揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)發(fā)展數(shù)學(xué)思維-2019年文檔

1、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)發(fā)展數(shù)學(xué)思維俗話說“吃什么比怎樣吃更重要”， 同樣，有效教學(xué)不僅要關(guān)注“怎樣教”， 更要關(guān)注“教什么” . 前者關(guān)注教學(xué)形式， 而后者關(guān)注教學(xué)內(nèi)容， 教學(xué)形式服務(wù)于教學(xué)內(nèi)容 . 從“教什么”的視角來看提升教師對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的把握是提高數(shù)學(xué)課堂有效性的重要途徑， 有了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的深刻理解，才有課堂上教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的關(guān)注，進(jìn)而提高課堂效率，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué) . 本文通過有理數(shù)的乘法和方程本質(zhì)及混合運(yùn)算中先乘除后加減的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解解析， 來闡述如何把握學(xué)科知識(shí)本質(zhì)， 實(shí)現(xiàn)有效教學(xué) .案例一：對(duì)“有理數(shù)乘法”數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解有理數(shù)的乘法是一種規(guī)定，是人為定義的， 它的正確性不是源于邏輯

2、證明，而是依賴于數(shù)學(xué)和諧和發(fā)展的需要.在自然數(shù)集上，規(guī)定乘法是數(shù)自身連加的縮寫，如3+3+3+3=3×4=12，且乘法滿足交換律和分配律，有理數(shù)集合上的乘法是自然數(shù)集的推廣，推廣的工具是交換律和分配律.乘法是加法的簡便運(yùn)算，對(duì)于“乘數(shù)是正數(shù)”的情況，即“正數(shù)乘正數(shù)”和“負(fù)數(shù)乘正數(shù)”很好理解；如4×3表示3 個(gè)4 相加；（-4）×3是3 個(gè)-4加起來，所以結(jié)果是-12.按照這個(gè)規(guī)定，第一個(gè)乘數(shù)表示連加的有理數(shù)，第二個(gè)乘數(shù)表示連加的個(gè)數(shù)，乘積表示連加的結(jié)果.對(duì)于“乘數(shù)是負(fù)數(shù)”的情況，沿用“第一個(gè)乘數(shù)自身連加”是行不通的， 這就必須從負(fù)數(shù)的本質(zhì)入手負(fù)數(shù)與正數(shù)表示相反意義

3、的量， 所以“第二個(gè)乘數(shù)為負(fù)數(shù)”時(shí)， 就可以表示為“第一個(gè)乘數(shù)自身連減”， 如 4×（-4 ）表示 4 個(gè) 4 連減，即 4×（-4 ） =-4-4-4-4=-16 ；（ -4 ）×（ -4 ）表示 4 個(gè)-4 連減，即（ -4 ）×（ -4 ）= - （-4 ）- （-4 ）- （-4 ）- （ -4 ） =16. 同乘數(shù)是正數(shù)的情況類似， 第一個(gè)乘數(shù)表示連減的有理數(shù)， 第二個(gè)乘數(shù)的相反數(shù)表示有理數(shù)的個(gè)數(shù)， 乘積表示連減的結(jié)果 . 易驗(yàn)證這種推廣滿足交換律和分配律 .總之，基于對(duì)“乘法是加法的簡便運(yùn)算”“第一個(gè)乘數(shù)表示連加的有理數(shù)， 第二個(gè)乘數(shù)表示連加

4、的個(gè)數(shù)， 乘積表示連加的結(jié)果”“負(fù)數(shù)與正數(shù)表示相反意義的量”這些知識(shí)的本質(zhì)理解， 突破了“負(fù)負(fù)得正”這一教學(xué)難點(diǎn)， 這更是把握知識(shí)本質(zhì)的一種推廣和應(yīng)用 . 故只有把握了知識(shí)本質(zhì)，我們的教學(xué)才能返璞歸真、言之有理，學(xué)生才能應(yīng)用和有所創(chuàng)新 .案例二：對(duì)方程教學(xué)本質(zhì)的理解學(xué)習(xí)方程的價(jià)值在于會(huì)用方程解決問題， 重點(diǎn)就是讓學(xué)生掌握“建模”思想， 學(xué)會(huì)“化歸”方法 . 其中，前者是列方程的重點(diǎn)，后者是解方程的重點(diǎn) . 在教科書中， 對(duì)方程的定義是“含有未知數(shù)的等式”， 這是一個(gè)形式定義， 它的嚴(yán)謹(jǐn)性有很多值得商榷的問題（可以參見陳重穆淡化形式注重實(shí)質(zhì)一文），而筆者認(rèn)為形式的定義關(guān)鍵是不能把握方程的本質(zhì).方

5、程是描述現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系的一種工具 . 具體來說，方程就是描述現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)量有關(guān)的兩個(gè)故事， 其中用字母表示未知量 . 這兩個(gè)故事有一個(gè)共同點(diǎn)，在這個(gè)共同點(diǎn)上數(shù)量相等 . 即對(duì)同一個(gè)量用兩種方式來表達(dá) . 這是方程的本質(zhì)， 也是列方程的基本原則 .例 1 在一個(gè)房間里，有 4 條腿的椅子和 3 條腿的凳子共 16 個(gè)，如果椅子腿和凳子腿加起來共 60 個(gè)，有幾把椅子和幾個(gè)凳子？分析 方程的特點(diǎn)是用字母表示數(shù)，這個(gè)數(shù)就叫未知數(shù).如果用 x 表示椅子的數(shù)量，那么凳子的數(shù)量就是 16-x. 根據(jù)同一個(gè)量用兩種方式加以表示：總腿數(shù)可以用 60 表示，總腿數(shù)還可以用椅子的腿數(shù)加凳子的腿數(shù)表示， 即

6、60= 總腿數(shù) =椅子的腿數(shù) + 凳子的腿數(shù)，抽象成方程： 60=4x+3×（ 16-x ）.從這個(gè)列方程的過程中學(xué)生會(huì)更好地體會(huì)方程的本質(zhì)， 感悟到方程是如何描述現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系的 .例 2 某商店對(duì)某種照相機(jī)的售價(jià)做了調(diào)整，按原價(jià)的八折出售，此時(shí)的利潤為 14%，若此種照相機(jī)的進(jìn)價(jià)為 1200 元， ?t該照相機(jī)的原售價(jià)是多少元？分析 如果用 x 表示原售價(jià)，則根據(jù)同一個(gè)量（利潤）用兩種方式來表示可構(gòu)造方程：利潤可以由利潤率乘進(jìn)價(jià)表示，利潤還可以用售價(jià)減進(jìn)價(jià)表示，即利潤率×進(jìn)價(jià)=利潤 =售價(jià) - 進(jìn)價(jià)，可抽象成方程： 0.8x- 1200=14%×1200

7、.總之，基于以上對(duì)方程本質(zhì)的探究可以看出，數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅限于形式化的表達(dá)，還要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解 . 只有如此，學(xué)生才能學(xué)得輕松高效 . 更重要的是， 掌握了知識(shí)本質(zhì)， 才能促成正遷移形成技能， 也唯有如此， 課堂教學(xué)才能真正實(shí)現(xiàn)從有效到高效 .著名教育學(xué)家張奠宙教授說：“一個(gè)數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長的核心是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)的把握. ”案例三：“混合運(yùn)算中先乘除后加減”的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解在混合運(yùn)算中，關(guān)于運(yùn)算次序有兩個(gè)基本法則：有括號(hào)，先算括號(hào)中的算式；沒有括號(hào)，先乘除后加減 . 顯然，一部分教師會(huì)說這兩個(gè)基本法則是一種規(guī)定， 可是為什么要這樣規(guī)定？這樣規(guī)定合理嗎？那么， 合理性表現(xiàn)在哪里呢？或者說

8、這樣規(guī)定的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？例 3 操場(chǎng)上原來有3 名同學(xué)，又來了一隊(duì)同學(xué)，這隊(duì)同學(xué)每排有 2 名同學(xué)，共有4 排，問現(xiàn)在操場(chǎng)上有多少名同學(xué).分析 這個(gè)問題中包含了兩個(gè)故事，一是原來的同學(xué)，二是后來的同學(xué)，所以同學(xué)數(shù)=原來的同學(xué) +后來的同學(xué) =3+2×4.可以看出，先算乘法是為了完成一個(gè)故事：后來的同學(xué)數(shù)，因此可以看出所有的混合運(yùn)算的本質(zhì)是講述兩個(gè)或兩個(gè)以上的故事，而乘法或除法是在完成其中的一個(gè)故事 . 即先計(jì)算每一個(gè)具體的故事， 然后再計(jì)算整體的故事， 這就是混合運(yùn)算的數(shù)學(xué)本質(zhì)，用數(shù)學(xué)語言描述就是先乘除后加減 .近年來，實(shí)際教學(xué)中的教學(xué)本質(zhì)常被兩種活動(dòng)所掩蓋，一種是過度的形式化，把光彩照人的數(shù)學(xué)用“X光”照成了一副“骨架”，另一種是教條式的教學(xué)改革，只圖表面熱鬧，缺乏效率，走過場(chǎng) .實(shí)際上，數(shù)學(xué)教育的核心是體現(xiàn)“數(shù)學(xué)思