2021年高考文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(第二章第1節(jié))函數(shù)概念與基本初等函數(shù)講義

1、第 1 節(jié) 函數(shù)及其表示最新考綱1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表法、 解析法）表示函數(shù)；3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應(yīng)用（函數(shù)分段不超過三段 ）.知識(shí)梳理1 .函數(shù)的基本概念（1）函數(shù)的定義 給定兩個(gè)非空數(shù)集A和B,如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,對(duì)于集合A中的任何一個(gè) 數(shù)x,在集合B中都存在唯一的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫作定義在 集合A上的函數(shù)，記作f: A-B或y = f(x), xCA,此時(shí)x叫作自變量，集合A叫 作函數(shù)的定義域，集合f(x)|xC A叫作函數(shù)的值域.函數(shù)

2、的三要素是：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.(3)表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法和圖像法.2 .分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并一 值域是各段 值域的并集.微點(diǎn)提醒1 .函數(shù)是特殊的映射，是定義在非空數(shù)集上的映射.2 .直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù)y= f(x)的圖像有0個(gè)或1個(gè)交點(diǎn).基礎(chǔ)自測1 .判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“或"X”)(1)函數(shù)y=1與y=x0是同一個(gè)函數(shù).()(2)對(duì)于函數(shù)f: A-B,其值域是集合B.()(3)f(x)= 而三

3、十亞二x是一個(gè)函數(shù).()(4)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等 .()解析 錯(cuò)誤.函數(shù)y=1的定義域?yàn)镽,而y=x°的定義域?yàn)閤X*0,其定義域不同，故不是同一函數(shù).錯(cuò)誤值域C?B,不一定有C=B.錯(cuò)誤.f(x)= 也13 + yj2x中x不存在.(4)錯(cuò)誤.若兩個(gè)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則均對(duì)應(yīng)相同時(shí)，才是相等函數(shù).答案 (1)X (2)X (3)X (4)X2 .(必彳1P31練習(xí)2改編)若函數(shù)y= f(x)的定義域?yàn)镸 = x|-2<x<2,值域?yàn)镹= y|0& y< 2,則函數(shù)y= f(x)的圖像可能是()解析 A中函數(shù)定義域不是2, 2;

4、 C中圖像不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是0,2.答案 B3 .（必彳1P34習(xí)題2-2A1改編）下列函數(shù)中，與函數(shù)y= x+1是相等函數(shù)的是（）A.y= （4x+ 1）2B.y=VX3+1C.y 工 1D.y=0+1x解析 對(duì)于A,函數(shù)y=c/X7）2的定義域?yàn)閤X> 1,與函數(shù)y=x+1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于B,定義域和對(duì)應(yīng)法則分別對(duì)應(yīng)相同，是相等函數(shù)；x2對(duì)于C,函數(shù)y=+ 1的止義域?yàn)閤xw0,與函數(shù)y=x+ 1的止義域x R不同， x不是相等函數(shù)；對(duì)于D,定義域相同，但對(duì)應(yīng)法則不同，不是相等函數(shù) .答案 B4.(2019 延安期中)已知 f(x5)=lg x,則 f(2)

5、=()1111A.51g 2B.21g 5 C.31g 2D.21g 31解析令x5 = 2,則乂= 25,1 .f(2)=lg 25=焉 2. 5答案 A5.(2019河南、河北兩省重點(diǎn)高中聯(lián)考)函數(shù)f(x)=>/4 4x + ln(x+4)的定義域?yàn)? 40,解析 要使f(x)有意義，則解得4<x0 1.x+ 4>0,答案 (一4, 16.(2018宜春調(diào)研)已知函數(shù)f(x) = ax3 2x的圖像過點(diǎn)(一1, 4),則a=.解析 由題意知點(diǎn)(一1, 4)在函數(shù)f(x)=ax32x的圖像上，所以4= a+ 2,則a= 2.答案 2考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域【例11 (1)(20

6、19新余,K擬)函數(shù)y=/1-x2 +log2(tan x- 1)的定義域?yàn)?2)若函數(shù)y= f(x)的定義域是0, 2,則函數(shù)g(x) = f2x)的定義域?yàn)?x 1解析(1)要使函數(shù) y=yx2 +log2(tan x1)有意義，則 1 -x2>0, tan x-1>0,廠.且 xw k：t+ 2«C Z). - - 1 < x< 1 且4+ k：t <kTt+ 2, k Z ,可得4<x01. 九則函數(shù)的定義域?yàn)?, 1 .(2)因?yàn)閥 = f(x)的定義域?yàn)? , 2,0<2x< 2,所以要使g(x)有意義應(yīng)滿足解得0&

7、x<1.x 1 W0,所以g(x)的定義域是0, 1).，、冗答案(1)4, 1(2)0, 1)規(guī)律方法1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有 意義.2.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍, b,則復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域可由不等式 a&g(x)&b 求出.(2)若已知函數(shù)fg(x)的定義域?yàn)閍, b,則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x a, b上的值 域.【訓(xùn)練1】(1)(2019深圳,K擬)函數(shù)y=、x+2的

8、定義域?yàn)?)in xA.(-2, 1)B.-2, 1C.(0, 1)D.(0, 1(2)設(shè)函數(shù)f(x) = lg(1x),則函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)?)A.( 9, +oo)B.( 9, 1)C. 9, +oo)D.-9, 1)2x x+ 20,解析(1)要使函數(shù)有意義，則In xw 0,-2& x& 1,解得x>0 且 xW 1.函數(shù)的定義域是(0, 1).(2)易知 ff(x) =flg(1 x) = lg1 lg(1 x),1 -x>0,則解得9<x<1.1 1g (1x) >0,故ff(x)的定義域?yàn)?9, 1).答案(1)C (2)B考點(diǎn)

9、二求函數(shù)的解析式【例 2】(1)已知 f 2+1 =1g x,則 f(x) =;x已知 f(x)是二次函數(shù)且 f(0)=2, f(x+1)-f(x) = x-1,則 f(x) =;1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0, +8),且f(x) = 2f： Vx-1,則f(x) =x解析(1)令 t=2+ 1(t>1), M x=2,xt1f(t)=1g ,即 f(x) = 1g (x>1). t- 1x-1(2)設(shè) f(x) = ax1 o 321答案(1)1gxT1 (x>1) (2)2x2-2x+2 (3)亦+3 + bx + c(a w 0),由 f(0) = 2,得 c=2,

10、 f(x+ 1) f(x) = a(x+ 1)2+b(x+ 1) + 2 ax2bx2 = 2ax+ a+b = x 1,a=1.所以 即；f(x)=1x23x+2.a+b=T，b= 3.22在f(x) = 2f 1出1中, x3.1 1將x換成，則換成x, x x得 f x=2f(x)x1,f (x) = 2f x 被一1,由 11 解得 f(x) = 3&+ 3.f x =2f (x) x-1,規(guī)律方法求函數(shù)解析式的常用方法待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法.換元法：已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.(3)構(gòu)造法：已知關(guān)于f(x)與f

11、1或f(x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外 x一個(gè)等式，通過解方程組求出f(x).【訓(xùn)練2】(1)(2018成都才測)已知函數(shù)f(x)=ax b(a>0),且ff(x)=4x 3,則f(2) =.若 f(x)滿足 2f(x)+f( x) = 3x,則 f(x) =.解析 (1)易知 ff(x) = a(ax b) b=a2x ab-b,.二 a2x ab b = 4x 3(a>0),a2=4,a = 2,因此解得ab+b=3,b=1.所以 f(x) = 2x 1,則 f(2) = 3.(2)因?yàn)?2f(x) + f( x)=3x,所以將x用一x替換，得2f(x) + f(x)

12、= 一3x,由解得f(x) = 3x.答案(1)3 (2)3x多維探究考點(diǎn)三分段函數(shù) 角度1分段函數(shù)求值【例31 (2018江蘇卷)函數(shù)f(x)滿足f(x+ 4) = f(x)(xC R),且在區(qū)間( 2, 2xcos "2, 0<x<2,上，f(x)= 彳則ff(15)的值為1 x+2 , - 2<x< 0,解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x+4) = f(x)(xC R),所以函數(shù)f(x)的最小正周期是4.因xcos ，0<x< 2,為在區(qū)間(一2, 2上，f(x)=1x+2 , -2<x< 0, 1所以 f(15) = f(1) =

13、2,-1因此 ff(15)=f 2_5也=cos 4= -2".答案£角度2分段函數(shù)與方程、不等式問題【例3 2】(1)設(shè)函數(shù)f(x) =4,貝1 b=(3x b, x<1, x . 若f2x, x>1.A.17B.83C.41D.2(2017全國田卷)設(shè)函數(shù)f(x) =x+ 1, x< 0,乘x>0,則滿足1f(x) + f x-2 >1的x的取值范圍是.555解析 (1)f a=3Xab = 5 b, 662，.5 一 3 .右/ b<1,即 b>2時(shí),則 f f « f 弓一b =3 q b b=4, 622'

14、;解得b = 7,不合題意舍去.553 一 1若5b11,即 b<2,則 22-b = 4,解得 b=2.11.(2)當(dāng) x00 時(shí)，f(x) + f x 2=(x+1)+ x2+1 ,31原不等式化為2x+ 2>1，解得4<x00,一 1 一一 一 1V 1.當(dāng) 0<x02時(shí)，f(x)+f x-2 =2x+ x2+1 ,一 1原不等式化為2 +x+ 2>1,該不等式包成立，1,1 .1 V v 二當(dāng) x>2時(shí)，f(x)+f x-2=2x+2x2,11又 x>2時(shí)，2x+ 2x-2>22 + 20=1 +位>1 包成立，,、， 一一1綜上可

15、知，不等式的解集為4, +00 .1答案(1)D (2) 4, +0°規(guī)律方法1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值.首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間,其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式 分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值 范圍.提醒 當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類討論【訓(xùn)練3】(2019合肥,K擬)已知函數(shù)f(x) =1Cx+X2，x>2, x* 2+2, x<2,則 ff(1)=()1八A. 2B.2C.4D.11已知函數(shù)f(x) =的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

16、1 2a) x+ 3a, x<1, 2x1, x>1對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同.2 .函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質(zhì)和 圖像的基礎(chǔ).因此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先意識(shí).3 .函數(shù)解析式的幾種常用求法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、構(gòu)造解方程組法.4 .分段函數(shù)問題要用分類討論思想分段求解.易錯(cuò)防范1 .復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域也是解析式中x的范圍，不要和f(x)的定義域相混.2 .易混“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從A 到B的一個(gè)映射，A, B若不是數(shù)集，則這個(gè)映射便不是函數(shù).3 .分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個(gè)函數(shù)，求

17、分段函數(shù)的函數(shù)值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：35分鐘)一、選擇題1 .1.函數(shù)f(x) = 2x2 1 +的止義域?yàn)?)x 2A.0, 2)B.(2, +oo)C.0, 2)U(2, +oo)D.( 0°, 2)U(2, +32x1>0,x>0,解析由題意知得所以函數(shù)的定義域?yàn)?, 2)U(2, +oo).x 2W0,xw2,答案C2 .(2019關(guān)B州調(diào)研)如圖是張大爺晨練時(shí)離家距離(y)與行走時(shí)間(x)之間的函數(shù)關(guān)系的圖像.若用黑點(diǎn)表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是()解析 由 y 與 x 的關(guān)系知，在中間時(shí)間段y 值不

18、變，只有D 符合題意.答案 D3 .(2016全國II卷)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lg x的定義域和值域相同的是()A.y=xB.y= 1g x1C.y=2D.y=-x解析 函數(shù)y=101gx的定義域、值域均為(0, +8),而y=x, y=2x的定義域均1 為R,排除A, C; y=1g x的值域?yàn)镽,排除B; D中y=的止義域、值域均為 x(0, + °°).答案 D1 + 1og2 (2 x) , x<1,4.設(shè)函數(shù) f(x)= x1 d則 f(2) + f(1og2l2) = ()2, x> 1,A.3B.6C.9D.12解析 根據(jù)分

19、段函數(shù)的意義，f( 2)=1 +1og2(2 + 2)= 1+2=3.又10g212>1,.二 f(1og212) = 2(1og212) 1 = 210g26 = 6,因此 f( 2) + f(1og212) = 3 + 6 = 9.答案 C5 .(2019西安聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) = x2+4x, xm, 5的值域是5, 4,則實(shí)數(shù) m的取值范圍是()A.( 0°, 1)B.(T, 2C.-1, 2D.2, 5解析f(x) = x2+4x= (x 2)2+4.當(dāng) x= 2 時(shí)，f(2) = 4.由 f(x)= x2+4x= 5,得 x= 5或 x=1.要使f(x)在m,

20、5上的值域是5, 4,則一1&m& 2.答案 C6 .某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以 10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù) y與該班人數(shù)x 之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=x(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()xx+ 3A.y =10B.y=10x+ 4x+ 5C.y=10D.y=10解析代表人數(shù)與該班1數(shù)的關(guān)系是除以10的余數(shù)大于6,即大于等于7時(shí)要增, x , x + 3 加一名，故y=10答案 B-=() ax/x, 0<x<1, 什7 .設(shè) f(x)=若 f(a) = f(a+1),則 f2 (

21、x1) , x> 1,A.2B.4C.6D.8解析 由已知得 0<a<1,貝U f(a) = ya, f(a+1) = 2a,1所以,= 2a,解得a = 4或a = 0(舍去)，、一 1所以 f a =f(4) = 2(41)=6.答案 C則實(shí)數(shù)ax2 + x, x>0,8 .(2019 上饒質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)=若 af(a) f(a)>0,3x, x<0,的取值范圍為()A.(1, +8)b.(2, +oo)C.(-oo, - 1)U(1, +8)D.(-oo, 2)U(2, +8)解析當(dāng)a= 0時(shí)，顯然不成立.當(dāng) a>0 時(shí)，不等式 af(

22、a)-f(-a)>0 等價(jià)于 a22a>0,解得 a>2.當(dāng) a<0 時(shí)，不等式 af(a) f(a)>0 等價(jià)于一a2 2a<0,解得 a< 2.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為( 8, - 2) U (2, +oo).答案 D二、填空題9 .函數(shù)f(x) = ln 1 + 1 +吊1x2的定義域?yàn)?x解析要使函數(shù)f(x)有意義,1 + ->0,x< 1 或x>0,x貝u xw0,? XW0,? 0<x<1.1 _ x 0,所以 f f - =f(0)=1. > 0-1<x<1.f(x)的定義域?yàn)?0, 1

23、.答案(0, 11110.已知函數(shù) f(x)潴足 f I +-f(-x)=2x(x0),則 f( 2) =.x xI 1解析 令乂= 2,可得f 2 +f(2) = 4,.1 一,11令 x= 2,可得 f(-2)-2f 2 = 1 聯(lián)立解得f( 2) = 7.答案2II .下列四個(gè)結(jié)論中，正確的命題序號(hào)是 .1x11x>0,f(x)=U與g(x)=表不同一函數(shù)；x °_1, x<0,函數(shù)y=f(x)的圖像與直線x=1的交點(diǎn)最多有1個(gè)；f(x) = x22x+1 與 g(t) = t22t+ 1 是同一函數(shù)；1若 f(x) = |x1|一岡，則 f f 2 =0.xi斛析

24、 對(duì)于，由于函數(shù)f(x) = 四的止義域?yàn)閤kC R且xw。,而函數(shù)g(x) = x1, x> 0,的定義域是R,所以二者不是同一函數(shù)；對(duì)于，若x=1不是y=f(x)1, x<0定義域內(nèi)的值，則直線x= 1與y=f(x)的圖像沒有交點(diǎn)，若x= 1是y=f(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)的定義可知，直線x=1與y=f(x)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即y=f(x)的圖像與直線x=1最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于 ，f(x)與g的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均111分別對(duì)應(yīng)相同，所以f(x)與g(t)表不同一函數(shù)；對(duì)于，由于f 2 = 2- 1 2 =答案2x, x<0,12.設(shè)函數(shù)f(x) =|log2x|, x

25、>0,1一則使f(x) = 2的x的集合為解析由題意知，若x<0,則1右 x>0,則 110g2x|=2,解得 x=712=2，解得 x= 1 ；1一122或 x=2-3故x的集合為1,2,答案 1,也一，一113.具有性質(zhì)：f -xx, 0<x<1,0, x=1,1,x>1.x，能力提升題組(建議用時(shí)：15分鐘)=f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù).下列函數(shù):-1 -1 x -®y=x x；y=ln 1己；丫二其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是A.B.D.解析對(duì)于，f(x) = x1, f1 x xx 1 :lnx+ 1f(x),不滿足;1, 0<1<1, x' x ，對(duì)于0, 1=1, 'x '-x, x>1, x1 d一, x>1, x''1即 f x - 0, x= 1 ,-x, 0<x<1 ,則 f 1 = f(x). x所以滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是.答案 Bx+ 入 x<i (入e R),14.(2019河南八市聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)= x2x, x> 1,若對(duì)