2016南通一模數(shù)學(xué)含答案

1、 推薦精選 密封線 _ 號學(xué) _ 名姓 _ 級班 _ 校學(xué) ( (這是邊文，請據(jù)需要手工刪加這是邊文，請據(jù)需要手工刪加) ) 2016 屆高三年級第一次模擬考試(九)數(shù)學(xué) 第頁(共 6 頁) ( (這是邊文，請據(jù)需要手工刪加這是邊文，請據(jù)需要手工刪加) ) 20162016 屆高三年級第一次模擬考試(九) 數(shù)學(xué) 本試卷包含填空題(共 14 題)、解答題(共 6 題)，滿分為 160 分，考試時間為120 分鐘 參考公式：錐體的體積V13Sh，其中S為錐體的底面積，h為高 一、 填空題：本大題共 1414 小題，每小題 5 5 分，共計 7070 分 1. 已知集合 Ax|1x0a0，b0b0)

2、過點 P P(1 1，1 1)，其一條漸近線方程為 y y 2 2x x，則該雙曲線的方程為_ 8. 8. 已知正方體 ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為 1 1，點 E E 是棱 B B1 1B B 的中點，則三棱錐 B B1 1ADEADE 的體積為_ 9. 9. 若函數(shù) f f(x x)x x（x xb b）， x0 x0，axax（x x2 2）， x0 x0)和yx3(x0)均相切，切點分別為A(x1，y1)和B(x2，y2)，則x1x2的值為_ 14. 已知函數(shù)f(x)2ax23b(a，bR R)若對于任意x1，1，都有|f(x)|1 成立，則a

3、b的最大值是_ 二、 解答題：本大題共 6 6 小題，共計 9090 分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 15. (本小題滿分 14 分) 在ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，(abc)(abc)ab. (1) 求角 C 的大小； (2) 若 c2acosB，b2，求ABC 的面積 16. (本小題滿分 14 分) 如圖，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是菱形，點 E 是 A1C1的中點 求證：(1) BEAC； (2) BE平面 ACD1. 推薦精選 (第 1616 題) 推薦精選 17. 17. (本小題滿分 1414 分) 如圖， 在

4、平面直角坐標系 xOyxOy 中， 已知橢圓x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1(ab0ab0)過點 A A(2 2， 1 1)， 離心率為3 32 2. . (1 1) 求橢圓的方程； (2 2) 若直線 l l：y ykxkxm m(k0k0)與橢圓相交于 B B，C C 兩點(異于點 A A)，線段 BCBC 被 y y 軸平分，且 ABACABAC，求直線 l l 的方程 (第 1717 題) 推薦精選 18. 18. (本小題滿分 1616 分) 如圖，陰影部分為古建筑物保護群所在地，其形狀是以 O O1 1為圓心，半徑為 1 1 kmkm 的半圓面公路 l l 經(jīng)

5、過點 O O，且與直徑 OAOA 垂直現(xiàn)計劃修建一條與半圓相切的公路 PQPQ(點 P P 在直徑OAOA 的延長線上，點 Q Q 在公路 l l 上)，T T 為切點 (1 1) 按下列要求建立函數(shù)關(guān)系： 設(shè)OPQOPQ(radrad)，將OPQOPQ 的面積 S S 表示為 的函數(shù)； 設(shè) OQOQt t(kmkm)，將OPQOPQ 的面積 S S 表示為 t t 的函數(shù) (2 2) 請你選用(1 1)中的一個函數(shù)關(guān)系，求OPQOPQ 的面積 S S 的最小值 (第 1818 題) 推薦精選 19. 19. (本小題滿分 1616 分) 已知函數(shù) f f(x x)a a x xlnxlnx(

6、aRaR) (1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2) 試求f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論 推薦精選 20. (本小題滿分 16 分) 若數(shù)列an中存在三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱an為“等比源數(shù)列” (1) 已知數(shù)列an中，a12，an12an1. 求an的通項公式； 試判斷an是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論 (2) 已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a10，anZ Z(nN N*) 求證：an為“等比源數(shù)列” 密封線 ( (這是邊文，請據(jù)需要這是邊文，請據(jù)需要手工刪加手工刪加) ) 推薦精選 密封線 _ 號學(xué) _ 名姓 _ 級班 _ 校學(xué) ( (這是邊文，請據(jù)需要手工刪加這是邊文，

7、請據(jù)需要手工刪加) ) 2016 屆高三年級第一次模擬考試(九)數(shù)學(xué)附加題 第頁(共 2 頁) ( (這是邊文，請據(jù)需要手工刪加這是邊文，請據(jù)需要手工刪加) ) 20162016 屆高三年級第一次模擬考試(九) 數(shù)學(xué)附加題 本試卷為非選擇題(第 2123 題)本卷滿分為 40 分，考試時間為 30分鐘 21. 【選做題】本題包括 A A、B B、C C、D D 四小題，請選定其中兩題，并作答若多做，則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 A. A. 選修 4141：幾何證明選講(本小題滿分 10 分) 如圖，圓 O 的直徑 AB10，C 為圓上一點，BC6，過 C 作圓

8、O 的切線 l，ADl 于點 D，且交圓 O 于點 E，求 DE 的長 (第 21A21A 題) B. B. 選修 4 42 2：矩陣與變換(本小題滿分 10 分) 已知矩陣M M1022，求逆矩陣M M1的特征值 C. C. 選修 4444：坐標系與參數(shù)方程(本小題滿分 10 分) 在極坐標系中，已知點 A2，4，圓 C 的方程為 42sin(圓心為點 C)，求直線AC 的極坐標方程 D. D. 選修 4545：不等式選講(本小題滿分 10 分) 已知 a0，b0，求證：a6b6ab(a4b4) 推薦精選 【必做題】第 2222、2323 題，每小題 1010 分，共計 2020 分解答時應(yīng)

9、寫出文字說明、證明過程或演算步驟 22. (本小題滿分 10 分) 如圖，在四棱錐 SABCD 中，底面 ABCD 為矩形，SA平面 ABCD，AB1，ADAS2，P是棱 SD 上一點，且 SP12PD. (1) 求直線 AB 與 CP 所成角的余弦值； (2) 求二面角 APCD 的余弦值 (第 2222 題) 23. 23. (本小題滿分 1010 分) 已知函數(shù) f f0 0(x x)x x(sinxsinxc cosxosx)，設(shè) f fn n(x x)為 f fn n1 1(x x)的導(dǎo)數(shù)，n nN N*. (1) 求f1(x)，f2(x)的表達式； (2) 寫出fn(x)的表達式，

10、并用數(shù)學(xué)歸納法證明 推薦精選 20162016 屆高三年級第一次模擬考試(九)(南通市) 數(shù)學(xué)參考答案 1. 1. 0，1 2. 2. 5 3. 3. 56 4. 4. 14 5. 5. 750 6. 6. 63 7. 7. 2x2y21 8. 8. 112 9. 9. 1 10. 10. 59 11. 11. 2 2，22 12. 12. 274 13. 13. 43 14. 14. 124 15. 15. 解：(1) 在ABC 中，由(abc)(abc)ab，得a2b2c22ab12，即cos C12.(3 分) 因為 0C，所以 C23.(6 分) (2) (法一)因為 c2acos B

11、，由正弦定理，得 sin C2sin Acos B，(8 分) 因為 ABC，所以sin Csin(AB)， 所以sin(AB)2sin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，(10分) 又3ABb0)離心率為 eca32， 所以 b2a2c214a2. 又點 A(2，1)在橢圓x2a2y2b21(ab0)上， 所以4a21b21，(2 分) 解得a28，b22. 所以，所求橢圓的方程為x28y221.(4 分) (2) 將 ykxm(k0)代入橢圓方程，得 x24(kxm)280， 整理，得(14k2)x28mkx4m280. 由線段 BC 被 y

12、軸平分，得 xBxC8mk14k20， 因為 k0，所以 m0.(8 分) 因為當 m0 時，B，C 關(guān)于原點對稱，設(shè) B(x，kx)，C(x，kx)， 由方程，得 x2814k2， 又因為 ABAC，A(2，1)， 所以ABAC(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x258（1k2）14k20， 所以 k12.(12 分) 由于 k12時，直線 y12x 過點 A(2，1)，故 k12不符合題設(shè) 所以，此時直線 l 的方程為 y12x.(14 分) 18. 18. 解：(1) 由題設(shè)知，在RtO1PT 中， OPT，O1T1， 所以 O1P1sin . 又 OO11，所以 OP1s

13、in 1. 在RtOPQ 中， 推薦精選 OQOPtan 11sin tan 1sin cos .(3 分) 所以，RtOPQ 的面積為 S12OPOQ1211sin 1sin cos （1sin ）22sin cos （1sin ）2sin 201)(8 分) 所以，RtOPQ 的面積為 S12OQOP12t2t2t21t3t21(t1)(10 分) (取值范圍不寫或不正確扣 1 分) (2) 選用(1)中的函數(shù)關(guān)系 S（1sin ）2sin 202. S2（1sin ）cos sin 2（1sin ）22cos 2（sin 2）2 2（1sin ）cos sin 2（1sin ）cos 2

14、（sin 2）2 2（1sin ）sin（2）（12sin2）（sin 2）2 2（1sin ）2（2sin 1）（sin 2）202.(13 分) 由 S2（1sin ）2（2sin 1）（sin 2）2001) S3t2（t21）t32t（t21）2 t2（t 3）（t3）（t21）2(t1)(13 分) 推薦精選 由 St2（t 3）（t3）（t21）20(t1)，得 t3. 列表 t (1，3) 3 (3，) S 0 S 極小值 所以，當 t3時，OPQ 的面積 S 的最小值為（3）2（3）21332(km2)(16 分) 19. 19. 解：(1) 由函數(shù) f(x)a xlnx(aR

15、 R)，得f(x)12x(lnx2)(2 分) 令f(x)0，得xe2，列表如下： x (0，e2) e2 (e2，) f(x) 0 f(x) 極小值 因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(e2，)，單調(diào)減區(qū)間為(0，e2)(5 分) (2) 由(1)可知，fmin(x)f(e2)a2e1.(6 分) (i) 當a2e1時，由f(x)f(e2)a2e10，得函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為 0.(8 分) (ii) 當a2e1時，因f(x)在(e2，)上是單調(diào)增，在(0，e2)上單調(diào)減， 故x(0，e2)(e2，)時，f(x)f(e2)0. 此時，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為 1.(10 分) (iii) 當

16、a2e1時，fmin(x)f(e2)a2e10. a0 時， 因為當x(0，e2時，f(x)axlnxa0， 所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e2上無零點； 另一方面，因為f(x)在e2，)單調(diào)遞增，且f(e2)a2e10， 此時，函數(shù)f(x)在(e2，)上有且只有一個零點 所以，當a0 時，函數(shù)f(x)零點個數(shù)為 1.(13 分) 0a0，f(e2)a2e10， 所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(e2，)有且只有 1 個零點； 另一方面，因為f(x)在(0，e2上是單調(diào)遞減，且f(e2)a2e1a4a2a20，(當x0 時，exx2成立) 此時，函數(shù)f(x)在(0，e2)上有且只有 1 個零點 所以，

17、當 0a2e1時，f(x)的零點個數(shù)為 0；當a2e1，或a0 時，f(x)的零點個數(shù)為 1；當 0a2e1時，f(x)的零點個數(shù)為 2.(16 分) 20. 20. 解：(1) 由 an12an1，得 an112(an1)，且 a111， 所以數(shù)列an1是首項為 1，公比為 2 的等比數(shù)列(2 分) 所以 an12n1. 所以，數(shù)列an的通項公式為 an2n11.(4 分) 推薦精選 數(shù)列an不是“等比源數(shù)列”，用反證法證明如下： 假設(shè)數(shù)列an是“等比源數(shù)列”，則存在三項 am，an，ak(mnk)按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列 因為 an2n11，所以 amanak.(7 分) 所以 a2na

18、mak，得(2n11)2(2m11)(2k11)，即 22nm12nm12k12km1. 又 mn0 時，因為anZ Z，則d1，且dZ Z，所以數(shù)列an中必有一項am0. 為了使得an為“等比源數(shù)列”， 只需要an中存在第n項，第k項(mnk)，使得a2namak成立， 即am(nm)d2amam(km)d，即(nm)2am(nm)dam(km)成立(13 分) 當namm，k2amamdm時，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比數(shù)列， 所以，數(shù)列an為“等比源數(shù)列”(16 分) 附加題 21. A. 21. A. 解：因為圓O的直徑為AB，C為圓上一點， 所以ACB90，ACAB2

19、BC2 102628. 因為直線l為圓O的切線， 所以DCACBA. 所以 RtABCRtACD， 所以ABACACADBCDC.(5 分) 又因為AB10，BC6， 所以ADAC2AB325，DCACBCAB245. 由DC2DEDA，得DEDC2DA2452325 185.(10 分) B. B. 解：設(shè)M M1a bc d，則MMMM11 02 2a bc d1 00 1， 所以ab2a2c2b2d1 00 1， 所以a1，b0，2a2c0，2b2d1.解得a1，b0，c1，d12. 推薦精選 所以M M110112.(5 分) M M1的特征多項式f()1 01 12(1)120，所以

20、1 或12. 所以矩陣M M的逆矩陣M M1的特征值為 1 或12.(10 分) C. C. 解法一：以極點為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標系xOy. 圓C的平面直角坐標方程為x2y24 2y，即x2(y2 2)28，圓心C(0，2 2) A的直角坐標為(2，2)(4 分) 直線AC的斜率kAC2220 21. 所以，直線AC的直角坐標方程為yx22，(8 分) 極坐標方程為(cos sin )22， 即sin42.(10 分) 解法二：在直線AC上任取一點M(，)，不妨設(shè)點M在線段AC上 由于圓心為C2 2，2，SOACSOCMSOAM，(4 分) 所以12222sin4122si

21、n(4)1222sin2， 即(cos sin )22 化簡，得直線AC的極坐標方程為sin(4)2.(10 分) D. D. 證明： a6b6ab(a4b4) a5(ab)(ab)b5(2 分) (ab)(a5b5)(4 分) (ab)2(a4a3ba2b2ab3b4)(8 分) 又a0，b0，所以a6b6ab(a4b4)0， 即a6b6ab(a4b4)(10 分) 22. 22. 解：(1) 如圖，分別以 AB，AD，AS 為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系 則 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2) 設(shè) P(x0，y0，z0)，由SP13SD，得(x0，y0，z02)13(0，2，2)， x00，y023，z043，點 P 坐標為(0，23，43) CP1，43，43，AB(1，0，0)，(2 分) 設(shè)直線 AB 與 CP 所成的角為 ， 推薦精選 則cos 114304301432432134141.(4 分) (2) 設(shè)平面 APC 的一個法向量為m m(x1，y1，z1)， 所以m mACx12y10，m mAP23y143z10. 令y12，則x14，z11，m m(4，2，1)(6 分) 設(shè)平面SCD的一個法向量為n n(x2，y2，z2)，由于DC(1，0，0)，DS(0，2，2)， 所以n