高一數學必修第一冊2019(A版)_《充分條件與必要條件》教材分析

1、1.4 充分條件與必要條件一、本節(jié)知識結構框圖二、重點、難點重點：充分條件、必要條件和充要條件的意義. 難點：對必要條件的意義、充要條件與數學定義之間的關系的理解. 三、教科書編寫意圖及教學建議本節(jié)的主要內容是充分條件、必要條件、充要條件，以及它們和判定定理、性質定理、數學定義之間的關系 . 通過本節(jié)的學習， 學生能理解這三個常用邏輯用語的意義，會辨析充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件和既不充分又不必要條件，理解判定定理與充分條件的關系、性質定理與必要條件的關系、數學定義與充要條件的關系 . 本節(jié)主要以“若p， 則q”形式的命題為載體， 通過考察命題中條件p和結論q的關系，學習充分條件、

2、 必要條件和充要條件這三個常用邏輯用語. 在教學中補充命題例子時，所給的命題的真假最好是顯然的，或者是比較容易判斷的 . 這是因為，學生剛開始學習邏輯用語，學習重點是對充分條件、必要條件和充要條件的意義的理解和辨析，而不是如何判斷“若p，則q”形式的命題的真假 . 判斷命題的真假不應該成為學生學習本節(jié)內容的障礙. 1.4.1 充分條件與必要條件1. 概念的引入學生在初中階段學習過命題的概念， 知道命題是對某一件事情作出判斷的語句，判斷為真的語句叫做真命題， 判斷為假的語句叫做假命題. 中學數學中的許多命題可以寫成“若p，則q”的形式 . 其中，p是命題的條件，q是命題的結論 . 教學時，建議列

3、舉學生熟悉的數學命題，加深學生對命題的條件和結論的認識，學會辨析.例如，命題“對頂角相等”可以寫成“若兩個角是對頂角，則這兩個角相等”的形式，其中條件p：兩個角是對頂角，結論q：這兩個角相等 . 本節(jié)從判斷“若p，則q”形式命題的真假性出發(fā)，通過分析真命題中p和q的關系，進而引出充分條件和必要條件的概念 . “若p，則q”為真命題，即由p可以推出q，按教科書上定義，p是q的充分條件，同時，q是p的必要條件 . 學生對于p是q的充分條件的表述比較容易接受，但是對于q是p的必要條件的表述可能會難以理解. 為了幫助學生理解必要條件的含義，教科書在這里加了一個邊空，旨在說明：假定由p可以推出q，那么q

4、不成立時，p一定不成立（否則p成立時，q一定成立，矛盾?。?，這就表明q是p成立必不可少的條件 . 2. 充分條件與判定定理、必要條件和性質定理的關系教科書通過梳理和分析初中學過的典型數學命題，幫助學生理解充分條件與判定定理的關系，必要條件和性質定理的關系. 在本小節(jié)中，第一個“思考”中的命題（1）（4）和例1中的命題（ 1）（2）都是初中學習過的判定定理， 它們分別給出了“平行四邊形是菱形”“/ /ab”“四邊形是平行四邊形”“兩個三角形相似”的一個充分條件，這樣編排的目的是引導學生將充分條件與判定定理聯系起來. 為了明確這兩者之間的聯系， 教科書中設置了第二個“思考”，讓學生給出“四邊形是平

5、行四邊形”的其他充分條件. 通過這個“思考”，學生會認識到平行四邊形的每個判定定理實際上都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件 . 教學時，教師還可以引導學生回顧“兩個三角形全等”“兩個三角形相似”“兩直線平行”的判定定理，分析其中條件與結論的關系，進一步加深學生對充分條件與判定定理的關系的認識. 對于必要條件和性質定理的關系，教科書中也做了類似的處理. 例1中的命題（ 3）與例2中的命題（ 1）（2）都是初中學習過的性質定理，它們分別給出了“四邊形是菱形”“四邊形是平行四邊形”“兩個三角形相似”的一個必要條件，引導學生將必要條件和性質定理聯系起來. 緊接著，教科書設置了第三個“思考”，

6、讓學生嘗試給出“四邊形是平行四邊形”的其他的必要條件，由此引出平行四邊形的其他性質定理. 通過這個“思考”，學生可以進一步體會必要條件和性質定理的關系 . 同樣地，教師還可以以“兩個三角形全等”“兩個三角形相似”“兩直線平行”的必要條件為例，加深學生對必要條件和性質定理的關系的理解. 3. 例題和練習的設計意圖與教學分析例1是為了加深學生對充分條件的理解， 并學會判斷p是否為q的充分條件 . 例1選取了學生在初中學習過的兩個判定定理，是為后面分析充分條件與判定定理之間的關系作準備 . 例2是為了加深學生對必要條件的理解，并學會判斷q是否為p的必要條件 . 事實上，判斷q是否為p的必要條件與判斷

7、p是否為q的充分條件本質上是一回事，都是判斷“若p，則q”是否為真命題，即pq是否成立 . 例2選取了學生在初中學習過的兩個性質定理，是為后面分析必要條件與性質定理之間的關系作準備. 本小節(jié)的練習 1，2是為了鞏固學生對充分條件和必要條件的理解，熟練掌握判斷p是否為q的充分條件（或q是否為p的必要條件）的方法 . 練習3是讓學生嘗試使用充分條件和必要條件表述數學結論. 1.4.2 充要條件1. 充要條件概念的引入學習了充分條件和必要條件之后，教科書再介紹充要條件的概念是順理成章的事情. 教科書通過考察四個“若p，則q”形式的命題及其逆命題“若q，則p”的真假，發(fā)現有的命題和它的逆命題同時為真命

8、題. 這樣一來，由第一小節(jié)學習的充分條件和必要條件的概念可知，p既是q的充分條件，又是q的必要條件，從而引出p是q的充要條件的概念 . 教學中可以多舉例子促進學生掌握：若p是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充要條件，同時q也是p的充要條件 . 2. 問題的轉化學生學習本節(jié)內容不僅要理解充分條件與必要條件的含義，還要學會對給定的p與q，判斷p是否為q的充分條件（或q為p的必要條件）、必要條件（或q為p的充分條件）、充要條件（或q為p的充要條件） . 需要注意的是，判斷p是否為q的必要條件，需要判斷命題“若q， 則p”是否為真命題 . 這里，命題“若q， 則p”與“若p，則q”互為逆命題

9、，如果其中一個稱為原命題，那么另一個稱為它的逆命題. 將一個命題的條件與結論互換，就得到了它的逆命題. 教學時，教師可以通過學生熟悉的數學例子，讓學生體會和理解這兩個命題之間的聯系與差別，但注意不要讓學生死記硬背 . 因此，判斷p是否為q的充分條件、必要條件和充要條件的問題，就轉化判斷命題“若p，則q”及其逆命題“若q，則p”的真假的問題 . 教學時，教師可引導學生作如下總結：p為q的充分條件（或q為p的必要條件）： “若p， 則q”為真命題，即pq；p為q的必要條件（或q為p的充分條件）： “若q， 則p”為真命題，即qp；p為q的充要條件（或q為p的充要條件）：“若p，則q”與“若q，則p

10、”均為真命題，即pq且qp，進一步地，p為q的充分不必要條件：“若p，則q”為真命題且“若q，則p”為假命題，即pq且qp；p為q的必要不充分條件：“若p，則q”為假命題且“若q，則p”為真命題，即pq且qp；p為q的既非充分又非必要條件：“若p，則q”與“若q，則p”均為假命題，即pq且qp. 需要強調的是，盡管“p為q的充要條件”與“q為p的充要條件”這兩個事實是等價的，但是還要注意它們之間的區(qū)別. 具體來說，如果要證明結論：“p為q的充要條件”或“q的充要條件為p”，則需要證明充分性”和“必要性”這兩個方面. 這里，“充分性”是指由p可以推出q，即pq，“必要性”是指由q可以推出p，即q

11、p. 然而，對結論“q為p的充要條件”或“p的充要條件是q”而言，它的“充分性”是指qp，“必要性”是指pq，與前者恰好相反 . 3. 充要條件和數學定義的關系如果學生理解了充分條件和必要條件的含義，那么充要條件的含義就不難理解了. 本小節(jié)在介紹完充要條件的概念后，通過例3讓學生學會判定p是不是q的充要條件. 在例3后面， 教科書安排了一個探究欄目， 讓學生給出“四邊形是平行四邊形”的一些充要條件，為后面探討充要條件和數學定義的關系作準備. 根據前面兩個思考題的分析，學生不難得到“四邊形是平行四邊形”的四個充要條件. 隨后，教科書回顧平行四邊形的定義“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”，

12、在這個定義中，條件“兩組對邊分別平行”也是“四邊形是平行四邊形”的一個充要條件， 它與前面的四個充要條件可以相互推出，彼此等價 . 這個具體例子的目的是讓學生體會到“四邊形是平行四邊形”的每個充要條件都從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個概念。據此，可以給出平行四形的其他定義形式，例如“兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形”“對角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形”，等等 . 教學時，教師可以進一步讓學生利用“兩個三角形全等”和“兩個三角形相似”的充要條件，分別給出“三角形全等”和“相似三角形”其他形式的定義. 這樣，學生對充要條件與數學定義的關系就有了更深刻的認識. 4. 例題和練習的設計意圖與教學分析例3是為了加深學生對充要條件概念的理解，學會判斷p是否為q的充要條件的基本方法 . 例4是一個證明題， 要證明p是q的充要條件 . 與前面例 3不同的是，前者側重在對充要條件概念的理解和判斷p是否為q的充要條件的基本方法，完成判斷的難度較小，而例 4側重在證明命題為真命題的過程，更注重數學知識本身的考查. 本小