基于幾何畫板技術的問題提出教學策略探究

1、    基于幾何畫板技術的問題提出教學策略探究    王文義 朱惠英 何男摘 要：本節(jié)課運用問題提出教學模式，循序漸進，層層設問，引導學生探究歸納出指數(shù)函數(shù)定義。運用幾何畫板動態(tài)效果，生動形象地繪制出指數(shù)函數(shù)的圖像，讓學生對知識函數(shù)的定義和性質(zhì)體會更深。同時在學習指數(shù)函數(shù)的過程中滲透辯證唯物主義的思想，把學生培養(yǎng)成為具有哲學思想的人。關鍵詞：指數(shù)函數(shù);底數(shù);指數(shù);辯證唯物主義一、 創(chuàng)設情境，引入實例教師提出問題：同學們玩過折紙嗎？你相信一張紙能帶你上月球嗎？帶著這個問題，我們來進入今天的學習內(nèi)容。接下來教師播放1分10秒的小視頻指數(shù)爆炸，并請學生在觀看后

2、回答問題：折紙的過程中，紙張的哪兩個屬性會發(fā)生變化？學生回答：紙的厚度和面積。教師：假設一張紙的厚度為1個單位，面積為1個單位。理想狀態(tài)下，如果不考慮紙的延展性，這張紙可以折疊無數(shù)次。當這張紙折疊1次，2次，3次，乃至x次時，你能推算出紙的厚度和紙的面積分別是多少嗎？請同學們通過小組合作，完成下表。（小組合作探究后請兩個小組代表發(fā)言）學生填寫表格：折疊次數(shù)紙的厚度紙的面積12=2112=12124=2214=12238=2318=123x2x12x教師：由表格，我們能得到哪兩個函數(shù)解析式呢？學生：一是紙折疊后的厚度與折疊次數(shù)的函數(shù)y=2x，二是紙折疊后的面積與折疊次數(shù)的函數(shù)y=12x。設計意圖

3、：學生通過反復折疊紙的操作過程，分別抽象出指數(shù)函數(shù)y=2x，y=12x，既滿足了指數(shù)函數(shù)按底數(shù)劃分的兩類函數(shù)，又滿足了教材上所舉的函數(shù)例子，達到了靈活處理教材的目的。紙在反復折疊的過程中，隨著折疊次數(shù)的增加，厚度呈指數(shù)型增長，而面積卻呈指數(shù)型減少，學生可初步感受由底數(shù)不同帶來的指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的不同，充分經(jīng)歷從數(shù)學情境中抽象出指數(shù)函數(shù)特例的過程，為后面引出指數(shù)函數(shù)的概念做鋪墊。二、 討論底數(shù)，歸納結(jié)論教師提出問題：函數(shù)y=2x，y=12x，與我們之前所學的函數(shù)有何不同？（提示：未知數(shù)的位置在哪？）教師：像這種指數(shù)位置為x，底數(shù)位置為常數(shù)2或者12的函數(shù)，我們稱之為指數(shù)函數(shù)。也就是說，形如y=ax的

4、函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)（此時板書定義的一部分）。大家還能舉幾個例子嗎？教師提出問題：底數(shù)a為負數(shù)可不可以？如y=-3x。學生回答：指數(shù)函數(shù)底數(shù)為負數(shù)會導致某些值沒有意義，比如x=12。教師：為了讓x取遍所有的實數(shù)，規(guī)定指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為正數(shù)，即底數(shù)a>0。教師提出問題：除了底數(shù)a>0，同時底數(shù)還要滿足什么條件？學生回答：底數(shù)不等于1。當?shù)讛?shù)a=1，那么1x=1，沒有研究的意義。教師繼續(xù)板書補充指數(shù)函數(shù)的定義：形如y=ax（a>0，且a1）的函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)。設計意圖：指數(shù)函數(shù)是高中階段學習的第一個函數(shù)，不同于初中學的函數(shù)。引導學生觀察指數(shù)函數(shù)底數(shù)位置和指數(shù)位置，未知數(shù)x在指數(shù)位置，再

5、辨析底數(shù)a的取值范圍，這一過程經(jīng)歷了特殊到一般，具體到抽象的過程，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。教師介紹指數(shù)函數(shù)的歷史出處：1748年時，世界著名數(shù)學家歐拉，在著作無窮分析引論（introduction to analysis of the infinite）中對指數(shù)函數(shù)進行了明確和詳細的介紹。設計意圖：讓學生了解指數(shù)函數(shù)的出處和產(chǎn)生時間，有利于讓學生了解知識產(chǎn)生的背后，數(shù)學家起著重要的作用?！纠?】 下列函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)。（1）y=2·3x（2）y=-3x（系數(shù)錯誤）（3）y=（-4）x（底數(shù)錯誤）（4）y=x3（指數(shù)錯誤）（5）y=3-x（6）y=x（正確）當學生回答正確時，追

6、問學生回答為什么不是指數(shù)函數(shù)，分別表揚學生突破了系數(shù)、指數(shù)、底數(shù)錯誤關卡。接著，教師幫助學生總結(jié)判斷一個函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a1）需滿足的條件：（1）系數(shù)為1;（2）底數(shù)a>0，且a1;（3）指數(shù)位置僅有自變量x。設計意圖：例題1有利于加深學生對指數(shù)函數(shù)概念的理解與掌握，同時通過關卡這一游戲氛圍，激發(fā)學生的學習興趣。三、 對象階段：利用技術，探索性質(zhì)教師：研究函數(shù)一般從函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì)，你還記得用什么方法畫函數(shù)的圖像嗎？學生回答：描點法。教師提問：你能用描點法畫出指數(shù)函數(shù)y=2x的函數(shù)圖像嗎？學生畫好圖像后，教師也用幾何畫板展示出圖像（這里可以適當表揚學生）設

7、計意圖：學生動手操作，初步感知指數(shù)函數(shù)的圖像，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。教師提出問題：同學們現(xiàn)在可以根據(jù)這個特殊的函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、周期性、對稱性、單調(diào)性嗎？學生搖搖頭說：發(fā)現(xiàn)它在定義域上單調(diào)遞減的。教師：除了這一點，別的發(fā)現(xiàn)不了對不對？回到我們指數(shù)函數(shù)的定義，同學們有沒有注意到指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是會變化的呢？學生：對，會變化。教師：那我們可不可以利用底數(shù)的變化來找到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)呢？其實，馬克思的辯證唯物主義思想給了我們答案。我們一起來看一下。馬克思曾說，事物的運動發(fā)展是變與不變的統(tǒng)一。我們要認識與把握不變中有變，變中有不變。這個“變中有不變”即如：雖然我國成為世界第二大經(jīng)濟體，經(jīng)濟

8、實力和綜合國力顯著增強，但我國仍處于并將長期處于社會主義初級階段的基本國情沒有變。所以我們?nèi)孕璨粩嗯?，不斷奮斗。那么，同學們說，我們應如何利用“變中有不變”這一思想來發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)蘊含的規(guī)律呢？學生：改變a的大小。教師：對了。同學們真聰明。下面是老師用幾何畫板畫出來的指數(shù)函數(shù)圖像（見圖1）。這里的ap就代表著底數(shù)a的大小，那么你們能利用我的課件探索出指數(shù)函數(shù)蘊含的規(guī)律嗎？下面請一位小老師帶領我們一起探究吧！這次的探究任務是小老師帶領大家完成下面圖2的表格。教師：好，小方同學，你來。好了，非常好。我們的小方同學順利完成了探究任務。（教師對剛才的探究成果進行回顧與強調(diào)，學生反思領悟）設計意圖：讓學

9、生利用哲學中“變中有不變”的思想經(jīng)歷數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，一方面可以讓學生明白哲學可以指導我們的探索發(fā)現(xiàn)，另一方面也把課堂還給了學生，讓學生成為學習的主體，體現(xiàn)了以人為本的教學理念。教師：好了，同學們，我們利用辯證唯物主義中“變中有不變”的思想已經(jīng)找到了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，那我們看看，還能不能找出其他的性質(zhì)。這時，馬克思的辯證唯物主義思想又給了我們啟發(fā)：世界是一個相互聯(lián)系的統(tǒng)一整體，其中沒有任何事物是孤立存在的，整個世界就是一幅由種種聯(lián)系交織起來的豐富多彩的畫面。那么，我們該如何利用聯(lián)系的觀點探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)呢？學生：再畫一個函數(shù)，看看兩個函數(shù)之間的聯(lián)系。教師：對了，我們的同學非常聰明。下面請同學們

10、畫出指數(shù)函數(shù)y=12x的圖像吧。教師提問：函數(shù)y=2x的圖像與函數(shù)y=12x的圖像有什么關系？學生回答：關于y軸對稱。教師追問：為什么這兩個函數(shù)對稱呢？（教師利用幾何畫板作圖進行提示見圖3）因為兩圖像中任意一對對稱點到y(tǒng)軸的距離是相等的。教師提問：可否利用對稱性，y=2x的圖像畫出y=12x的圖像？教師追問：能否根據(jù)指數(shù)運算的性質(zhì)的角度解釋以下為什么可以利用y=2x的圖像畫出y=12x的圖像嗎？（教師利用幾何畫板作圖進行提示）根據(jù)指數(shù)運算性質(zhì)，y=12x=（2-1）x=2-x，點（x，y）與點（-x，y）關于y軸對稱，y=2x圖像上任一點p（x，y）關于y軸對稱的點p1（-x，y）都在y=12

11、x的圖像上。所以，根據(jù)這種對稱性，就可以利用y=2x的圖像畫出y=12x的圖像。教師：既然我們發(fā)現(xiàn)了y=2x和y=12x這兩個特殊函數(shù)的圖像是對稱的，那么，由此，你能提出什么猜想呢？學生：對于任意的底數(shù)a，當兩個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)時，這兩個指數(shù)函數(shù)的圖像對稱。此時教師用幾何畫板作圖進行驗證。設計意圖：引導學生再一次運用哲學中“聯(lián)系”的觀點來探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對稱性，讓學生體會哲學與數(shù)學探究之間的聯(lián)系。利用幾何畫板進行教學，形象直觀，有利于學生用抽象的數(shù)學符號語言解釋問題。教師引導學生對上述探究得出的性質(zhì)做出歸納總結(jié)。四、 應用知識，總結(jié)方法【例2】 求下列函數(shù)的定義域與值域（1）y=22x

12、-x2 （2）y=13x-2練習題：課本第68頁第二題第（1）（2）小題?！纠?】 已知不等式am練習題：課本第70頁b組第1題。【例4】 折紙情境二：現(xiàn)有一張厚度為0.01cm的正方形a4紙。（小組合作）（1）請你計算這張紙折疊7次后，紙的厚度是多少cm？折疊x次后，紙的厚度y應如何表示？折疊7次后，紙的厚度是0.01×27=1.28cm;折疊x次后，紙的厚度y=0.01×2x。教師總結(jié)（1）小問：在實際問題中，我們經(jīng)常會遇到像y=0.01×2x這樣的函數(shù)，我們把形如y=kax（kr，a>0，且a1）的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)，這是非常有用的函數(shù)模型。（2）你能

13、結(jié)合紙的厚度和面積的兩個函數(shù)圖像，談談理想狀態(tài)下，為什么這張紙的折疊厚度可達月球高度甚至更遠呢？談談實際上，為什么這張紙的折疊次數(shù)是有限的呢？（教師拖動幾何畫板提示學生，如圖4）學生回答：理想狀態(tài)下，結(jié)合圖像可知，這張紙折疊的次數(shù)越多，它的厚度會呈指數(shù)型增長，那么折疊很多很多次之后，紙的厚度就可以達到月球的高度甚至更遠。學生回答：實際上，結(jié)合圖像知，這張紙折疊的次數(shù)越多，其厚度與面積的差距會越來越大，紙折疊的阻力就會越來越大，所以折疊次數(shù)是有限的。設計意圖：一方面介紹指數(shù)型函數(shù)，另一方面讓學生從數(shù)學的角度去考慮和解釋實際問題，讓學生初步體會有限與無限的過程，以及極限的思想，有利于達成情感目標。教師進行課堂總結(jié)：1. 什么是指數(shù)函數(shù)？2. 什么是指數(shù)型函數(shù)？3. 指數(shù)函數(shù)有什么性質(zhì)？我們是如何找到這些性質(zhì)的？用到了哪些思想方法？4. 指數(shù)函數(shù)與我們以前學習過的函數(shù)有什么聯(lián)系呢？（建立思維導圖）設計意圖：讓學生強化本節(jié)課主要知識的記憶，讓學生將本節(jié)課知識與前后知識聯(lián)系起來，有利于達成教學目標中的知識目標。讓學生回顧探究過程，體會探究過程中所蘊含的數(shù)學思想方法，有利于達成教學目標中的過程與方法目標。教師進行課后作業(yè)的布置：1. 必做題：課本第69頁上的5、