高等數(shù)學(xué)基本知識點大全大一復(fù)習(xí),考研必備

1、-作者xxxx-日期xxxx高等數(shù)學(xué)基本知識點大全大一復(fù)習(xí),考研必備【精品文檔】大一期末復(fù)習(xí)和考研復(fù)習(xí)必備高高等數(shù)學(xué)基本知識點【精品文檔】一、函數(shù)與極限1、集合的概念 、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集。記作R。、鄰域：設(shè)與是兩個實數(shù)，且0.滿足不等式x-的實數(shù)x的全體稱為點的鄰域，點稱為此鄰域的中心，稱為此鄰域的半徑。2、函數(shù)、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則

2、f總有確定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母"f"、"F"表示y與x之間的對應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域

3、和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等。、域函數(shù)的表示方法a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：笛卡爾直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點的圓的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：將一系列的自變量值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。c)：圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例：笛卡爾直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點的圓用圖示法表示為：3、函數(shù)的簡單性態(tài)、函

4、數(shù)的有界性：如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有f(x)M成立，其中M是一個與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在(-,+)內(nèi)是有界的.、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當(dāng)x1x2時，有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當(dāng)x1x2時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。例題：函數(shù)=x2在區(qū)間(-,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+)

5、上是單調(diào)增加的。、函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足=-，則叫做奇函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。、函數(shù)的周期性對于函數(shù)，若存在一個不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式對于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以為周期的周期函數(shù)。4、反函數(shù)、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng)，即，那末變量x是變量y的函數(shù).這個函數(shù)用來表示，稱為函數(shù)的反函數(shù).注

6、：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。 、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域為 R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增(減).注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減)例題：y=x2，其定義域為(-,+)，值域為0,+).對于y取定的非負(fù)值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-,+)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x0，則對y0、x=就是y=x2在要求x0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減). 、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們

7、的圖形在同一笛卡爾直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所示： 5、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。因為對于的定義域(-,+)中的任何x值所對應(yīng)的u值（都大于或等于2），使都沒有定義。6、初等函數(shù)、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用

8、表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù) a):不論x為何值,y總為正數(shù); b):當(dāng)x=0時,y=1.對數(shù)函數(shù) a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點 b):當(dāng)a1時,在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。 令a=m/n a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函數(shù); b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù); c):當(dāng)m奇n偶時,y在(-,0)無意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù)) 這里只寫出了正弦函數(shù)

9、60;a):正弦函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù) b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù) a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在-/2,/2上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).例題：是初等函數(shù)。7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦a)：其定義域為:(-,+)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦a)：其定義域為:(-

10、,+)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(0,1)；雙曲正切a)：其定義域為:(-,+)；b)：是奇函數(shù)；c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a)：反雙曲正弦函數(shù)   其定義域為：(-,+)；b)：反雙曲余弦函數(shù)   其定義域為：1,+)；c)：反雙曲正切函數(shù)  

11、  其定義域為：(-1,+1)；8、數(shù)列的極限我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。 、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個數(shù)a1，第二個數(shù)a2，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應(yīng)著一個確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，an，為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項。第n項an叫做數(shù)列的一般項或通項.注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù) 、極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。、數(shù)列的極限：一般地，對于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存

12、在正整數(shù)N，使得對于nN時的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a .記作：或注：此定義中的正數(shù)只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)是有關(guān)的，它是隨著的給定而選定的。、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的鄰域即開區(qū)間(a-，a+)，如下圖所示：          &#

13、160;                  因不等式與不等式等價，故當(dāng)nN時，所有的點都落在開區(qū)間(a-，a+)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。 、數(shù)列的有界性：對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，

14、但不是充分條件。例：數(shù)列  1，-1，1，-1，(-1)n+1，  是有界的，但它是發(fā)散的。9、函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x0，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義

15、：設(shè)函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式 的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式                                  那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x時的極限，記作：下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比

16、一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)0，總可找到一正整數(shù)N，對于nN的所有都滿足則稱數(shù)列，當(dāng)x時收斂于A記：。存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)0，總可找到一正數(shù)X，對于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x時的極限為A，記：。b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。我們先來看一個例子.例：函數(shù)，當(dāng)x1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點，為此我們把x1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖:從中我們可以看出x1時，2.而且只要x與1有多接近，就與2有多接近.或說：只要與2只差一個微量，就一定可以找到一個，當(dāng)時滿

17、足定義：設(shè)函數(shù)在某點x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對任意給定的(不論其多么小)，總存在正數(shù)，當(dāng)0時，則稱函數(shù)當(dāng)xx0時存在極限，且極限為A，記：。注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因為我們只討論xx0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對給出的，是否存在正數(shù)，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？     a):先任取0；     b):寫出不等式；    c):解不等

18、式能否得出去心鄰域0，若能；    d):則對于任給的0，總能找出，當(dāng)0時，成立，因此10、函數(shù)極限的運算規(guī)則、函數(shù)極限的運算規(guī)則   若已知xx0(或x)時，.則：                   推論：     在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一

19、下左、右的概念。 我們先來看一個例子：例：符號函數(shù)為對于這個分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。定義：如果x僅從左側(cè)(xx0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的左極限.記：如果x僅從右側(cè)(xx0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的右極限.記：注：只有當(dāng)xx0時，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在xx0時有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則   準(zhǔn)則一：對于點x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x)有，且，那末存在，且等于A注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：單調(diào)有界

20、的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個重要的極限   一：注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045.二：例題：求解答：令，則x=-2t，因為x，故t，則注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x時，若用t代換1/x，則t0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個例子：已知函數(shù)，當(dāng)x0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)，當(dāng)時，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大量。記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）

21、同樣我們可以給出當(dāng)x時，無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x時是無窮大量，記為：無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小)，總存在正數(shù)(或正數(shù)M)，使得對于適合不等式(或)的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)(或x)時 為無窮小量.記作：(或)注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無窮

22、小量的兩個定理定理一：如果函數(shù)在(或x)時有極限A，則差是當(dāng)(或x)時的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運算定理a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學(xué)的兩個無窮小量的比較。定義：設(shè)，都是時的無窮小量，且在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，a)：如果，則稱是的高階無窮小或是的低階無窮小；b)：如果，則稱和是同階無窮??；c)：如果，則稱和是等價無窮小，記作

23、：(與等價)例：因為，所以當(dāng)x0時，x與3x是同階無窮??；因為，所以當(dāng)x0時，x2是3x的高階無窮小；因為，所以當(dāng)x0時，sinx與x是等價無窮小。等價無窮小的性質(zhì)設(shè)，且存在，則.注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。例題：求 此題不能將其展開成兩個函數(shù)差的形式，因為X（3X）3的極限為無窮大，極限不存在，不符合等價無窮小的條件存在解答：注：注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的

24、.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念增量設(shè)變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：x即：x=x2-x1 增量x可正可負(fù).我們再來看一個例子：函數(shù)在點x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+x時，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對應(yīng)的增量為：這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)x趨向于零時，函數(shù)y對應(yīng)的增量y也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)在點x0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點.下面

25、我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點a右連續(xù).一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間a，b連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連

26、續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個問題：函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點.     它包括三種情形：a)：在x0無定義；b)：在xx0時無極限；c)：在xx0時有極限但不等于；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點的類型：例1： 正切函數(shù)在處沒有定義，所以點是函數(shù)的間斷點，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點；例2：函數(shù)在點x=0處沒有定義；故當(dāng)x0時，函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次，我們就稱點x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點；  例3：函數(shù)當(dāng)x0時，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等

27、，故函數(shù)在點x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下:可去間斷點若x0是函數(shù)的間斷點，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點。此時函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但。我們令，則可使函數(shù)在點x0處連續(xù)，故這種間斷點x0稱為可去間斷點。間斷點的分類我們通常把間斷點分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點連續(xù)

28、的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結(jié)論：a)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；b)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；c)：兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù)(分母在該點不為零)；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間-1,1上也是單調(diào)增且連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)當(dāng)xx0時的極限存在且等于a，即：.而函數(shù)在點u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)xx0時的極限也存在且等于.即：例題：求解答：設(shè)函數(shù)在點x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點

29、u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點x=x0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明)   例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間0，2上連續(xù)，則在點x=/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間0，2上其它各點出的函數(shù)值；則在點x=3/2處，它的函數(shù)值為-1，且小于

30、閉區(qū)間0，2上其它各點出的函數(shù)值。介值定理    在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點的函數(shù)值間的任何值。即：，在、之間，則在a，b間一定有一個，使      推論： 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量x(x+x也在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若y與x之比當(dāng)x0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在點x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間

31、(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。    注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則   法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(

32、差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成： 函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則： 函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：，其中u為中間變量反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調(diào)連續(xù)的，

33、且，則它的反函數(shù)在點x可導(dǎo)，且有： 注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。即： 是對y求導(dǎo)，是對x求導(dǎo)例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：高階導(dǎo)數(shù)定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即：或.相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：，或，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，

34、所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時可運用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解答：，一般地，可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。隱函數(shù)的求導(dǎo)若已知F(x,y)=0，求時，一般按下列步驟進(jìn)行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前

35、面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)；b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。  例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù)解答：兩邊對x求導(dǎo)，故，當(dāng)x=0時，y=0.故。有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時，若對其直接求導(dǎo)有時很不方便，像對某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。例題：已知x0，求此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再

36、把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下解答：先兩邊取對數(shù)： ，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)因為，所以例題：已知，求此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)解答：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)因為，所以函數(shù)的微分函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于x的常數(shù)，是x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點x0可微的。叫做函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量x的微分，記作dy，即：=。通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量x的線性函數(shù)，dy與y的差是關(guān)于x的高階無窮小量，我們把dy稱作y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)x0

37、時，ydy.導(dǎo)數(shù)的記號為： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。微分形式不變性    設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為：                        

38、;   ，   由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成                              由此可見，不論u是自變量還是中間變量，的微分dy總可以用與du的乘積來表示，   我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。   例題：

39、已知，求dy   解答：把2x+1看成中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則           基本初等函數(shù)的微分公式    由于函數(shù)微分的表達(dá)式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式)導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分運算法則   由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出相應(yīng)的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運算法則與導(dǎo)數(shù)的運算法則對照

40、一下：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則   例題：設(shè)，求對x3的導(dǎo)數(shù)   解答：根據(jù)微分形式的不變性         三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分學(xué)中值定理    設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(ab)，假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，          

41、0;                    差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，那么至少有一次機會達(dá)到離割線最遠(yuǎn)的一點P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此                 

42、          成立。   注：這個結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理   如果函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使                      

43、60;   成立。   這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下：   若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使成立。      下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理柯西中值定理柯西中值定理   如果函數(shù)，在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點c，使成立。   例題：證明方程在0與1之間至少有一個實根   

44、 證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：         函數(shù)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理         可知，在0與1之間至少有一點c，使，即         也就是：方程在0與1之間至少有一個實根未定式問題    問題：什么樣的式子稱作未定式呢？   答案：對于函數(shù),來說，當(dāng)xa(或x)時，函

45、數(shù),都趨于零或無窮大      則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。分別記為型   我們?nèi)菀字溃瑢τ谖炊ㄊ降臉O限求法，是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的，那么我們該如何求這類問題的極限呢？   下面我們來學(xué)習(xí)洛必達(dá)(L'Hospital)法則，它就是這個問題的答案   注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。羅彼塔(L'Hospital)法則   當(dāng)xa(或x)時，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點a的某個

46、去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)xN)時，與都存在，0，且存在     則：=  這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則   例題：求   解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因為它是未定式中的型求解問題，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。             例題：求   解答：此題為未定式中的型求

47、解問題，利用羅彼塔法則來求解            另外，若遇到 、 、 、 等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。   例題：求   解答：此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解，              注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當(dāng)存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時，也不存在

48、，此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。函數(shù)單調(diào)性的判定法   設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).   a)：如果在(a,b)內(nèi)0，那末函數(shù)在a,b上單調(diào)增加；   b)：如果在(a,b)內(nèi)0，那末函數(shù)在a,b上單調(diào)減少.函數(shù)的極值及其求法函數(shù)極值的定義  設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點.  若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外)，均成立，    則說是函數(shù)的一個極大值；  若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0

49、點除外)，均成立，    則說是函數(shù)的一個極小值.  函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。   學(xué)習(xí)這個問題之前，我們再來學(xué)習(xí)一個概念駐點  凡是使的x點，稱為函數(shù)的駐點。  判斷極值點存在的方法有兩種：如下方法一：  設(shè)函數(shù)在x0點的鄰域可導(dǎo)，且.  情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時，0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時，0，           則函數(shù)在x0點取極大值。&

50、#160; 情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時，0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時，0，           則函數(shù)在x0點取極小值。  注：此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點不存在的情況。  用方法一求極值的一般步驟是：     a)：求；     b)：求的全部的解駐點；     c)：判斷在駐點兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。方法二：  設(shè)函數(shù)在x0

51、點具有二階導(dǎo)數(shù)，且時.   則：a)：當(dāng)0，函數(shù)在x0點取極大值；       b)：當(dāng)0，函數(shù)在x0點取極小值；       c)：當(dāng)=0，其情形不一定，可由方法一來判定.  例題：求極值點   解答：先求導(dǎo)數(shù)       再求出駐點：當(dāng)時，x=-2、1、-4/5       判定函數(shù)的極值，如下圖所示&#

52、160;                   例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。    解答：上面我們已求出了此函數(shù)的駐點，下面我們再來求它的二階導(dǎo)數(shù)。              ，故此時的情形不確定，我們可由方法一來判定；   

53、60;   0，故此點為極大值點；       0，故此點為極小值點。函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用     怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。要求在a,b上的最大值、最小值時，可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點，加上端點的值，從中取得最大值、最小值即為所求。   例題：求函數(shù)，在區(qū)間-3，3/2的最大值、最小值。   解答：在此區(qū)間處處可導(dǎo)，     

54、;   先來求函數(shù)的極值，故x=±1，        再來比較端點與極值點的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。        因為，        故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。曲線的凹向與拐點   通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進(jìn)一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。定義：&#

55、160; 對區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I凸，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I凹。曲線凹向的判定定理  定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是：           導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。  定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末：         &

56、#160; 若在(a,b)內(nèi)，0，則在a,b對應(yīng)的曲線是凹的；           若在(a,b)內(nèi)，0，則在a,b對應(yīng)的曲線是凸的；  例題：判斷函數(shù)的凹向   解答：我們根據(jù)定理二來判定。       因為，所以在函數(shù)的定義域(0,+)內(nèi)，0，       故函數(shù)所對應(yīng)的曲線時下凹的。拐點的定義  連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱

57、為此曲線上的拐點。拐定的判定方法  如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定的拐點。      (1)：求；      (2)：令=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實根；      (3)：對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。  例題：求曲線的拐點。   解答：由，    &

58、#160;   令=0，得x=0，2/3        判斷在0，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號，可知此兩點皆是曲線的拐點。四、不定積分不定積分的概念 不定積分的概念   函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作。   由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族F(x)+C.          &

59、#160;                   即:=F(x)+C  不定積分的性質(zhì)  1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和；    即：  2、求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，    即： 求不定積分的方法換元法  換元法（一）：設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=g

60、(x)可導(dǎo)，那末Fg(x)是fg(x)g'(x)的原函數(shù).               即有換元公式:   例題：求   解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。         設(shè)u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：      &

61、#160;     換元法（二）：設(shè)x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且g'(t)0，又設(shè)fg(t)g'(t)具有原函數(shù)(t)，                則g(x)是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)）              

62、60; 即有換元公式:   例題：求   解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元.         設(shè)x=asint(-/2<t</2)，那末，dx=acostdt,于是有：           關(guān)于換元法的問題  不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的，我們應(yīng)根據(jù)具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此要

63、想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習(xí)。分部積分法   這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。   設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道，兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為：                      (uv)'=u'v+uv'，移項，得    &

64、#160;                  uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得：                       ，關(guān)于分部積分法的問題  在使用分

65、部積分法時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點：           (1)v要容易求得；(2)容易積出。原則：反、對、冪、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分舉例 有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式，反之為真分式。  在求有理函數(shù)的不定積分時，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求之。 

66、60; 例題：求   解答：         三角函數(shù)的有理式的積分舉例   三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)。   例題：求   解答：五、定積分及其應(yīng)用定積分的概念  我們先來看一個實際問題求曲邊梯形的面積。  設(shè)曲邊梯形是有連續(xù)曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成。如下圖所示：       

67、60;                     現(xiàn)在計算它的面積A.我們知道矩形面積的求法，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？  我們知道曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區(qū)間a,b上變動，而且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當(dāng)區(qū)間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。因此，如果把區(qū)間a,b分成許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，用其中某一點的高來近似代替同一個

68、小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們再根據(jù)矩形的面積公式，即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個曲邊梯形的近似值。  顯然：把區(qū)間a,b分的越細(xì)，所求出的面積值越接近于精確值。為此我們產(chǎn)生了定積分的概念。定積分的概念   設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干個分點                       a=x0<x

69、1<.<xn-1<xn=b   把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間                      x0，x1，.xn-1,xn,   在每個小區(qū)間xi-1,xi上任取一點i(xi-1ixi),作函數(shù)值f(i)與小區(qū)間長度的乘積f(i)xi，       &#

70、160;              并作出和，   如果不論對a,b怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點i怎樣取法，只要當(dāng)區(qū)間的長度趨于零時，和S總趨于確定的極限I，  這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，                  &

71、#160;   記作。即：關(guān)于定積分的問題  我們有了定積分的概念了，那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時才可積？  定理（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。   （2）：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。定積分的性質(zhì)  性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）.           即：  性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常

72、數(shù)因子可以提到積分號外面.           即：  性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間a,b上，f(x)g(x)，則  （a<b)  性質(zhì)(4)：設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，則 m(b-a)M(b-a)  性質(zhì)(5)：如果f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一點，使下式成立：          =f()(b-a)

73、0;         注：此性質(zhì)就是定積分中值定理。微積分積分公式 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)  設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，并且設(shè)x為a,b上的一點.現(xiàn)在我們來考察f(x)在部分區(qū)間a,x上的定積分,我們知道f(x)在a,x上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。  如果上限x在區(qū)間a,b上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個對應(yīng)值，所以它在a,b上定義了一個函數(shù)，記作(x):   注意：為了明確起見，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無關(guān)）  定理(1)：如果函

74、數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在a,b上具有導(dǎo)數(shù)，           并且它的導(dǎo)數(shù)是  （axb)      (2)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)就是f(x)在a,b上的一個原函數(shù)。  注意：定理（2）即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。牛頓-萊布尼茲公式  定理(3)：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù)，則

75、60;           注意：此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它進(jìn)一步揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分）之間的聯(lián)系。定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法  我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù)。因此，在一定條件下，可以用換元法來計算定積分。  定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間m,n上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)t在區(qū)間m,n上變化時，x=g(t)的值在a,b上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分

76、的換元公式:         例題:計算  解答:設(shè)x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=a時，t=/2.于是：        注意：在使用定積分的換元法時，當(dāng)積分變量變換時，積分的上下限也要作相應(yīng)的變換。定積分的分部積分法  計算不定積分有分部積分法，相應(yīng)地，計算定積分也有分部積分法。  設(shè)u(x)、v(x)在區(qū)間a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u

77、9;v+uv',分別求此等式兩端在a,b上的定積分，并移向得：  上式即為定積分的分部積分公式。  例題：計算  解答：設(shè)，且當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=1時，t=1.由前面的換元公式得：        再用分部積分公式計算上式的右端的積分。設(shè)u=t,dv=etdt,則du=dt,v=et.于是：                故：廣義積分 

78、  在一些實際問題中，我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無窮間斷點的積分，它們已不屬于前面我們所學(xué)習(xí)的定積分了。為此我們對定積分加以推廣，也就是廣義積分。一：積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分   設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,+)上連續(xù)，取b>a.如果極限                              存在，   則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a,+）上的廣義積分，