北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題：探索性問題

1、 、綜合問題精講：探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補(bǔ)充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：（1）條件探索型問題；（2）結(jié)論探索型問題；（3）探索存在型問題條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目；結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目 探索型問題具有較強(qiáng)的綜合性，因而解決此類問題用到了所學(xué)過的整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)常用到的知識(shí)是：一元一次方程、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的求法（圖象及其

2、性質(zhì)）、直角三角形的性質(zhì)、四邊形（特殊）的性質(zhì)、相似三角形、解直角三角形等其中用幾何圖形的某些特殊性質(zhì)：勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例等來構(gòu)造方程是解決問題的主要手段和途徑因此復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，又要加強(qiáng)變式訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法的研究，切實(shí)提高分析問題、解決問題的能力、典型例題剖析【例1】（2005，臨沂）如圖261，已知拋物線的頂點(diǎn)為A(O，1)，矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，D、E在軸上，CF交y軸于點(diǎn)B(0，2)，且其面積為8(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖262，若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn)，連結(jié)PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P、Q分別作軸的垂線，垂足分別為S、

3、R求證：PBPS；判斷SBR的形狀；試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由解：方法一：B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，OB2，矩形CDEF面積為8，CF=4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2，2)F點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)。設(shè)拋物線的解析式為其過三點(diǎn)A(0，1)，C(-22)，F(xiàn)(2，2)。得 解得此拋物線的解析式為 方法二：B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，OB2，矩形CDEF面積為8， CF=4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2，2)。 根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為。其過點(diǎn)A(0，1)和C(-22) 解得此拋物線解析式為(2)解：過點(diǎn)B作BN，

4、垂足為NP點(diǎn)在拋物線y=+l上可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為PS，OBNS2，BN。PN=PSNS= 在RtPNB中PB2PBPS 根據(jù)同理可知BQQR。，又 ，同理SBPB . SBR為直角三角形 方法一：設(shè)，由知PSPBb，。假設(shè)存在點(diǎn)M且MS，別MR 。若使PSMMRQ，則有。即。 SR2M為SR的中點(diǎn). 若使PSMQRM，則有。M點(diǎn)即為原點(diǎn)O。綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)PSMMRQ；當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，PSMMRQ 方法二：若以P、S、M為頂點(diǎn)的三角形與以Q、M、R為頂點(diǎn)三角形相似，有PSMMRQ和PSMQRM兩種情況。 當(dāng)PSMMRQ時(shí)SPMRMQ，SMPRQM 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)知PMS+

5、QMR90°。 取PQ中點(diǎn)為N連結(jié)MN則MNPQ= MN為直角梯形SRQP的中位線,點(diǎn)M為SR的中點(diǎn) 當(dāng)PSMQRM時(shí)，。又，即M點(diǎn)與O點(diǎn)重合。點(diǎn)M為原點(diǎn)O。綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)，PSMMRQ；當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，PSMQRM。 點(diǎn)撥：通過對(duì)圖形的觀察可以看出C、F是一對(duì)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以（1）的關(guān)鍵是求出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以應(yīng)用三點(diǎn)式或 y=ax2+c型即可而對(duì)于點(diǎn) P既然在拋物線上，所以就可以得到它的坐標(biāo)為（a，a2+1）這樣再過點(diǎn)B作BNPS得出的幾何圖形求出PB 、PS的大小最后一問的關(guān)鍵是要找出PSM與MRQ相似的條件【例2】探究規(guī)律：如圖264所示，已知：直線

6、mn，A、B為直線n上兩點(diǎn)，C、P為直線m上兩點(diǎn) （1）請(qǐng)寫出圖264中，面積相等的各對(duì)三角形； （2）如果A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在m上移動(dòng)，那么，無論P(yáng)點(diǎn)移動(dòng)到任何位置，總有_與ABC的面積相等理由是：_. 解決問題：如圖 265所示，五邊形 ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖266所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（266中折線CDE）還保留著；張大爺想過E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多請(qǐng)你用有關(guān)的幾何知識(shí)，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案（不計(jì)分界小路與直路的占地

7、面積） （1）寫出設(shè)計(jì)方案并畫出相應(yīng)的圖形； （2）說明方案設(shè)計(jì)理由解：探究規(guī)律：（l）ABC和ABP，AOC和 BOP、CPA和CPB （2）ABP；因?yàn)槠叫芯€間的距離相等，所以無論點(diǎn)P在m上移動(dòng)到任何位置，總有ABP與ABC同底等高，因此，它們的面積總相等 解決問題：畫法如圖267所示 連接EC，過點(diǎn)D作DFEC，交CM于點(diǎn)F，連接EF，EF即為所求直路位置 設(shè)EF交CD于點(diǎn)H，由上面得到的結(jié)論可知： SECF=SECD，SHCF=SEDH，所以S五邊形ABCDE=S五邊形ABCFE，S五邊形EDCMN=S四邊形EFMN 點(diǎn)撥：本題是探索規(guī)律題，因此在做題時(shí)要從前邊問題中總結(jié)出規(guī)律，后邊的

8、問題要用前邊的結(jié)論去一做，所以要連接EC，過D作DFEC，再運(yùn)用同底等高的三角形的面積相等【例3】（2005，成都模擬，12分）如圖268所示，已知拋物線的頂點(diǎn)為M（2，4），且過點(diǎn)A(1,5)，連結(jié)AM交x軸于點(diǎn)B求這條拋物線的解析式；求點(diǎn) B的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線在x軸下方、頂點(diǎn) M左方一段上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) PO，以P為頂點(diǎn)、PQ為腰的等腰三角形的另一頂點(diǎn)Q在x軸上，過Q作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)R，連結(jié)PR設(shè)面 PQR的面積為S求S與x之間的函數(shù)解析式；在上述動(dòng)點(diǎn)P（x，y）中，是否存在使SPQR=2的點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（1）因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為M（2

9、，4）所以可設(shè)拋物線的解析式為y=（x2）2 4因?yàn)檫@條拋物線過點(diǎn)A（1，5）所以5=a(12)24解得a=1所以所求拋物線的解析式為y=（x2）2 4 （2）設(shè)直線AM的解析式為y=kx+ b因?yàn)锳（1，5）, M（2，4）所以，解得 k=3，b=2所以直線AM的解析式為 y=3x2當(dāng)y=0時(shí)，得x= ，即AM與x軸的交點(diǎn)B（,0）（3）顯然，拋物線y=x24x過原點(diǎn)(0，0當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）使POQ是以P為頂點(diǎn)、PO為腰且另一頂點(diǎn)Q在x軸上的等腰三角形時(shí)，由對(duì)稱性有點(diǎn) Q（2x，0）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在x軸下方、頂點(diǎn)M左方，所以0x2因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)Q與B（，0）重合時(shí)，PQR不存在，所以x，所以動(dòng)點(diǎn)P（

10、x，y）應(yīng)滿足條件為0x2且x，因?yàn)镼R與x軸垂直且與直線AM交于點(diǎn)R，所以R點(diǎn)的坐標(biāo)為（2x，6x+2） 如圖269所示，作P HOR于H，則PH= 而S=PQR的面積=QR·P H= 下面分兩種情形討論：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B左方時(shí)，即0x時(shí)，當(dāng)R在 x軸上方，所以6x20所以S=（6x2）x=3x2+x；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B右方時(shí)，即x2時(shí)點(diǎn)R在x軸下方，所以6x20所以S=x=3x2x； 即S與x之間的函數(shù)解析式可表示為（4）當(dāng)S=2時(shí)，應(yīng)有3x2+x =2，即3x2 x+ 2=0，顯然0，此方程無解或有3x2x =2，即3x2 x2=0，解得x1 =1，x2當(dāng)x=l時(shí)，y= x24x=3，即

11、拋物線上的點(diǎn)P（1，3）可使SPQR=2；當(dāng)x=0時(shí)，不符合條件，應(yīng)舍去所以存在動(dòng)點(diǎn)P，使SPQR=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)點(diǎn)撥：此題是一道綜合性較強(qiáng)的探究性問題，對(duì)于第（1）問我們可以采用頂點(diǎn)式求得此拋物線，而（2）中的點(diǎn)B是直線 AM與x軸的交點(diǎn)，所以只要利用待定系數(shù)法就可以求出直線AM，從而得出與x軸的交點(diǎn)B(3)問中注意的是Q點(diǎn)所處位置的不同得出的S與x之間的關(guān)系也隨之發(fā)生變化（4）可以先假設(shè)存在從而得出結(jié)論、綜合鞏固練習(xí)：（100分 90分鐘） 1 觀察圖2610中）至中小黑點(diǎn)的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放記第n個(gè)圖中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為y解答下列問題： 填下表： 當(dāng)n=8時(shí)，y

12、=_； 根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，把n作為橫坐標(biāo)，把y作為縱坐標(biāo)，在圖2611的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的各點(diǎn)（n，y），其中1n5； 請(qǐng)你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一函數(shù)的圖象上嗎？如果在某一函數(shù)的圖象上，請(qǐng)寫出該函數(shù)的解析式2（5分）圖2612是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個(gè)小房子用了_塊石子 3(10分)已知RtABC中，AC=5，BC=12，ACB =90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合） 如圖2613所示，當(dāng)PQA C，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段CP的長(zhǎng)； 當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，CPQ可能為直角三角形嗎？若有

13、可能，請(qǐng)求出線段CQ的長(zhǎng)的取值范圍，若不可能，請(qǐng)說明理由4如圖2614所示，在直角坐標(biāo)系中，以A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，l）為頂點(diǎn)的正方形，設(shè)正方形在直線：y=x及動(dòng)直線：y=x+2a（la1）上方部分的面積為S（例如當(dāng)a取某個(gè)值時(shí)，S為圖中陰影部分的面積），試分別求出當(dāng)a=0，a=1時(shí)，相應(yīng)的S的值5（10分）如圖2615所示，DE是ABC的中位線，B90，AFB C在射線A F上是否存在點(diǎn)M，使MEC與A DE相似？若存在，請(qǐng)先確定點(diǎn)M，再證明這兩個(gè)三角形相似；若不存在，請(qǐng)說明理由 6如圖2616所示，在正方形ABCD中，AB=1，是以點(diǎn)B為圓心AB長(zhǎng)為半徑的圓的一

14、段弧點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過E作AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F石為切點(diǎn) 當(dāng) DEF45時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)； 設(shè)AE=x， FC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)的定義域； 圖2617所示，將DEF沿直線EF翻折后得 D1EF，當(dāng)EF=時(shí)，討論AD1D與ED1F是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由。（圖2618為備用圖）7（10分）取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過程如下： 第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖 2619（1）所示； 第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，

15、得 RtABE，如圖2619（2）所示； 第三步：沿EB線折疊得折痕EF，如圖2619所示；利用展開圖 2619（4）所示探究： （l）AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論 （2）對(duì)于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請(qǐng)說明理由8（10分）某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a0)，當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線y=ax2+2x+3(a0)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；若把頂點(diǎn)的 橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線y=ax2+2x+3(a0)上 請(qǐng)你協(xié)助探求出實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y=ax2+2x+3(a0)的頂點(diǎn)所在直線的解析式； 問題中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)，你能找出它來嗎？并說明理由； 在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運(yùn)用“一般特殊一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立，請(qǐng)說明理由。9已知二次函數(shù)的圖象過A（3，0），B（1，0）兩點(diǎn) 當(dāng)這個(gè)二次函數(shù)的圖象又過點(diǎn)以0，3）時(shí)，求