勾股定理的各類題型

1、勾股定理各種題型：一：勾股定理面積相等法：方法1：方法2：方法3：二：方程思想和勾股定理結(jié)合的題目1.（2016春宜春期末）一旗桿在其的B處折斷，量得AC=5米，則旗桿原來的高度為（）A米B2米C10米D米【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】可設(shè)AB=x，則BC=2x，進(jìn)而在ABC中，利用勾股定理求解x的值即可【解答】解：由題意可得，AC2=BC2AB2，即（2x）2x2=52，解得x=，所以旗桿原來的高度為3x=5，故選D【點(diǎn)評】能夠利用勾股定理求解一些簡單的直角三角形2.（2016春防城區(qū)期中）如圖，在ABC中，B=40°，EFAB，1=50°，CE=3，EF比

2、CF大1，則EF的長為（）A5B6C3D4【考點(diǎn)】勾股定理；平行線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由平行線的性質(zhì)得出A=1=50°，得出C=90°，設(shè)CF=x，則EF=x+1，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF的長【解答】解：EFAB，A=1=50°，A+B=50°+40°=90°，C=90°，設(shè)CF=x，則EF=x+1，根據(jù)勾股定理得：CE2+CF2=EF2，即32+x2=（x+1）2，解得：x=4，EF=4+1=5，故選：A【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理；熟練掌握平行線的性質(zhì)，并能進(jìn)

3、行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵3.（2015春蚌埠期中）已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與D重合，折痕為EF，則BE的長為（）A3cmB4cmC5cmD6cm【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE=ED，設(shè)AE=x，表示出BE=9x，然后在RtABE中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解【解答】解：長方形折疊點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，BE=ED，設(shè)AE=x，則ED=9x，BE=9x，在RtABE中，AB2+AE2=BE2，即32+x2=（9x）2，解得x=4，AE的長是4，BE=94=5，故選C【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，

4、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于AE的長的方程是解題的關(guān)鍵4.（2008秋奎文區(qū)校級期末）在我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中記載了一個(gè)有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如圖所示，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面那么水深多少？蘆葦長為多少？【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答【解答】解；設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：x=12（尺），蘆葦?shù)拈L度=x+1=12+1=13（尺），答：水池深12尺，蘆葦長13

5、尺【點(diǎn)評】此題是一道古代問題，體現(xiàn)了我們的祖先對勾股定理的理解，也體現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就三：勾股定理應(yīng)用：求最短距離問題1.（2014秋環(huán)翠區(qū)期中）如圖，長方體的底面邊長為1cm和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B，那么所用細(xì)線最短需要（）A12cmB11cmC10cmD9cm【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果【解答】解：將長方體展開，連接A、B，則AA=1+3+1+3=8（cm），AB=6cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB=10cm故選C【點(diǎn)評】本題考查了

6、平面展開最短路徑問題，本題就是把長方體的側(cè)面展開“化立體為平面”，用勾股定理解決2.（2016春繁昌縣期末）如圖，是一長、寬都是3cm，高BC=9cm的長方體紙箱，BC上有一點(diǎn)P，PC=BC，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿紙箱表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是（）A6cmB3cmC10cmD12cm【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】將圖形展開，可得到安排AP較短的展法兩種，通過計(jì)算，得到較短的即可【解答】解：（1）如圖1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在RtADP中，AP=3cm；（2）如圖2，AC=6cm，CP=3+3=6cm，RtADP中，AP=6cm綜上，螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿紙箱表面爬

7、行到點(diǎn)P的最短距離是6cm故選A【點(diǎn)評】本題考查了平面展開最短路徑問題，熟悉平面展開圖是解題的關(guān)鍵3.（2016大悟縣二模）如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從A點(diǎn)繞到正上方B點(diǎn)共四圈，已知易拉罐底面周長是12cm，高是20cm，那么所需彩帶最短的是（）A13cmB4cmC4cmD52cm【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】要求彩帶的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時(shí)，借助于勾股定理【解答】解：由圖可知，彩帶從易拉罐底端的A處繞易拉罐4圈后到達(dá)頂端的B處，將易拉罐表面切開展開呈長方形，則螺旋線長為四個(gè)長方形并排后的長方形的對角線長，易

8、拉罐底面周長是12cm，高是20cm，x2=（12×4）2+202，所以彩帶最短是52cm故選D【點(diǎn)評】本題考查了平面展開最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決4.（2016游仙區(qū)模擬）長方體敞口玻璃罐，長、寬、高分別為16cm、6cm和6cm，在罐內(nèi)點(diǎn)E處有一小塊餅干碎末，此時(shí)一只螞蟻正好在罐外壁，在長方形ABCD中心的正上方2cm處，則螞蟻到達(dá)餅干的最短距離是多少cm（）A7BC24D【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】做此題要把這個(gè)長方體中螞蟻所走的路

9、線放到一個(gè)平面內(nèi)，在平面內(nèi)線段最短，根據(jù)勾股定理即可計(jì)算【解答】解：若螞蟻從平面ABCD和平面CDFE經(jīng)過，螞蟻到達(dá)餅干的最短距離如圖1：HE=7，若螞蟻從平面ABCD和平面BCEH經(jīng)過，則螞蟻到達(dá)餅干的最短距離如圖2：HE=故選B【點(diǎn)評】考查了平面展開最短路徑問題，此題的關(guān)鍵是明確兩點(diǎn)之間線段最短這一知識點(diǎn)，然后把立體的長方體放到一個(gè)平面內(nèi)，求出最短的線段5.（2015秋宜興市校級期中）如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是10cm【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】此題最直接的解法，就是將圓柱展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答

10、【解答】解：底面圓周長為2r，底面半圓弧長為r，即半圓弧長為：×2×=6（cm），展開得：BC=8cm，AC=6cm，根據(jù)勾股定理得：AB=10（cm）故答案為：10【點(diǎn)評】此題主要考查了立體圖形的展開和兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出展開圖，表示出各線段的長度四：網(wǎng)格問題（簡單）1、在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則ABC中BC邊上的高為 答案：設(shè)ABC中BC邊上的高為hAB 2 =5，AC 2 =20，BC 2 =25，BC 2 =AB 2 +AC 2 ，A=90°，S ABC = ABAC= BCh，即 =5h解得，h

11、=2故答案是：22. 如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”如圖（一）中四邊形ABCD就是一個(gè)“格點(diǎn)四邊形”（1）求圖（一）中四邊形ABCD的面積；（2）在圖（二）方格紙中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形EFG，使EFG的面積等于四邊形ABCD的面積且為軸對稱圖形圖（一） 圖（二）答案：解：（1）方法一：S×6×412方法二：S4×6×2×1×4×1×3×4×2×312（2）（只要畫出一種即可）3、如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的

12、三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上請按要求完成下列各題：（1）畫ADBC（D為格點(diǎn)），連接CD；（2）試判斷ABC的形狀？請說明理由；答案：（1）圖象如圖所示；（2）由圖象可知AB²=1²+2²=5，AC²=2²+4²=20，BC²=3²+4²=25，BC²=AB²+AC²，ABC是直角三角形。4、如圖，是一塊由邊長為20cm的正方形地磚鋪設(shè)的廣場，一只鴿子落在點(diǎn)A處，它想先后吃到小朋友撒在B、C處的鳥食，則鴿子至少需要走多遠(yuǎn)的路程？答案：AB=5cm，BC=13cm所以其最短路程為18cm

13、（難題）5、如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。 （1）直接寫出單位正三角形的高與面積。 （2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？ （3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。 【答案】（1）單位正三角形的高為，面積是。 （2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個(gè)單位正三角形，因此其面積。 （3）過A作AKBC于點(diǎn)K（如圖所示），則在RtACK中， ，故五：方位角問題1、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了m到達(dá)B點(diǎn)，然后再

14、沿北偏西30°方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離；（2）確定目的地C在營地A的什么方向？2、甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，沒有了水，需要尋找水源為了不致于走散，他們用兩部對話機(jī)聯(lián)系，已知對話機(jī)的有效距離為15千米早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時(shí)的速度向東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米/時(shí)的速度向北行進(jìn)，上午10：00，甲、乙二人相距多遠(yuǎn)？還能保持聯(lián)系嗎？ 答案：如圖,甲從上午8：00到上午10：00一共走了2小時(shí),走了12千米,即OA=12乙從上午9：00到上午10：00一共走了1小時(shí),走了5千米,即OB=5在RtOAB中,AB2=122十52=169

15、,AB=13,因此,上午10：00時(shí),甲、乙兩人相距13千米1513,甲、乙兩人還能保持聯(lián)系答：上午10：00甲、乙兩人相距13千米,兩人還能保持聯(lián)系3、如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，3小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島.若C、B兩島相距60海里，問乙船的航速是多少？答案：從兩船航行的方向看,北偏東40度和南偏東50度的夾角為90ACAB甲船速度每小時(shí)16海里,所以AC=16×3=48海里AB²=BC²-AC²=3600-2304=1296AB=36所以乙船速度為每小時(shí)：36÷3=12海里4、如圖，北海海面上，一艘解放軍軍艦正在基地A的正東方向且距A地40海里的B處訓(xùn)練，突然接基地命令，要該艦前往C島，接送一病危漁民到基地醫(yī)院救治，已知C島在A的北偏東60方向，且在B北偏西45方向，軍艦從B處出發(fā)，