造橋選址問題的拓展_第1頁
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1、造橋選址問題的拓展利用平移變換進行造橋選址,是平移變換的一個重要應用。下面就課本中一道習題,加以拓展探究,我們可發(fā)現(xiàn)其一般規(guī)律。一、原題再現(xiàn)如圖 1,A 和 B 兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋 MN 。橋造在何處才能使從 A 到 B 的路徑 AMNB 最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)。 (人教課標七年級下冊 2007年第二版 37頁第 7 題)分析 :由于河岸寬度是固定的,造的橋要與河垂直,因此路徑 AMNB中的 MN 的長度是固定的。我們可以將點 A 沿與河垂直的方向平移 MN的距離到 A1,那么為了使 AMNB最 短,只需 A1B 最短。根據(jù)兩點之間距離最短,連接

2、A1B,交河岸于點 N,在此處造 橋 MN,所得路徑 AMNB就是最短路徑。如圖 2 。證明:如圖 3,如果在不同于 MN的位置造橋 M1N1。由于 M1N1=MN=A1A;又根據(jù) 兩點之間,線段最短”。可知, AN1+N1B>A1N+NB。所以,路徑 AMNB要短于 AM1N1B。、拓展應用拓展 1: 如圖 4,如果 A、 B 兩地之間有兩條平行的河,我們要建的橋都是與河岸垂直的。我們?nèi)绾握业竭@個最短的距離呢?方法 1:仿照上例, 可以將點 A沿與河垂直的方向平移兩個河寬分別到到 A1、 A2,路徑中兩座橋的長度是固定的。為了使路徑最短,只要A2B 最短。連接 A2B,交河流 2 河岸

3、于 N,在此處造橋 MN;連接 A1M,交河流 1 河岸于 P,在此處造橋 PQ。所得路徑 AQPMN最B 短。方法 2:此題還可以用以下方法來確定建橋位置。如圖 6,將點 A沿與第一條河流垂直的方向平移一個河寬到 A1,將 B 沿與第 二條河垂直的方向平移一個河寬到 B1,連接 A1B1與兩條河分別相交于 N、P,在 N、P兩處,分別建橋 MN、PQ,所得路徑 AQPMN最B 短。拓展 2: 如圖 7,如果 A、 B 之間有三條平行的河流呢?方法 1:仿照拓展二方法 1,將點 A 沿與河垂直的方向平移 S三個河寬分別 到到 A1、 A2、A3,路徑中三座橋的長度是固定的。為了使路徑最短,只要

4、A3B 最短。連接 A3B,交河流 3于N,在此處造橋 MN;連接A2N,交河流 2于P,在此處 造橋PQ;連接A1Q,交河流 1于R,在此處造橋 RS。所得路徑 ASRQPMN最B短。方法 2:此處還可以先將 A沿與河流 1 河岸垂直的方向平移兩個單位到 A1、 A2,再將B沿與河流 3河岸垂直的方向平移一個河寬到 B1;或先將 A沿與河岸垂 直的方向平移 1 個單位到 A1,再將 B沿與河岸平移 2 一個河寬到 B1、B2,來選擇 修橋位置。(請同學們自己畫出圖形。)拓展 3: 如圖 9,如果在上述條件不變的情況下,兩條河不平行,又該如何建橋?方法 1:如圖 10,先將點 A沿與河流 1 河岸垂直的方向平移一個河寬到 A1, 再沿與河流 2 河岸垂直的方向平移一河寬到 A2,連接 A2B,交河流 2 河岸于 N, 此處建橋 MN;連接 A1M,交河流 1 于 P,在此處建橋 PQ。所得路徑 AQPMN最B短方法 2:也可以將 A沿與河流 1 垂直的方向平移 1 個河寬,得到 A1,再將 B 沿與河流 2 河岸垂直的方向平移 1 個河寬得到 B1,連接 A1B1與河流 1、河流 2 分 別相交于 N、P,分別作橋 MN、PQ。所得路徑 AQPN

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