概率統(tǒng)計(jì)PPT課件

1、 在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息些附加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.條件概率的概念條件概率的概念如在事件如在事件B發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，將此概率記作將此概率記作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) 第1頁/共54頁P(yáng)(A )=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，例如，擲一顆均勻骰子，A=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)，P(A|B)=？擲骰子擲骰子 已知事件已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是結(jié)果構(gòu)成的集合就是B， P(A|B)=

2、1/3. B中共有中共有3個(gè)元素個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等它們的出現(xiàn)是等可能的可能的,其中只有其中只有1個(gè)在集個(gè)在集A中中.容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)于是于是第2頁/共54頁P(yáng)(A )=3/10， 又如，又如，10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 現(xiàn)從這現(xiàn)從這10件中任取件中任取一件，記一件，記 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)()(10710373BPABP則則第3頁/共54頁P(yáng)(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，計(jì)

3、算本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的時(shí)，依據(jù)的前提條件是前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比件產(chǎn)品中一等品的比例例. A=取到一等品取到一等品， 計(jì)算計(jì)算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上上“事件事件B已發(fā)生已發(fā)生”這個(gè)新的條件這個(gè)新的條件. 這好象給了我們一個(gè)這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)情報(bào)”，使我們得以在，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.第4頁/共54頁注1. 如果B, 則條件概率即為前面所定義的概率. 如果B ,則條件概率相當(dāng)于將樣本空間縮小為B.注2. ()( )P ABP B AP A事件 A 發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的條

4、件概率. 設(shè)A、B為兩事件, P ( B ) 0 , 則定義定義稱 為事件 B 發(fā)生的條件下事()/( )P ABP B件 A 發(fā)生的條件概率，記為().( )P ABP A BP B( )0P A 第5頁/共54頁（1） 古 典 概 型: 可用縮減樣本空間法;（2） 其 它 概 型: 用定義與有關(guān)公式;注3.條件概率的計(jì)算方法條件概率也是概率, 故具有概率的性質(zhì)：11iiiiBAPBAPq 非負(fù)性q 規(guī)范性 q 可列可加性 1)(0BAP1)(BBP第6頁/共54頁0)(BPq niiniiBAPBAP11q 1)|()(BAPBAPq 上述三條性質(zhì)對應(yīng)于概率的公理化定義的三條性質(zhì),除此以外

5、有下列性質(zhì):q 211212),|()|()|(AABAPBAPBAAP若有限可加性有限可加性可減性可減性第7頁/共54頁q )()()()(212121BAAPBAPBAPBAAP例例1 1 考慮有兩個(gè)小孩的家庭,問其中至少有一個(gè)女孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大?(假設(shè)生男,生女是等可能的)1212(|)(|)AAP A BP AB若單調(diào)性單調(diào)性加法公式加法公式1212()()()P AA BP A BP A B半可加性半可加性第8頁/共54頁B=至少有一個(gè)女孩家庭=(男,女)(女,男)(女,女)于是所求概率為()1/ 41(|)( )3/ 43P ABP A BP BAB=至少

6、有一個(gè)為女孩家庭中,另一個(gè)小孩也是女孩 =(女,女)解：解：根據(jù)題意樣本空間為=(男,男)(男,女)(女,男)(女,女)第9頁/共54頁例例2 2 一類動物由出生起活到20或20歲以上的,概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,現(xiàn)假設(shè)此類動物中有一動物為20歲,問其活到25歲以上的解：解：設(shè)B:活到20或20歲以上; A:活到25歲以上概率是多少?求P(A|B)AB()(|)( )P ABP A BP B( )0.4(|)0.5( )0.8P AP A BP B第10頁/共54頁利用條件概率求積事件的概率即乘法公式乘法公式 ) 0)()()(APABPAPABP) 0)()()(BPBAP

7、BPABP推廣推廣) 0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP二、乘法公式二、乘法公式第11頁/共54頁 一場精彩的足球賽將要舉行一場精彩的足球賽將要舉行, 5個(gè)個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場券球迷好不容易才搞到一張入場券.大家大家都想去都想去,只好用抽簽的方法來解決只好用抽簽的方法來解決.入場入場券券5張同樣的卡片張同樣的卡片,只有一張上寫有只有一張上寫有“入場券入場券”,其余的什么也沒其余的什么也沒寫寫. 將它們放在一起將它們放在一起,洗勻洗勻,讓讓5個(gè)人依次抽取個(gè)人依次抽取.后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？ “先抽的人當(dāng)然要比后抽的人

8、抽到的機(jī)會大先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大. ”第12頁/共54頁 到底誰說的對呢？讓我們用概率到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計(jì)算一下論的知識來計(jì)算一下,每個(gè)人抽到每個(gè)人抽到“入場券入場券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個(gè)一個(gè)大家不必爭先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到按次序來，誰抽到入場券入場券的機(jī)會都的機(jī)會都一樣大一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大。先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大?！钡?3頁/共54頁我們用我們用Ai表示表示“第第i個(gè)人抽到入場券個(gè)人抽到入場券” i1,2,3,4,5.顯然顯然，P(A1)=1/5，P( )4

9、/51A第第1個(gè)人抽到入場券的概率是個(gè)人抽到入場券的概率是1/5.也就是說，也就是說，iA則則 表示表示“第第i個(gè)人未抽到入場券個(gè)人未抽到入場券”第14頁/共54頁因?yàn)槿舻谝驗(yàn)槿舻?個(gè)人抽到個(gè)人抽到了入場券，第了入場券，第1個(gè)人個(gè)人肯定沒抽到肯定沒抽到.也就是要想第也就是要想第2個(gè)人抽到入場券，必須第個(gè)人抽到入場券，必須第1個(gè)人未個(gè)人未抽到，抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5計(jì)算得：計(jì)算得：第15頁/共54頁)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 這就是有關(guān)抽簽順

10、序問題的正確解答這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答. 同理，第同理，第3個(gè)人要抽到個(gè)人要抽到“入場券入場券”，必須第，必須第1、第第2個(gè)人都沒有抽到個(gè)人都沒有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn)繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽到每個(gè)人抽到“入場券入場券” 的概率都是的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后抽簽不必爭先恐后.也就是說，也就是說，第16頁/共54頁 , ,2 ,3 5 4試按試按個(gè)白球個(gè)白球個(gè)黑球個(gè)黑球個(gè)紅球個(gè)紅球設(shè)袋中有設(shè)袋中有例例 2; 1不放回抽樣不放回抽樣有放回抽樣有放回抽樣 兩種方式摸球三次兩種方式摸球三次 . , 概率概率求第三次才摸得白球的

11、求第三次才摸得白球的每次摸得一球每次摸得一球 解解 1 有放回抽樣有放回抽樣 , 第一次未摸得白球第一次未摸得白球設(shè)設(shè) A , 第二次未摸得白球第二次未摸得白球 B . 第三次摸得白球第三次摸得白球 C 可表示為可表示為第三次才摸得白球第三次才摸得白球則事件則事件. ABC AP, 108 ABP|, 108 ABCP|, 102 第17頁/共54頁 APABPABCPABCP| 108108102 . 12516 2 無放回抽樣無放回抽樣 AP, 108 ABP|, 97 ABCP|, 82 APABPABCPABCP| 1089782 . 457 第18頁/共54頁(1) 設(shè)P(B)0，且

12、AB，則下列必然成立的是( ) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)(2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 則 P(B)=( ).0.6(2)課堂練習(xí)第19頁/共54頁問題：由簡單事件的概率推出復(fù)雜事件的概率.方法：復(fù)雜未知事件分解成兩兩互不相容事件之和.定理定理 設(shè)B為隨機(jī)試驗(yàn) T 中的一復(fù)雜事件，niniiiiAPABPBAPBP11)()|()()(上述公式稱為全概率公式、全概率公式事件A1 ，A2 ， ，An構(gòu)成一完備事件組, 則第20頁/共54頁A1AnBA1BA2BAnjiniiAAA1)(1jiniiBABABAB全概率公式BA2nini

13、iiiAPABPBAPBP11)()|()()(應(yīng)用乘法公式應(yīng)用乘法公式第21頁/共54頁 稱 P(Ai)為先驗(yàn)概率，它是由以往的經(jīng)驗(yàn) 得到的， Ai是事件B的原因 事件 B視為結(jié)果。例例1 1 甲乙兩個(gè)口袋中各有3只白球,2只黑球,從甲袋中任取一球放入乙袋中,求再從乙袋中取出一球?yàn)榘浊虻母怕?第22頁/共54頁21( )(|) ()0.6iiiP BP B A P A解解A2表示“甲袋中取出一黑球放入乙袋” 則P(B|A1)=4/6, P(B|A2)=3/6根據(jù)全概率公式有P(A1)=3/5, P(A2)=2/5設(shè)B表示“最后從乙袋中取出一球?yàn)榘浊颉笔录?A1表示“從甲袋中取一白球放入乙袋”

14、,第23頁/共54頁例例甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)進(jìn)行射擊，擊中飛機(jī)的概率分別為0.4、0.5、0.7. 如果一人擊中飛機(jī),飛機(jī)被擊落的概率為0.2；兩人擊中飛機(jī)，飛機(jī)被擊落的概率為0.6；三人擊中飛機(jī)，飛機(jī)必被擊落；求飛機(jī)被擊落的概率.解解 以B表示事件“飛機(jī)被擊落”，A0 表示事件“三人均未擊中飛機(jī)”，A1表示“三人中僅有一人擊中飛機(jī)”，A2表示事件“三人中有兩人擊中飛機(jī)”， A3表示事件“三人同時(shí)擊中飛機(jī)”，則根據(jù)題意有第24頁/共54頁P(yáng)(A0) =(10.4)(10.5) (10.7)=0.09,P(A1)=0.4(10.5)(10.7)+0.5(10.4) (10.7)+0.7(10

15、.4)(10.5)=0.36,P(A2)=0.40.5(10.7)+0.50.7(10.4)+0.40.7(10.5)=0.41,P(A3)=0.40.50.7=0.14P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1,根據(jù)全概率公式有第25頁/共54頁30( )(|) ()0.458iiiP BP B A P A從上述幾個(gè)例子可以看出：將結(jié)果視為B，然后找出原因Ai, 再利用全概率公式。第26頁/共54頁、Bayes公式貝葉斯 Thomas Bayes，英國人.1702年出生于倫敦，做過神甫.1742年成為英國皇家學(xué)會會員.1763年4月7日逝世.

16、貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論.他首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷、統(tǒng)計(jì)的估算等做出了貢獻(xiàn).1763年發(fā)表了這方面的論著對于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)都有很重要的作用.貝葉斯的另一著作機(jī)被沿用至今. 貝葉斯公式是他在1763年提出來的.會的學(xué)說概論發(fā)表于1758年.貝葉斯所采用的許多術(shù)語第27頁/共54頁底患了A1，A2，,An中的哪一種病,以便對癥下藥.例例4（專家系統(tǒng)）（專家系統(tǒng)）醫(yī)療診斷中，為了診斷病人到對病人進(jìn)行觀察檢查，癥狀記為事件BP(Ai)，表示生Ai病的概率P(B|Ai)，表示生Ai病有癥狀B的概率P(Ai|B)，表示癥狀B由Ai

17、引起的概率若P(Ai|B), i=1,2,n中,最大的一個(gè)是P(A1|B), 我們便認(rèn)為A1是生病的主要原因,下面的關(guān)鍵是:第28頁/共54頁Bayes公式)|(BAPiRemark: niiiiiiiAPABPAPABPBPBAPBAP1)()|()()|()()()|(后驗(yàn)概率計(jì)算 P(Ai|B), i=1,2,n第29頁/共54頁上述公式稱為Bayes公式公式.1()(|) ()(|)( )(|) ()iiiiniiiP ABP B A P AP A BP BP B A P A定理定理 設(shè)B為一事件且P(B)0,事件A1, A2, ,An構(gòu)成一完備事件組，且P(Ai )0, i=1,2,

18、n，則有第30頁/共54頁例 某商品由三個(gè)廠家供應(yīng)，其供應(yīng)量為：甲廠家是乙廠家的2倍；乙、丙兩廠相等。各廠產(chǎn)品的次品率為2%, 2%, 4%. 若從市場上隨機(jī)抽取一件此種商品，發(fā)現(xiàn)是次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率? 解：用1、2、3分別記甲、乙、丙廠，設(shè) Ai =“取到第i 個(gè)工廠的產(chǎn)品”，B=“取到次品”， 由題意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25； P(B|A1)= P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04. 11131() (|)(|)() (|)iiiP A P B AP A BP A P B A= 0.4由Bayes公式得:第31頁/共54頁ABCA

19、，問傳輸?shù)氖切盘朅AAA的概率等于多少？A3表示事件“傳輸?shù)淖址麨镃CCC”，則根據(jù)題意有例例 通信渠道中可傳輸?shù)淖址麨锳AAA, BBBB,CCCC三者之一，傳輸三者的概率分別為0.3、0.4、0.3. 由于通道噪聲的干擾，正確地收到被傳輸字母的概率為0.6，收到其它字母的概率為0.2，假定字母前后是否被歪曲互不影響，若收到的信號為解解 以B表示事件“收到ABCA”，A1表示“傳輸?shù)淖址麨锳AAA”， A2表示事件“傳輸?shù)淖址麨锽BBB”，第32頁/共54頁P(yáng)(A1)= 0.3, P(A2)=0.4, P(A3)=0.3,P(B|A1)=0.60.20.20.6=0.0144, P(B|A2

20、)=0.20.60.20.2=0.0048, P(B|A3)= 0.20.20.60.2=0.0048,根據(jù)Bayes公式有11131(|) ()(|)9/16(|) ()iiiP B A P AP A BP B A P A第33頁/共54頁作業(yè)作業(yè)：習(xí)題：習(xí)題1.41.4：:6:6，9 9第34頁/共54頁顯然顯然 P(A|B)=P(A)這就是說這就是說,已知事件已知事件B發(fā)生發(fā)生,并不影響事件并不影響事件A發(fā)生的發(fā)生的概率概率,這時(shí)稱事件這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立獨(dú)立.1.5、事件的獨(dú)立性、事件的獨(dú)立性A=第二次擲出第二次擲出6點(diǎn)點(diǎn)， B=第一次擲出第一次擲出6點(diǎn)點(diǎn)，先看一個(gè)例子：先看一個(gè)例子：

21、將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)設(shè) 第35頁/共54頁定定 義義 設(shè) A , B 為兩事件，若)()()(BPAPABP則稱事件A與事件B 相互獨(dú)立 第36頁/共54頁注1. 兩事件 A 與 B 相互獨(dú)立是相互對稱的)()(, 0)(ABPBPAP則若)()(, 0)(BAPAPBP則注2.若( )0,( )0P AP B則“事件 A 與 事件 B 相互獨(dú)立”和 “事件 A 與 事件 B 互斥(互不相容)”不能同時(shí)成立注3.若第37頁/共54頁請問：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？請問：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？ AB即即 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A

22、與與B不獨(dú)不獨(dú)立立.反之，若反之，若A與與B獨(dú)立，且獨(dú)立，且P(A)0,P(B)0,則則A 、B不不互斥互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不獨(dú)立不獨(dú)立我們來計(jì)算：我們來計(jì)算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即第38頁/共54頁設(shè)設(shè)A、B為互斥事件，且為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：個(gè)結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)設(shè)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且為獨(dú)立事件，且P(A)0,

23、P(B)0,下面下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再請你做個(gè)小練習(xí)再請你做個(gè)小練習(xí).第39頁/共54頁兩事件相互獨(dú)立的性質(zhì)兩事件相互獨(dú)立的性質(zhì)試證其一獨(dú)立獨(dú)立BABA,事實(shí)上)()()()(BAPAPBAAPABP)()()(1)(BPAPBPAP)()()(BPAPAP性質(zhì)1. A, B獨(dú)立,A B,A B獨(dú)立,A B獨(dú)立獨(dú)立.第40頁/共54頁性質(zhì)2 . A、B兩個(gè)事件獨(dú)立，則)()(1)(BPAPBAP三事件三事件 A A, , B B, , C C 相互獨(dú)立相互獨(dú)立

24、, ,是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立：)()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(1)()()()(CPBPAPABCP(2)定義定義第41頁/共54頁注2)僅滿足(1)式時(shí),稱 A, B, C 兩兩獨(dú)立,也稱 A, B, C 為兩兩獨(dú)立的事件組.注1)三事件A, B, C 相互獨(dú)立,要求滿足(1)(2)式, 也稱 A, B, C 為相互獨(dú)立的事件組.注3) 關(guān)系式(1) (2)不能互相推出.A, B, C 相互獨(dú)立A, B, C 兩兩獨(dú)立 第42頁/共54頁 n 個(gè)事件 A1, A2, , An 相互獨(dú)立 是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立)()()()(2121nnAP

25、APAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(定義定義兩兩獨(dú)立的事件組未必是獨(dú)立的事件組。第43頁/共54頁獨(dú)立的性質(zhì)獨(dú)立的性質(zhì)性質(zhì)1. 若 n 個(gè)事件A1, A2, , An 相互獨(dú)立,iiA or A相互獨(dú)立,其中12,nAAAiA為性質(zhì)2.若 A1, A2, , An 相互獨(dú)立, 則11()1()nniiiiPAP A=-U第44頁/共54頁121()nP AAA )(121nAAAPniiAP1)(1121()()niniPAP AAA例例 已知事件 A, B, C 相互獨(dú)立,證明事件A與BC也相互獨(dú)立第45頁/共54頁證證()()()()()()()PBC APBCAP BCP A BC?=?)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP( ) ()P A P BC第46頁/共54頁00001. 0)( ,01. 0)( ,01. 0)(CPBPAP000000001. 0)(ABCP概率是多少？(這三種品質(zhì)相互獨(dú)立).解解 分別用A、B、C表示具