博弈論作業(yè)及問題詳解浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)張老師作業(yè)問題詳解

1、實(shí)用文檔 文案大全 第1次作業(yè) 1、考慮一個(gè)工作申請(qǐng)的博弈。兩個(gè)學(xué)生同時(shí)向兩家企業(yè)申請(qǐng)工作，每家企業(yè)只有一個(gè)工作崗位。工作申請(qǐng)規(guī)則如下：每個(gè)學(xué)生只能向其中一家企業(yè)申請(qǐng)工作；如果一家企業(yè)只有一個(gè)學(xué)生申請(qǐng)，該學(xué)生獲得工作；如果一家企業(yè)有兩個(gè)學(xué)生申請(qǐng)，則每個(gè)學(xué)生獲得工作的概率為1/2。現(xiàn)在假定每家企業(yè)的工資滿足：W1/2<W2<2W1，則問： a寫出以上博弈的戰(zhàn)略式描述 b求出以上博弈的所有納什均衡（包括混合策略均衡） 2、設(shè)古諾模型中有n家廠商。iq為廠商i的產(chǎn)量，12nQqqq?L為市場總產(chǎn)量。P為市場出清價(jià)格，且已知QaQPP?)(（當(dāng)aQ?時(shí)，否則0?P）。假設(shè)廠商i生產(chǎn)產(chǎn)量iq

2、的總成本為iiiicqqCC?)(，也就是說沒有固定成本且各廠的邊際成本都相同，為常數(shù))(acc?。假設(shè)各廠同時(shí)選擇產(chǎn)量，該模型的納什均衡是什么？當(dāng)趨向于無窮大時(shí)博弈分析是否仍然有效？ 3、兩個(gè)廠商生產(chǎn)一種完全同質(zhì)的商品，該商品的市場需求函數(shù)為PQ?100，設(shè)廠商1和廠商2都沒有固定成本。若他們?cè)谙嗷ブ缹?duì)方邊際成本的情況下，同時(shí)作出產(chǎn)量決策是分別生產(chǎn)20單位和30單位。問這兩個(gè)廠商的邊際成本各是多少？各自的利潤是多少？ 4、五戶居民都可以在一個(gè)公共的池塘里放養(yǎng)鴨子。每只鴨子的收益v是鴨子總數(shù)N的函數(shù)，并取決于N 是否超過某個(gè)臨界值N ；如果NN?，收益NNvv?50)( ；如果NN?時(shí)，0)

3、(?Nv。再假設(shè)每只鴨子的成本為2?c元。若所有居民同時(shí)決定養(yǎng)鴨的數(shù)量，問該博弈的納什均衡是什么？ 5、三對(duì)夫妻的感情狀態(tài)可以分別用下面三個(gè)得益矩陣對(duì)應(yīng)的靜態(tài)博弈來表示。問：這三個(gè)博弈的納什均衡分別是什么？這三對(duì)夫妻的感情狀態(tài)究竟如何？ 妻子 丈夫 活著 死了 活著 1，1 -1，0 死了 0，-1 0，0 矩陣1： 妻子 丈夫 活著 死了 活著 0，0 1，0 死了 0，1 0，0 矩陣2： 實(shí)用文檔 文案大全 妻子 丈夫 活著 死了 活著 -1，-1 1，0 死了 0，1 0，0 矩陣3： 6、兩個(gè)個(gè)體一起參加某項(xiàng)工程，每個(gè)人的努力程度0,1(1,2)iei?，成本為()(1,2)icei

4、?，該項(xiàng)目的產(chǎn)出為12(,)fee。個(gè)體的努力程度不影響到項(xiàng)目的分配方法，項(xiàng)目的產(chǎn)出在2個(gè)體之間均分。試回答以下問題： 1、如果1212(,)3feeee?，2()(1,2)iiceei?，試求此博弈的的Nash均衡（即兩個(gè)個(gè)體選擇的最優(yōu)努力程度）。 2、如果1212(,)4feeee?，()(1,2)iiceei?，試求此博弈的的Nash均衡。 第2次作業(yè) 1、企業(yè)甲和企業(yè)乙都是彩電制造商，都可以選擇生產(chǎn)低檔產(chǎn)品或高檔產(chǎn)品，每個(gè)企業(yè)在四種不同的情況下的利潤如以下得益矩陣所示。如果企業(yè)甲先于企業(yè)乙進(jìn)行產(chǎn)品選擇并投入生產(chǎn)，即企業(yè)乙在決定產(chǎn)品時(shí)已經(jīng)知道企業(yè)甲的選擇，而且這一點(diǎn)雙方都清楚。 （1）用

5、擴(kuò)展型表示這一博弈。 企業(yè)乙 企業(yè)甲 高檔 低檔 高檔 500，500 1000，700 低檔 700，1000 600，600 （2）這一博弈的子博弈完美納什均衡是什么？ 2、兩個(gè)寡頭企業(yè)進(jìn)行價(jià)格競爭博弈，企業(yè)1的利潤函數(shù)是qcaqp?21)（?，企業(yè)2的利潤函數(shù)是pbq?22)（?，其中p是企業(yè)1的價(jià)格，q是企業(yè)2的價(jià)格。求： （1）兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決策的純策略納什均衡； （2）企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡； （3）企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡； （4）是否存在參數(shù)cba,的特定值或范圍，使兩個(gè)企業(yè)都希望自己先決策？ 3、考慮如下的雙寡頭市場戰(zhàn)略投資模型：企業(yè)1和企業(yè)2目前情況下的生產(chǎn)

6、成本都是2?c。企業(yè)1可以引進(jìn)一項(xiàng)新技術(shù)使單位成本降低到1?c，該項(xiàng)技術(shù)需要投資f。在企業(yè)1作出是否投資的決策（企業(yè)2可以觀察到）后，兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇產(chǎn)量。假設(shè)市場需求函數(shù)為qqp?14)(，其中p是市場價(jià)格，q是兩個(gè)企業(yè)的總產(chǎn)量。問上述投資額f處于什么水平時(shí)，企業(yè)1會(huì)選實(shí)用文檔 文案大全 擇引進(jìn)新技術(shù)？ 4、在市場進(jìn)入模型中，市場逆需求函數(shù)為p13-Q，進(jìn)入者和在位者生產(chǎn)的邊際成本都為1，固定成本為0，潛在進(jìn)入者的進(jìn)入成本為4。博弈時(shí)序?yàn)椋涸谖徽呤紫葲Q定產(chǎn)量水平；潛在進(jìn)入者在觀察到在位者的產(chǎn)量水平之后決定是否進(jìn)入；如果不進(jìn)入，則博弈結(jié)束，如果進(jìn)入，則進(jìn)入者選擇產(chǎn)量水平。求解以上博弈精煉納什均

7、衡。 5、在三寡頭的市場中，市場的逆需求函數(shù)為三家產(chǎn)量之和QQap,?，每家企業(yè)的不變邊際成本為c，固定成本為0。如果企業(yè)1首先選擇產(chǎn)量，企業(yè)2和企業(yè)3觀察到企業(yè)1的產(chǎn)量后同時(shí)選擇產(chǎn)量，則均衡時(shí)的市場價(jià)格。 第3次作業(yè) 1、兩個(gè)人合作開發(fā)一項(xiàng)產(chǎn)品，能否成功與兩個(gè)人的工作態(tài)度有關(guān)，設(shè)成功概率如下： B A 努力 偷懶 努力 9/16 3/8 偷懶 3/8 1/4 再假設(shè)成功時(shí)每人有4單位的利益，失敗則雙方都沒有利益，偷懶本身有1單位的利益。問該博弈無限次重復(fù)博弈的均衡是什么？ 2、兩寡頭古諾產(chǎn)量競爭模型中廠商的利潤函數(shù)為()iiijiqtqq?，1,2i?。若11t?是兩個(gè)廠商的共同知識(shí)，而2t

8、則是廠商2的私人信息，廠商1 只知道 23/4t?或24/5t?，且2t取這兩個(gè)值的概率相等。若兩個(gè)廠商同時(shí)選擇產(chǎn)量，請(qǐng)找出該博弈的純策略貝葉斯均衡。 3、兩個(gè)廠商生產(chǎn)相同產(chǎn)品在市場上進(jìn)行競爭性銷售。第1個(gè)廠商的成本函數(shù)為11qc?，其中1q為廠商1的產(chǎn)量。第2個(gè)廠商的成本函數(shù)為22cqc?，其中2q為廠商2的產(chǎn)量，c為其常數(shù)邊際成本。兩個(gè)廠商的固定成本都為零。廠商2的邊際成本c是廠商2的“私人信息”，廠商1認(rèn)為c在?23,21上呈均勻分布。設(shè)實(shí)用文檔 文案大全 市場需求函數(shù)為214qqP?，其中P為價(jià)格，兩個(gè)廠商都以其產(chǎn)量為純戰(zhàn)略，問純戰(zhàn)略貝葉斯均衡為何？。 4、兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決定是否進(jìn)入一個(gè)

9、市場，企業(yè)i的進(jìn)入成本),0?i?是私人信息，i?是服從分布函數(shù))(iF?的隨機(jī)變量以及分布密度)(if?嚴(yán)格大于零，并且1?和2?兩者獨(dú)立。如果只有一個(gè)企業(yè)進(jìn)入，進(jìn)入企業(yè)i的利潤函數(shù)為mi?；如果兩個(gè)企業(yè)都進(jìn)入，則企業(yè)i的利潤函數(shù)為id?；如果沒有企業(yè)進(jìn)入，利潤為零。假定m?和d?是共同知識(shí)，且m?>d?>0，試計(jì)算此博弈的貝葉斯均衡。 博弈論第1次作業(yè)答案 實(shí)用文檔 文案大全 1、a寫出以上博弈的戰(zhàn)略式描述 b求出以上博弈的所有納什均衡（包括混合策略均衡） ?存在兩個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡：分別為（企業(yè)1，企業(yè)2），收益為)2,1(WW。（企業(yè)2，企業(yè)1），收益為)1,2(WW。 ?存

10、在一個(gè)混合策略均衡：令學(xué)生A選擇企業(yè)1的概率為p，選擇企業(yè)2的概率為p?1;學(xué)生B選擇企業(yè)1的概率為q，選擇企業(yè)2的概率為q?1。 當(dāng)學(xué)生A以)1,(pp?的概率選擇時(shí)，學(xué)生B選擇企業(yè)1的期望收益應(yīng)該與選擇企業(yè)2的期望收益相等，即： 221).1(2.1)1(121.WpWpWpWp? 解得： 21212WWWWp? ,211221WWWWp? 同理求出： 221).1(2.1)1(121.WqWqWqWq? 解得： 21212WWWWq? ,211221WWWWq? 所以，混合策略納什均衡為：學(xué)生A、B 均以)21122,21212(WWWWWWWW? 學(xué)生B 企業(yè)1 企業(yè)2 學(xué)生A 企業(yè)1

11、 )221,121(WW )2,1( 企業(yè)2 )1,2(WW )121,221(WW 實(shí)用文檔 文案大全 的概率選擇企業(yè)1，企業(yè)2。 2、該模型的納什均衡是什么？當(dāng)趨向于無窮大時(shí)博弈分析是否仍然有效？ 各廠商的利潤函數(shù)為： inkkiiiiiiqqcaqcQaqcqQaCqPu).().(.).(.1? 求解： inkkqiqqqcauii).(maxmax1? 對(duì)其求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，解得反應(yīng)函數(shù)為： ?.211121niiiqqqqqcaq? 納什均衡),.,(*2*1nqqq,必是n條反應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn) ).(21*3*2*1nqqqcaq? ).(21*3*1*2nqqqcaq? . ).(

12、21*1*1*2*1*niiiqqqqqcaq? . ).(21*1*2*1*?nnqqqcaq 得到： 1.*2*1?ncaqqqn，且為唯一的納什均衡。 當(dāng)趨向于無窮大時(shí)博弈分析無效。 實(shí)用文檔 文案大全 01limlim*?ncaqnin，此時(shí)為完全競爭市場，此時(shí)博弈分析無效。 3、問這兩個(gè)廠商的邊際成本各是多少？各自的利潤是多少？ 設(shè)：邊際成本不變，為1c，2c。 計(jì)算得市場出清價(jià)格為： )(100100)(21qqQQPP? 兩個(gè)廠商的利潤函數(shù)為： 1211111111).(100).(.qqqcqcPqcqPu? 2212222222).(100).(.qqqcqcPqcqPu?

13、求解： 12111).(100maxmax11qqqcuqq? 22122).(100maxmax22qqqcuqq? 對(duì)其求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，解得反應(yīng)函數(shù)為： )100(21)(21211qcqRq? )100(21)(12122qcqRq? 納什均衡),(*2*1qq,即（20,30）為兩條反應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn) )30100(21201?c )20100(21302?c 得到： 301?c，202?c。 實(shí)用文檔 文案大全 此時(shí)： 4001?u，9002?u。 4、若所有居民同時(shí)決定養(yǎng)鴨的數(shù)量，問該博弈的納什均衡是什么？ 設(shè)居民i選擇的養(yǎng)鴨數(shù)目為in)5,4,3,2,1(?i，則總數(shù)為?51iin

14、N。 假設(shè)： NN? 居民的得益函數(shù)為： iiiiiiinnncVncnVu).48().(.51? 計(jì)算： iiiuiunnuii).48(maxmax51? 得到反應(yīng)函數(shù)： ).(212451121nnnnnRniiii? 5、反應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)),(*5*4*3*2*1nnnnn是博弈的納什均衡。 將),(*5*4*3*2*1nnnnn帶入反應(yīng)函數(shù)，得： 8*5*4*3*2*1?nnnnn。 此時(shí)： 64?iu。 此時(shí)，40?N 然后討論下N ? 若40?N ，則NN?，上述博弈成立。 實(shí)用文檔 文案大全 ? 若40?N ，則5NN? 5、問：這三個(gè)博弈的納什均衡分別是什么？這三對(duì)夫妻的感情

15、狀態(tài)究竟如何？ 妻子 丈夫 活著 死了 活著 死了 1，1 0，-1 -1，0 0，0 矩陣1： 妻子 丈夫 活著 死了 活著 死了 0，0 0，1 1，0 0，矩陣2： 妻子 丈夫 活著 死了 活著 死了 -1，-1 0，1 1，0 0，0 0 矩陣3： 用劃線法得出三個(gè)矩陣的納什均衡分別為： 矩陣1： （活著，活著） （死了，死了） 可以看出這對(duì)夫妻間感情十分深厚。這對(duì)夫妻同生共死，一個(gè)死了，則另一個(gè)也選擇死去。如果一個(gè)死了，一個(gè)活著，那么活著的將生不如死。 矩陣2： （活著，活著） （活著，死了） （死了，活著） 可以看出這對(duì)夫妻間感情一般。這對(duì)夫妻共同活著沒有收益，一個(gè)死了，對(duì)于另一個(gè)

16、來說反而更好。 矩陣3： 實(shí)用文檔 文案大全 （活著，死了） （死了，活著） 可以看出這對(duì)夫妻間感情很槽糕。這對(duì)夫妻共同活著對(duì)雙方來說是生不如死。一個(gè)死了，對(duì)于另一個(gè)來說反而更好。 6、（1）如果1212(,)3feeee?，2()(1,2)iiceei?，試求此博弈的Nash均衡（即兩個(gè)個(gè)體選擇的最優(yōu)努力程度）。 （2）如果1212(,)4feeee?，()(1,2)iiceei?，試求此博弈的Nash均衡。 （1）收益為： 2121121123)(),(21eeeeceefu? 2221221223)(),(21eeeeceefu? 得出反應(yīng)函數(shù)為： 221143)(eeRe? 11224

17、3)(eeRe? 納什均衡),(*2*1ee為兩條反應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)，代入得出： 0,0*2*1?ee 兩個(gè)人都不會(huì)努力的 （2）收益為： 12112112)(),(21eeeeceefu? 實(shí)用文檔 文案大全 22122122)(),(21eeeeceefu? 分別求偏導(dǎo)： 12211?eeu 12122?eeu 此時(shí)，兩個(gè)人的努力程度都與對(duì)方的努力程度有關(guān) ?)21,0?ie時(shí)，博弈一方越努力，另一方就選擇努力程度為0， 此時(shí)納什均衡為（0,0） ?21?ie 時(shí)，雙方收益均達(dá)到最大值，此時(shí)納什均衡為)21,21( ?1,21(?ie時(shí)，博弈一方越努力，另一方選擇努力程度為1， 此時(shí)納什均衡為

18、（1,1） 實(shí)用文檔 文案大全 第2次作業(yè)答案 1， （1）用擴(kuò)展型表示這一博弈。 （2）這一博弈的子博弈完美納什均衡是什么？ 運(yùn)用逆向法，由乙先來選擇，在兩個(gè)子博弈中，乙選擇紅色所示的路徑。 再由甲選擇，在（高檔，低檔），（低檔，低檔）之間選擇。甲選擇綠色所示路徑。最終的子博弈完美納什均衡是（高檔，低檔），雙方的收益為（1000,700） 2、（1）兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決策的純策略納什均衡； 同時(shí)決策時(shí)，兩個(gè)企業(yè)都為了各自利潤最大化 分別對(duì)各自利潤求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為0 0)(21?caqpp? 實(shí)用文檔 文案大全 0)(22?bqq? 解得： bqcaqp? ，cabb?21? 此時(shí)，兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決策

19、的純策略納什均衡為企業(yè)1,2的價(jià)格為),(bcaq? （2）企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡； 企業(yè)1先決策，則企業(yè)2會(huì)在知道企業(yè)1的決策后，尋求自身利潤最大化 所以： 0)(22?bqq? bq? 將bq?帶入bcabpqcaqp?221)（? 0)(21?cabpp? cabp? 此時(shí)， cabb?21? ，跟同時(shí)決策時(shí)的納什均衡相同。 企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡為企業(yè)1,2的價(jià)格為),(bcab? （3）企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡； 企業(yè)2先決策，則企業(yè)1會(huì)在知道企業(yè)2的決策后，尋求自身利潤最大化 所以： 0)(22?bqq? caqp? 將caqp?帶入caqbqpbq?2

20、22)（? 0)(22?bqq? baq?2 此時(shí)， cabap?22 實(shí)用文檔 文案大全 cababa?4,2221? 企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡為企業(yè)1,2 的價(jià)格為)4,2(2cababa? （4）是否存在參數(shù)cba,的特定值或范圍，使兩個(gè)企業(yè)都希望自己先決策？ 企業(yè)在先決策時(shí)得到的利潤大于后決策時(shí)的利潤時(shí)，會(huì)希望先決策 企業(yè)1希望先決策： 042?cabcaba，abca?,0 企業(yè)2希望先決策： 02?bab ，2,0aba? 結(jié)論：2,0aba?，abc? 3、（1）企業(yè)1沒有引入新技術(shù) 12111)12()qqqqcp?（? 22122)12()qqqqcp?（? 求兩個(gè)企

21、業(yè)的利潤最大化，只要對(duì)利潤函數(shù)求偏導(dǎo)，并另偏導(dǎo)為 0 02122111?qqq? 02121222?qqq? 得到： 41?q，42?q 16,1621? （2）企業(yè)1引入新技術(shù) fqqqfqcp?12111)13()（? 22122)12()qqqqcp?（? 求兩個(gè)企業(yè)的利潤最大化，只要對(duì)利潤函數(shù)求偏導(dǎo)，并另偏導(dǎo)為 0 02132111?qqq? 02121222?qqq? 實(shí)用文檔 文案大全 得到：3141?q ，3112?q 此時(shí)，317?p 引入新技術(shù)使得企業(yè)1的利潤不少于沒有引入新技術(shù)前的利潤，所以 16)(111?fqcp 得到 952?f時(shí)，企業(yè)1會(huì)選擇引進(jìn)新技術(shù)。 4、（1）

22、企業(yè)1的產(chǎn)量1q，企業(yè)2以產(chǎn)量2q進(jìn)入市場 2113qqp? 1211)12(qqq? 4)12(2212?qqq? 企業(yè)2后進(jìn)入市場，則企業(yè)2會(huì)在知道企業(yè)1的決產(chǎn)量后，尋求自身利潤最大化 所以： 02122122?qqq? 12216qq? 將12216qq?帶入1211)12(qqq?，得 0)21612(11111?qqqq? 此時(shí)， 61?q，32?q 5,1821? （2）企業(yè)1的產(chǎn)量1q，企業(yè)2以產(chǎn)量2q進(jìn)入市場時(shí)利潤為0，覺得不進(jìn)入市場 2113qqp? 1211)12(qqq? 4)12(2212?qqq? 企業(yè)2后進(jìn)入市場，則企業(yè)2會(huì)在知道企業(yè)1的決產(chǎn)量后，尋求自身利潤最大化

23、 所以： 實(shí)用文檔 文案大全 02122122?qqq? 12216qq? 將12216qq?帶入04)12(2212?qqq?，得 （舍去）或1681?q 321? ，此時(shí)，企業(yè)2不進(jìn)入市場。 5、三個(gè)企業(yè)的利潤函數(shù)為： )3,2,1(,)()(321?iqcqqqaqcpiii? 企業(yè)2和企業(yè)3觀察到企業(yè)1的產(chǎn)量后同時(shí)選擇產(chǎn)量 23212)(qcqqqa? 33213)(qcqqqa? 企業(yè)2和3均為了各自利潤最大化選擇產(chǎn)量，求解出各個(gè)的反應(yīng)函數(shù)： 0232122?cqqqaq? 0232133?cqqqaq? ? ?311312cqaqqqq?，將反應(yīng)函數(shù)帶入企業(yè)1的利潤函數(shù)，得 111

24、3211)(31)(qcqaqcqqqa? 對(duì)其求偏導(dǎo)，求解出企業(yè)1利潤最大時(shí)的產(chǎn)量 0)2(31111?cqaq? 得到 :21caq? , 632caqq?, 此時(shí)：65)662(cacacacaap? 實(shí)用文檔 文案大全 第三次作業(yè)答案 1、兩個(gè)人的得益矩陣如下： B A 努力 偷懶 努力 )49,49( )25,23( 偷懶 )23,25( )2,2( 一次博弈納什均衡為（偷懶，偷懶），無法實(shí)現(xiàn)帕累托最優(yōu)（努力，努力）。無限次博弈時(shí)，對(duì)于A，第一階段選擇努力， （1）若前t-1時(shí)刻選擇均為努力，t時(shí)刻也選擇努力)1(49).1(49lim2?ttA （2）t時(shí)刻選擇偷懶，則前面的行為均為偷懶 ?425).(2lim252tt A 達(dá)到（努力，努力）這個(gè)均衡，使?AA?，即21?，采取觸發(fā)策略。、 均衡為（努力，努力），合作產(chǎn)生。 2、假設(shè)：廠商2在23/4t?時(shí)，產(chǎn)量為? 2 q，利潤為?2?； 廠商2在24/5t?時(shí)