高中數學橢圓經典例題(學生+老師)

1、-作者xxxx-日期xxxx高中數學橢圓經典例題(學生+老師)【精品文檔】（教師版）橢圓標準方程典型例題例1 已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標準方程，由，根據關系可求出的值解：方程變形為因為焦點在軸上，所以，解得又，所以，適合故例2 已知橢圓的中心在原點，且經過點，求橢圓的標準方程分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況根據題設條件，運用待定系數法，求出參數和（或和）的值，即可求得橢圓的標準方程解：當焦點在軸上時，設其方程為由橢圓過點，知又，代入得，故橢圓的方程為當焦點在軸上時，設其方程為由橢圓過點，知又，聯立解得，故橢圓的方程為例3 的底邊，和兩邊上中線長

2、之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標的關系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標系設點坐標為，由，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點因，有，故其方程為（2）設，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）例4 已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程解：設兩焦點為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或例5 已知橢圓方程，長軸端點為，

3、焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設，由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故 例6 已知動圓過定點，且在定圓的內部與其相內切，求動圓圓心的軌跡方程分析：關鍵是根據題意，列出點P滿足的關系式解：如圖所示，設動圓和定圓內切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據橢圓的標準方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例7 已知橢圓，（

4、1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法解：設弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求

5、軌跡方程當然，此題除了設弦端坐標的方法，還可用其它方法解決例8 已知橢圓及直線（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為，由（1）得，根據弦長公式得 ：解得方程為說明：處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數的關系），可大大簡化運算過程例9 以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應在何

6、處？并求出此時的橢圓方程分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點為，點關于直線的對稱點的坐標為（9，6），直線的方程為解方程組得交點的坐標為（5，4）此時最小所求橢圓的長軸：，又，因此，所求橢圓的方程為例10 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當時，并不表示橢圓例11 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據已知條件確定的三角函

7、數的大小關系再根據三角函數的單調性，求出的取值范圍解：方程可化為因為焦點在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標準方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點在軸上，知， (3)求的取值范圍時，應注意題目中的條件例12求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經過和兩點的橢圓方程分析：由題設條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標準方程有兩種情形，為了計算簡便起見，可設其方程為(，)，且不必去考慮焦點在哪個坐標軸上，直接可求出方程解：設所求橢圓方程為(，)由和兩點在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例13 知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段，求線段中點的軌跡分析：本題是已知一些軌跡，求動點軌跡問題這種題目一般

8、利用中間變量(相關點)求軌跡方程或軌跡解：設點的坐標為，點的坐標為，則，因為在圓上，所以將，代入方程得所以點的軌跡是一個橢圓說明：此題是利用相關點法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設動點的坐標為，設已知軌跡上的點的坐標為，然后根據題目要求，使，與，建立等式關系，從而由這些等式關系求出和代入已知的軌跡方程，就可以求出關于，的方程，化簡后即我們所求的方程這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握例14 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：

9、(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯立得：設，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據直線與橢圓聯立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標再根據焦半徑，從而求出例15橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為坐標原點）的值為A4B2 C8 D解：如圖所示，設橢圓的另一個焦點為，由橢圓第一定義得，所以，又因為為的中位線，所以，故答案為A說明：(1)橢圓定義：平面內與兩定點的距離之和等

10、于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓(2)橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關距離例16 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關于該直線對稱分析：若設橢圓上，兩點關于直線對稱，則已知條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設橢圓上，兩點關于直線對稱，直線與交于點的斜率，設直線的方程為由方程組消去得。于是，即點的坐標為點在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點，解得(法2)同解法1得出，即點坐標為，為橢圓上的兩點，點在橢圓的內部，解得(法3)設，是橢圓上關于對稱的兩點，直線與

11、的交點的坐標為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點在直線上，。由，得點的坐標為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點，關于直線恒對稱，求有關參數的取值范圍問題，可以采用列參數滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數方程(2)利用弦的中點在橢圓內部，滿足，將，利用參數表示，建立參數不等式例17 在面積為1的中，建立適當的坐標系，求出以、為焦點且過點的橢圓方程解：以的中點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，設則即得所求橢圓方程為例18 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位

12、置關系問題通常將直線方程與橢圓方程聯立消去(或)，得到關于(或)的一元二次方程，再由根與系數的關系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設而不求”的方法，在解析幾何中是經常采用的解：方法一：設所求直線方程為代入橢圓方程，整理得 設直線與橢圓的交點為，則、是的兩根，為中點，所求直線方程為方法二：設直線與橢圓交點，為中點，又，在橢圓上，兩式相減得，即直線方程為方法三：設所求直線與橢圓的一個交點為，另一個交點、在橢圓上，。 從而，在方程的圖形上，而過、的直線只有一條，直線方程為說明：直線與圓錐曲線的位置關系是重點考查的解析幾何問題，“設而不求”的方法是處理此類問

13、題的有效方法若已知焦點是、的橢圓截直線所得弦中點的橫坐標是4，則如何求橢圓方程？（學生版）橢圓標準方程典型例題例1 已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值例2 已知橢圓的中心在原點，且經過點，求橢圓的標準方程例3 的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡例4 已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程例5 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）例6 已知動圓過定點，且在定圓的內部與其相內切，求動圓圓心的軌跡方程例7 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程例8 已知橢圓及直線（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程例9 以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應在何處？并求出此時的橢圓方程例12 已知方程表示橢圓，求的取值范圍例13 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍例12求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經過和兩點的橢圓方程例14 知圓，從這個圓上任意一點向