是：k=c=2R，即正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑2R老師：如何證明呢？學(xué)生討論激烈，老師參與并提示、引導(dǎo)先畫三角形的外接圓，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來處理。終于有學(xué)生做出來了?？纱藭r下課鈴響了。（如學(xué)生12已作出結(jié)論：k=c=2R作ABC的外接圓O，O為圓心，連接BO并延長交圓O于B/，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。證明：連接BO并延長交圓于B/（圖8）B/AB=90O，B/=C在RtB/AB中，=B/B=B/B=2R即=2R，同理可證：=2R，=2R=2R）老師：同學(xué)們，部分同

14、學(xué)已證明，比如同學(xué)12，下去以后再研究，完善一下步驟。我們本節(jié)課通過“作高法”、“向量法”、“等積法”、“外接圓法”等方法證明正弦定理，由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探索。臨時設(shè)計(jì)意圖:經(jīng)歷證明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。三、教學(xué)反思本節(jié)課中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)，為今后的“定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒。 本節(jié)課是正弦

15、定理教學(xué)的第一節(jié)課，課堂思維容量大，教學(xué)進(jìn)度受學(xué)生的思維水平的影響；教學(xué)中容易出現(xiàn)突發(fā)事件影響教學(xué)進(jìn)度；象本節(jié)課，面積公式證明法，以及完整正弦定理在備課時就沒想到要講，學(xué)生提供出新的證法，教師在此適時拓展，講到了三角形的新面積公式，接著提出完整正弦定理。課講到此，正好是一節(jié)完整地定理證明課，有證明，有拓展。而高227班是個重點(diǎn)班，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣濃，主動性強(qiáng)，本節(jié)課才講下來。因此在教學(xué)中，教師要靈活處理隨機(jī)事件的能力高，在組織教學(xué)中，采取“讓學(xué)生走上講臺”、 “師生、生生討論”等模式，形成學(xué)生主動觀察、分析、歸納、探究、猜想、證明為主線的，教師的主導(dǎo)作用，真正體現(xiàn)了新課改的理念。這節(jié)課雖然沒有完成最開始的設(shè)想，但我感覺本節(jié)課卻達(dá)到了意想不到的效果，并得到三角形面積公式。