零基礎(chǔ)線性代數(shù)基礎(chǔ)班講義1

1、ch1 行列式1. 二階行列式（1）用消元法求解二元一次方程組，從解的形式中引入二階行列式（2）定義：是一個算式，形式，元素，行，列，主對角線與次（副）對角線，算法口訣。注：可推廣到更高階的行列式。例 13516（3）用二階行列式來表示所給二元一次方程組的解，并分析規(guī)律。該規(guī)律推廣便是克萊姆（ cramer）法則。例 2 解方程組121235214729xxxx2. 三階行列式（1）從三元一次方程組的解的形式中引入三階行列式（2）定義：相關(guān)概念同二階行列式，算法遵循對角線法則（記憶方法）。注：特點是來自不同行不同列元素乘積的代數(shù)和。例 3 abcbcacab（3）尋找項數(shù)的奧秘。?觀察每一項行

2、標(biāo)的變化：1,2,3 ?觀察每一項的列標(biāo)變換：1,2,3 2,3,1 3,1,2 3,2,1 1,3,2 2,1,3 發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 列標(biāo)構(gòu)成了 1,2,3 的全排列，共 3！種，3！正好是三階行列式展開式的項數(shù)。（4）尋找符號的奧秘。為什么三階行列式展開式中有的項是正的，而有的項是負(fù)的？這與排列的逆序數(shù)有關(guān)。? 排列的逆序數(shù)? 求出三階行列式中各項列標(biāo)的逆序數(shù)（奇排列與偶排列）? 揭示各項符號的奧秘3. n 階行列式（1）定義：來源于行列式的項數(shù)與符號的規(guī)律（2）記憶： n 階行列式等于來自不同行不同列的n 個元素乘積的代數(shù)和。特點： 每一項行標(biāo)按自然數(shù)的順序排列，列標(biāo)的逆序數(shù)決定著該項的符號。

3、（3）結(jié)論：?1212.nnaaa aaa例 412_.34?1(1)221 21.n nnnbbb bbb例 5 12_.3?112212*,*nnnaaaaa aaaa11(1)22212*1.*n nnnnbbbbb bbbb例 6 297800030111310050_,_.00370137000441193154例 7 請寫出五階行列式的展開式中含有411352a a a且?guī)д柕捻?。用定義來計算復(fù)雜一點的高階行列式是無聊且繁瑣的，進(jìn)一步尋找規(guī)律是關(guān)鍵。4. 余子式與代數(shù)余子式（1）引入：回到三階行列式的定義式中，按第一行的元素提取公因式，找到 規(guī)律。此規(guī)律可推廣到更高階行列式。（2

4、）余子式? 定義?3111112121313da ma ma m（3）代數(shù)余子式? 定義?3111112121313da aa aa a （美感十足 ） ，稱為三階行列式按第一行展開。（4）重要結(jié)論? 行列式可按任何一行（列）展開。? 元素的代數(shù)余子式與該元素的大小無關(guān)，只與該元素的位置有關(guān)。例 8 按下列要求計算行列式130004.115（1） 按第一行展開計算（2） 按第 3 列展開計算（3） 按第二行展開計算注：按含零較多的行或者列展開計算更容易。例 9 已知41102211303021050d，用一個四階行列式表示下列各式之和：（1）1112131423aaaa（2）132333433

5、2mmmm5行列式的性質(zhì)（1）行列式的轉(zhuǎn)置與原行列式相等。意義：對行成立的性質(zhì)對列也成立舉例說明（2）行列式中互換兩行（列） ，行列式要變號。例 10 已知111213212223313233aaadaaaaaa，313233111213212223aaadaaaaaa，則,d d有何關(guān)系？推論：行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)相等，則其值為零。（？）（3）行列式中某行（列）的元素與另一行（列）元素對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零。（原因？見例 9（1） ）（4）行列式可按行（列）提取公因式。舉例說明推論： ?行列式中某行或列元素全為零，則其值為零。? 行列式中有兩行或兩列對應(yīng)元素成比例，則其值為零

6、。（5）行列式中若有一行（列）為兩數(shù)之和的形式，則可將行列式按下例的方式拆分為兩個行列式之和的形式。如111121311121311213212222321222322223313323331323333233abaaaaabaaabaaaaabaaabaaaaabaa（6）將行列式某行（列）的元素分別乘以常數(shù)k 加至另一行（列）對應(yīng)元素上行列式的值不變。 （由性質(zhì)（ 4）和（ 5）可以推出（ 6） ）意義： 利用該性質(zhì)可以將行列式某行 （列） 化出更多的零來，再按照該行（列）展開，達(dá)到輕松降階的目的。例 11 計算11122113.0332d-10-20注：這就是例 9（2）的結(jié)果。6. 克萊姆法則（1）定義（上面提到的二元一次方程組解的形式的推廣）