數(shù)學(xué)練習(xí)題考試題高考題教案高考解答題專題訓(xùn)練三立體幾何參考答案

1、1 （）證明：連結(jié)BD交 AC 于E，連結(jié) ME.ABCD 是正方形，E是BD的中點(diǎn) . M 是 SD 的中點(diǎn)，ME 是DSB 的中位線 . ME / SB. 又 ME平面ACM，3 分又 SB平面 ACM ， SB / 平面 ACM .4 分（）解：取 AD 中點(diǎn) F ，則 MF / SA. 作FQAC 于 Q，連結(jié) MQ .5 分 SA底面 ABCD ， MF底面 ABCD . cosAS, nAS n13,| n | 133| AS|二面角 DACM 的大小為 arccos3 9分113（III ）AM,0,， CS1,1,1，22ACBC1CC2，ACBC，AC、 BC、CC1 兩兩垂

2、直.如圖， 以 C 為原點(diǎn)， 直線 CA， CB， CC1 分別為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 C (0，0，0)，A(2，0，0)， B(0，2，0)，C1(0，0，2)，D(1，1，0).（）證明：設(shè) BC1 與 B1C 的交點(diǎn)為 E ，則 E(011)，.， BCPA . 2 分同理 CDPA ， 4 分 PA平面 ABCD 5 分（）解：設(shè) M 為 AD 中點(diǎn)，連結(jié) EM ，又 E 為 PD中點(diǎn)，可得EM / PA ，從而 EM底面 ABCD 過M 作AC的垂線 MN ，垂足為 N,連結(jié)EN由三垂線定理有ENAC ，ENM 為二面角EACD 的平面角 .7 分

3、FQ 為 MQ 在平面 ABCD 內(nèi)的射影 .FQAC , MQAC .FQM 為二面角 DACM 的平面角 .7分設(shè) SAABa ，在 RtMFQ 中，z1 SAa , FQ1 DE2 a ，SMF2224aMN tan FQM22 .2Aa4DCx二面角 D AC M 的大小為 arctan2 .9 分（III ）證明：由條件有 DCSA, DCDA, DC平面SAD ， AMDC .10分又 SA AD , M 是 SD 的中點(diǎn)， AMSD. AM平面 SDC .11分 SC AM.由已知 SCMN , SC平面 AMN .又 SC 平面 SAC, 平面 SAC平面 AMN .方法二：解

4、：（ II ）如圖，以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz ，5 分由 SA AB 故設(shè) AB AD AS 1，則A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0),D (1,0,0), S(0,0,1), M ( 1 ,0, 1 )SA底面 ABCD ，22 AS 是平面 ABCD 的法向量， AS (0,0,1)設(shè)平面 ACM 的法向量為 n(x, y, z) ,AC(1,1,0), AM(1 ,0, 1),7 分22nACxy00,0,1則AM即 1x 0z0.n0.22yx,令 x 1 ,則 n(1,1,1) .AMCS11AMCS12 分202又SCAN且AN AMA

5、SC平面 AMN .又 SC平面 SAC,平面 SAC 平面 AMN .14 分2（）證明： 連結(jié) BC1 ，設(shè) BC1 與 B1C 的交點(diǎn)為 E ，連結(jié) DE.D 是 AB的中點(diǎn)， E 是 BC1 的中點(diǎn)，DE / AC1 . . 3 分BDE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，yAC1 / 平面 CDB1. . 4 分（）解： 設(shè)點(diǎn) B 到 平面 CDB1的距離為 h.在三棱錐 B1BCD 中，VB1 BCDVB B1CD ，且 B1B平面 BCD ，S BCDB1 BS B1CDh.易求得 S BCD1 ，S B1CD13 ，CD B1D2hS BCDB1B23 .S B1CD3即點(diǎn)

6、B 到 平面 CDB1的距離是23.9分3BC于點(diǎn)F，過（）解：在平面ABC 內(nèi)作 DF點(diǎn)F作FGB1C 于點(diǎn) G ，連結(jié) DG .易證明DF平面 BCC1B1 ， 從而 GF 是 DG 在平面 BCC1 B1 內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理得B1C GD .DGF 是二面角 BB1CD 的平面角易求得DF11，ACC 12B 1GF1 BE2 .A 1E22在RtDFG中，GDFtDGFaC2n，F(xiàn)BGF二面角 BB1 CD 的D大小是 arctanA2.14分解法二：在直三棱柱 ABC 1A1B1中C，DE ( 101)， ， AC( 202)1， ，DE11.， DE ACAC /1在 Rt

7、EMN 中，可求得 EM2 ,DE平面 CDB1，AC121, MN平z面 CDB1，EM2AC1 / 平面 CDB1.C 1 tan ENM2 9 分B 1MN（）解：設(shè)點(diǎn) B 到A 1二面角 EACD 的大小為 arctan 2平面CDB1 的距離E（）解：由 E 為 PD 中點(diǎn)可知 , 要使得點(diǎn) E 到平為 h .在三棱 錐G面 PAF 的距離為 25 ，即要點(diǎn) D 到平面 PAF 的B1 BCD中，F(xiàn)VB1BCDVBB1CDCBy5D，且 B1B平面 BCD ，距離為 45 .過 D作AF的垂線DG，垂足A5S BCDB1 BS B1CDhx為G,PA平面 ABCD ，平面 PAF平面

8、易求得ABCD ， DG平面 PAF ，即DG為點(diǎn) D到1S B1 ，CBC， CD 3DBDDS14512平面 PAF 的距離 . DG，hS BCDB1 B23 .52 5S B1CD3 AG 12 分235即點(diǎn) B 到 平面 CDB1的距離是設(shè) BFx ，由ABF 與DGA 相似可得3. .9分BC于點(diǎn)F，過ABDG2（）解：在平面 ABC 內(nèi)作 DF2 ，即 x 1，點(diǎn)F作FGB1C 于點(diǎn) G ，連結(jié) DG .BFGAx易證明DF平面 BCC1 B1 ， 從而 GF 是 DG 在平在線段 BC 上存在點(diǎn) F ，且 F 為 BC 中點(diǎn)，使得點(diǎn)25 面 BCC1 B1 內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線

9、定理得B1CGD.E 到平面 PAF 的距離為DGF是二面角 BB1CD 的平面角 .5易知解法二：（）證明：同解法一（）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)A xyz ，1，1 ，111 ， ，GGF0，-1，GD1， -F(0 1 0)02222則 A(0，0，0)，C( 2，2，0)，E(0，1，1) .2 2cos GF，GDGF GD3 .設(shè) m( x, y, z) 為平面 AEC 的一個法向量，GF GD3則 mAE ， mAC 二面角 BB1 C3又 AE(0 ,1 ,1),AC(2 ,2 ,0),D 的大小是 arccos .yz0,31, 則 y1, z 1,2x2y令 x3解法一：0

10、.ABCD 為正方形，得 m(1,1, 1) 8 分（）證明：底面 BCAB ，又 BCPB ，又 AP(0,0,2) 是平面 ACD 的一個法向量， BC平面 PAB ，設(shè)二面角 EACD 的大小為，zx.則 coscos m, APm AP23 m AP3 23二面角 EAC D 的大小為 arccos32), n3（）解：設(shè)F (2，t，0)(0t(a,b,c) 為平面 PAF 的一個法向量，則nAP ， nAF 又 AP(0,0,2) ， AF( 2 ,t ,0),2c0,令 at ,則 b2, c0,2atb0.得 n (t , 2,0) 12 分又 AE(0 ,1 ,1),點(diǎn)E到平

11、面PAF的 距 離AE n2，22 5，nt 24t 245解得 t1 ，即 F (2，1，0) .在線段 BC 上存在點(diǎn) F ，使得點(diǎn) E 到平面 PAF 的距離為 25，且 F 為BC中點(diǎn)5GE平面 B1CD.xz.a,則m ( a, 1 a,a).GE平面 EB1D,平面 EB1 D平面 B1CD.1令zyz.22（ 3）連結(jié) EF.CDB1C,GF / CD, GFB1 C.由于平面AEF的一個法向量為又 EG平面 B1CD,EFB1 C.B1 F(a, a,2a),EFG是二面角 EB1 CD的平面角 .13故設(shè)B F與 m 所成角為 .設(shè)正方體的棱長為a,則在EFG中a, EFa,

12、 GF212GF3a21 a22a2cos EFG.B1 F mEF3cos213.二面角的余弦值為3分| B1 F | | m |6E B1CD.6aa1332解法 2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz.由于平面 AB 1E 與平面 AEF 所成的二面角為銳二則 A （ 0， 0，0）， B（ 2a， 0，0） ,C(0 ，2a， 0)面角，二面角 BAEF 的平面角的余弦值1A 1（ 0，0，2a）， B（ 2a，2，2a）， C1（ 0，2a，為 12a）（ 1）取 AB 的中點(diǎn) H，連結(jié) CH.二面角 B1AEF的正切值為 5 .6E (0,2a, a), D (a,0, a), H

13、(a,0,0)為二面角 E PFB 的平面角11 分PB BF2, Rt PBF 中， BM5PF tan EMBEB5 13 分BM2B-xyz,如圖，解法二：建立空間直角坐標(biāo)系則 B 0,0,0 ,A 2,0,0 , C 0,2,0，D 1,1,0，E 1,0,0 ， F0,1,0 ， P 0,0,2 .（） EF1,1,0 ， PD1,1,2 ，EF PD1 10EF PD . 4 分（）由已知可得， EF1,1,0 為平面 PBD 的法向量， PF0,1,2 , cos PF , EFPFEF110 ，PFEF1010直 線 PF 與面 PBD 所成角的正弦值為10 .10直 線 PF

14、 與面 PBD 所成的角為 arcsin 10.10（）設(shè)平面PEF 的一個法向量為ax, y, z，4解法 1：（ 1）取 A 1D，則 A 1D/B 1C知， B1C 與DE 所成角即為 A1D 與 DE 所成角，連結(jié)A 1E.由正方體 ABCD A 1B 1C1D1，可設(shè)其棱長為a，則A1D2a, A1 EDE5 a,2cosA1D2DE 2A1E210分A1 DE.32 A1D DE5（ 2）取 B 1C 的中點(diǎn) F， B 1D 的中點(diǎn) G，連結(jié) BF， EG，GF.CD 平面 BCC1 B1,且BF 平面 BCC1B1 DC BF.又 BF B1C,CD B1C C ,BF平面 B1

15、CD. GF1CD ，BE1CD ，22 BEGF，四邊形BFGE 是平行四邊形， BF/GE.CH (a, 2a,0), ED (a, 2a,0), CH / DE. CH 平面 ABC,而DE平面 ABC.4分DE / 面 ABC(1) B(2a,0,0), C(0,2a,0), F (a, a,0).B1 F( a, a,2a), EF(a,a,a), AF(a, a,0).B1 FEF(a)aa( a)(2a)(a) 0,E1F AF( a) aa a(2a)00,B1 FEF, B1FAF.EFAFF ,B1 F平面AEF .分)(8（ 3）設(shè)平面 AB 1E 的一個法向量為m( x

16、, y, z)AB1( 2a,0,2a), AE(0,2a, a),m AB12ax2az0, mAE2ay az 0,解法一 （） 連結(jié)BD在 ABC中，B90 .5: ABBC ，點(diǎn) D 為 AC 的中點(diǎn)， BDAC PB面ABC,即 BD 為 PD在平面 ABC內(nèi)的射影， PDAC 2 分 E、 F 分別為 AB、 BC 的中點(diǎn) , EF / AC , EFPD 4 分（） PB 平面 ABC, PBEF 連結(jié) BD 交 EF 于點(diǎn) O， EFPB， EFPD EF平面 PBD ，F(xiàn)PO 為直線 PF 與平面PBD 所成的角， EFPO .6 分面 ABC, PBAB，PBBC ，. P

17、B又PAB45 ， PBAB2 . OF12BF 25 ，AC， PFPB242在 Rt FPO 中， sinFPOOF10，PF10 FPOarcsin10 8 分10（）過點(diǎn) B 作 BMPF 于點(diǎn) F，連結(jié) EM ， ABPB, ABBC, AB平面 PBC, 即 BM為 EM在平面 PBC內(nèi)的射影， EMPF ，EMB EF1,1,0， PF0,1,2 aEFx y 0 ， a PFy 2z 0 ， 令z1，a2,2,1 由已知可得， 向量 BA2,0,0為平面 PBF 的一個法向量， cosa , BAa BA42 ，a BA323 tana , BA5.2二面角 EPFB 的正切值

18、為5. 14 分26證明：（） PA底面 ABCD ， PABC 又 AB BC， PAABA ， BC 平面 PAB 又 BC平面 PCB ，平面 PAB 平面 PCB （） PA底面 ABCD ， AC 為 PC 在平面 ABCD 內(nèi)的射影 又 PC AD ， AC AD在梯形 ABCD中，由 ABBC， AB=BC，得BAC，4P DCABACN H4又 AC AD， 故AED A C為等腰直角三角形MDC DC2 AC22 AB2AB 連接BD，交 AC于點(diǎn)M ，則 DMDC2.在 BPD 中， PEDMMBAB2， PD / EMEBMB又 PD 平面 EAC， EM 平面 EAC

19、，PD 平面 EAC（）在等腰直角PAB 中，取 PB 中點(diǎn) N ，連結(jié)AN ，則 ANPB 平面 PAB 平面 PCB ，且平面 PAB平面 PCB = PB ， AN平面 PBC 在平面 PBC 內(nèi)，過 N 作 NH直線 CE 于 H ，連結(jié)AH ，由于NH 是 AH 在平面 CEB 內(nèi)的射影，故AHCE AHN 就是二面角A CE P 的平面角12 分在 RtPBC 中，設(shè) CBa ，則PBPA2AB22a ，BE1 PB2 a ， NE 1 PB2 a ，3366CECB 2BE 211 a ，3由NHCE，EBCB可知：NEH CEB， NH CB .代入解得： NHa NECE22

20、在 Rt2a ， tan AHN11 AHN 中， AN2ANNH即二面角ACE P 的大小為 arctan 11解法二：（）以A 為原點(diǎn)，AB, AP 所在直線分別B 為 y 軸、 z 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè) PAABBCa ，則A 0,0,0， B0,a,0，Ca, a,0P0,0, a， E0, 2a , a.33設(shè) Da, y,0，則PCPa,a, a, ADa, y,0， CPAD ，N CPADa 2ay0 ，H解得： ya CEDC2AB B連結(jié) BD，交 AC于點(diǎn) M ，則 DMDC2.7分MBAB在 BPD 中， PEDM2 ，EBMBPD/EM 又PD平面 EAC，E

21、M平面 EAC， PD 平面 EAC（）設(shè) n1x, y,1 為平面 EAC的一個法向量，axay0,則 n1AC, n1AE ，2ay a30.3解得： x1 , y1， n1( 1 ,1,1)2222設(shè) n2x ', y ',1 為 平 面 EBC的一個法向量， 則n2BC, n2BE，又BC , 0a ,， 0a , a) ，ax '0,BE(0,ay 'a0,3333解得： x '0, y '1， n2 0,1,1 cos n1 , n2n1n2313分n1n26二面角 A CE P的大小為 arccos3 14分67法一：（I ）在直三

22、棱柱 ABCA1B1C1 中 , A1B1 / AB .BAC 是 A1B1 與 AC 所成的角 .2 分在 Rt ABC中， A BB,CA 9B 0C，BAC45.A1B1 與 AC 所成角為 45 .（II）取AC 中點(diǎn) E，連結(jié) DE,BE ，D是AC1的中 點(diǎn)，則DE/ AA.B11AA1平面A1ABC ，DE平面 ABC .則BE是BD在平FD面 ABC內(nèi)的射影 .ABBC ,BBEAC.AEBDAC.同理可證BDB1C .8 分又 ACB1CC， BD平面 ABC1 .（III ）取 AB1中點(diǎn) F ，連結(jié) CF , BF ，AB BB1 ,BFAB1ACBC2,CFAB .11

23、則 BFC 為二面角 CAB1B的平面角 .12分在 Rt BFC 中， BF21, FBC90 ，2, BC則 tan BFC2. BFC = arctan2 .14 分即二面角 CAB B 的大小為 arctan2 .1法二：（ I）同法一 .（ II ）建立空間直角坐標(biāo)系 Bxyz ，如圖，則 B(0,0,0) ， A(1,0,0) ， C (0,1,0), B1 (0,0,1) ，A1(1,0,1)， D （1,1,1).6 分222則 BD(1, 1, 1) ，AC( 1,1,0), AB1(1,0,1) .222BD AC0, BD AB10 .8 分BDAC, BDAB1 ，且

24、ACAB1A .BD平面 ABC1.9 分（III ）BCBB1, BCAB, ABBB1 B,BC平面 ABB1 .BC(0,1,0) 是平面 ABB1 的法向量 .由（ II ）可知 BD(1,1,1) 是平面 ABC 的法向22211BC BD3量 .cosBC,BD2| BC |BD|3.3C12ABB 的大小為 arccos3 .即二面角 C138 解法一：（）證明：平面 PAB平面 ABC ，平面 PAB平面CABCAB，且BC，BC平面 PAB.PA平 面PAB ，PABC .又PA PB，PA平面PBC .（）解：作 POAB 于點(diǎn) O ，OMAC于點(diǎn) M，連結(jié)PM.平面 PA

25、B平面ABC ，PO平面 ABC，根據(jù)三垂線定理得PMAC ，PMO 是二面角 P AC B 的平面角 . . 6 分設(shè) PAPB6 ，PAPB，AB23，POBOAO3 .OMAM ，MAO30，OMAOsin 30AO，PC PD. 在 PCD 中， cos PCD1 CD30 ，2PC10異面直線 AB 和 PC 所成角的大小為 arccos30.解法二： 作 POAB于點(diǎn)O，平面 PAB10平面ABC ，PO平面 ABC .過點(diǎn) O 作 BC 的平行線，交 AC 于點(diǎn) D .如圖，以O(shè) 為原點(diǎn)，直線OD， OB，O P分別為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 . . 2

26、分設(shè) PAPB6 .PAPB，AB23，POBOAO3.ABBC ，BAC30 ，BCAB tan302 .O(0，0，0)，A(0， 3，0)，B(0， 3，0)，C(2， 3，0)，P(0，0，3)，D(1，0，0). . 4分（）證明：PA (0， 3，3)， BC(2，0，0)，PA BC0，PABC .又PAPB，PA平面 PBC .異面直線 AB 和 PC 所成角的大小為arccos30 .109解法一：（ I）證明：由直三棱柱性質(zhì)，B1B平面 ABC ， B1B AC ，又 BA AC ，B 1B BA=B ， AC 平面 ABB 1A 1，又 AC平面 B1AC，平面 B1AC

27、 平面 ABB 1A 1.（ II ）解：過 A 1 做 A 1M B1A 1，垂足為 M ，連結(jié) CM ，平面 B 1AC 平面 ABB 1A ，且平面 B 1AC 平面ABB 1A 1=B1A ， A 1M 平面 B 1AC. A 1CM 為直線 A 1C 與平面 B 1AC 所成的角，直線 B1C 與平面 ABC 成 30°角， B1CB=30 ° .設(shè) AB=BB1=a，可得 B 1C=2a，BC=3a, AC2a ，從而A1C3a,又 A1 M2 a,2sin A1 CMA1M6.二面角 B B 1CA 的大小為 arcsin6 . 143分解法二：（ I）證明：

28、同解法一 . 4 分（ II ）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系 A xyz ，直線 B 1C 與平面ABC4分成 30°角， B 1CB=30 ° . 設(shè) AB=B 1B=1 ，則 BC3, AC2.則 A( 0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), A1 (0,0,1), B1 (0,1,1).連結(jié) A1 B, 易知 A1 B是平面 B1 AC的一個法向量 , A1 B(0,1, 1),又 A1C ( 2,0,1),cos A1 B, A1CA1B A1C16 ,|A1B| | A1C |66直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為2POAOtan PMO2

29、，OMOM（）解：作OMAC 于點(diǎn) M ，連結(jié) PM .PO平面 ABC ，根據(jù)三垂線定理得PMAC ，PMO 是二面角 PACB 的平A1C666. 9 分即二面角 PACB 的大小是 arctan 2 .（）解：在底面ABC內(nèi)分別過A、C 作 BC、AB的平行線，交于點(diǎn)D，連結(jié)OC，OD， PD. 則PCD 是異面直線AB 和 PC 所成的角或其補(bǔ)角.ABBC，BAC30，BCAB tan 302 ， OCOB2BC 27 ，PCPO2CO210 .易知底面 ABCD為矩形，從而 OCOD，面角 . 在 Rt AMO中，OMAO3AO sin3022，M 3，- 3，0 ，44從而MO3， ，MP3，344044，cos MO，MPMO MP5MO MP5，即二面角 PACB 的大小是 arccos5.5（）解：AB0，2 3，0， PC2，3，-3 ，cos AB，PCAB PC30 ，AB PC10直線A 1C 與平面B1AC所成角的正弦值為336. 9 分6（III ）解：過 A 做 AN BC，垂