八年級下數(shù)學(xué)《勾股定理》單元訓(xùn)練

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載名師點金：勾股定理專項訓(xùn)練專訓(xùn) 1. 巧用勾股定理求最短路徑的長求最短距離的問題， 第一種是通過運算比較解最短問題； 其次種是平面圖形 ，將分散的條件通過幾何變換 平移或軸對稱 進行集中 ， 然后借助勾股定懂得決；第三種是立體圖形 ，將立體圖形綻開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩 點間的距離 ，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程 距離 用運算法求平面中最短問題1如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人從a 走到 b，為了防止拐角 c走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了2 步為 1 m ，卻踩傷了花草 步路 假設(shè) 第 1 題 2小明聽說“武黃城際列車”

2、已經(jīng)開通，便設(shè)計了如下問題：如圖，以往從黃石 a 坐客車到武昌客運站 b，現(xiàn)在可以在黃石 a 坐“武黃城際列車”到武漢青山站 c，再從青山站 c坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站 b. 設(shè) ab80 km， bc20km， abc120°. 請你幫忙小明解決以下問題：(1) 求 a，c 之間的距離 參考數(shù)據(jù)214.6(2) 如客車的平均速度是60 km/ h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40 km/ h， “武黃城際列車”的平均速度為180 km/ h，為了在最短時間內(nèi)到達武昌客運站， 小明應(yīng)挑選哪種乘車方案？請說明理由 不計候車時間 第 2 題用平移法求平面中最短問題3如圖是一個三級臺階，它

3、的每一級的長、寬和高分別是50 cm，30 cm，10 cm，a 和 b 是這個臺階的兩個相對的端點， a 點上有一只壁虎，它想到 b 點去吃可口的食物，請你想一想，這只壁虎從 a 點動身，沿著臺階面爬到 b 點，至少需 爬 a13 cmb40 cmc130 cmd169 cm學(xué)習(xí)必備歡迎下載 第 3 題 第 4 題4如圖，已知 b c d e90°，且 ab cd3，bc 4， deef 2，就 af 的長是 用對稱法求平面中最短問題5如圖，在正方形abcd中， ab邊上有一點 e， ae3，eb 1，在 ac上有一點 p，使 ep bp最短，求 epbp的最短長度 第 5 題6高

4、速大路的同一側(cè)有a、b 兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速大路所在直線mn 的距離分別為 aa 2 km，bb 4 km，ab 8 km. 要在高速大路上a、b 之間建一個出口p，使 a、b 兩城鎮(zhèn)到 p 的距離之和最小求這個最短距離 第 6 題學(xué)習(xí)必備歡迎下載用綻開法求立體圖形中最短問題類型 1圓柱中的最短問題 第 7 題27如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為 2，ab， cd分別是兩底面的直徑如一只小蟲從 a 點動身， 沿圓柱側(cè)面爬行到c 點，就小蟲爬行的最短路線的長度是 結(jié)果保留根號 類型 2圓錐中的最短問題8已知：如圖，觀看圖形回答下面的問題：(1) 此圖形的名稱為 (2) 請你與同伴一起做一

5、個這樣的物體，并把它沿 as剪開， 鋪在桌面上， 就它的側(cè)面綻開圖是一個 (3) 假如點 c 是 sa的中點，在 a 處有一只蝸牛， 在 c處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿ac爬到 c 處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面綻開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4) sa 的長為 10，側(cè)面綻開圖的圓心角為90°，請你求出蝸牛爬行的最短 路程 第 8 題類型 3正方體中的最短問題9如圖，一個正方體木柜放在墻角處 與墻面和地面均沒有縫隙 ，有一只螞蟻從柜角 a 處沿著木柜表面爬到柜角c1 處(1) 請你在正方體木柜的表面綻開圖中畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；(2) 當(dāng)

6、正方體木柜的棱長為4 時，求螞蟻爬過的最短路徑的長學(xué)習(xí)必備歡迎下載 第 9 題類型 4長方體中的最短問題10如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是12 cm， 8 cm， 30 cm，在 ab的中點 c 處有一滴蜜糖， 一只小蟲從 e 處沿盒子表面爬到c處去吃，求小蟲爬行的最短路程 第 10 題名師點金：專訓(xùn) 2. 巧用勾股定懂得折疊問題折疊圖形的主要特點是折疊前后的兩個圖形圍著折線翻折能夠完全重合，解答折疊問題就是巧用軸對稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律利用勾股定懂得答折疊問題的一般步驟：1 運用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；2 在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長為x，將

7、此直角三角形的三邊長用數(shù)或含有x 的代數(shù)式表示出來； 3 利用勾股定理列方程求出x；(4) 進行相關(guān)運算解決問題巧用全等法求折疊中線段的長1中考·泰安如圖是始終角三角形紙片， a30°， bc4 cm，將其折疊，使點 c 落在斜邊上的點 c處，折痕為 bd，如圖，再將圖沿 de折疊， 使點 a 落在 dc的延長線上的點 a處，如圖，就折痕 de的長為 學(xué)習(xí)必備歡迎下載a. 83cmb23 cm 第 1 題c22 cmd3 cm巧用對稱法求折疊中圖形的面積2如下列圖，將長方形abcd沿直線 bd折疊，使點 c 落在點 c處， bc交 ad于 e，ad 8， ab4，求 bed

8、的面積 第 2 題巧用方程思想求折疊中線段的長3如圖，在邊長為6 的正方形 abcd中， e 是邊 cd的中點，將 ade沿 ae對折至 afe，延長 ef交 bc于點 g，連接 ag.(1) 求證： abg afg；(2) 求 bg的長 第 3 題巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4如圖，將長方形abcd沿直線 ef 折疊，使點c 與點 a 重合，折痕交ad于點 e，交 bc于點 f，連接 ce.(1) 求證： aeafce cf；學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2) 設(shè) aea，ed b，dcc，請寫出一個 a，b，c 三者之間的數(shù)量關(guān)系式 第 4 題名師點金：專訓(xùn) 3. 利用勾股定懂得題的7 種常見題型勾

9、股定理建立起了“數(shù)”與“形”的完善結(jié)合，應(yīng)用勾股定理可以解與直角三角形有關(guān)的運算問題 ，證明含有平方關(guān)系的幾何問題，作長為nn 為正整數(shù) 的線段 ，解決實際應(yīng)用問題及專訓(xùn)一、專訓(xùn)二中的最短問題、折疊問題等，在解決過程中往往利用勾股定理列方程 組 ，有時需要通過作幫助線來構(gòu)造直角三角形，化斜為直來解決問題利用勾股定理求線段長1如下列圖，在等腰直角三角形abc中， abc90°，點 d 為 ac邊的中點，過 d 點作 dedf，交 ab于 e，交 bc于 f，如 ae 4， fc3，求 ef 的長 第 1 題利用勾股定理作長為n的線段2已知線段 a，作長為13a 的線段時，只要分別以長為

10、和的線段為直角邊作直角三角形，就這個直角三角形的斜邊長就為13a.利用勾股定理證明線段相等3如圖，在四邊形 abfc中， abc90°， cdad，ad2 2ab2cd2 . 求證： abbc. 第 3 題 利用勾股定理證明線段之間的平方關(guān)系學(xué)習(xí)必備歡迎下載4如圖， c90°， am cm，mpab于點 p.求證： bp2 bc2 ap2. 第 4 題利用勾股定懂得非直角三角形問題5如圖，在 abc中， c60°， ab14， ac10. 求 bc的長 第 5 題利用勾股定懂得實際生活中的應(yīng)用6在某段限速大路bc上 大路視為直線 ，交通治理部門規(guī)定汽車的最高行50

11、駛速度不能超過60 km/ h 即 3m/ s ，并在離該大路100 m處設(shè)置了一個監(jiān)測點a. 在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點a 位于 y 軸上，測速路段bc在 x 軸上，點 b在點 a 的北偏西 60°方向上，點 c 在點 a 的北偏東 45°方向上另外一條大路在 y 軸上， ao為其中的一段(1) 求點 b 和點 c 的坐標(biāo)；(2) 一輛汽車從點 b 勻速行駛到點 c 所用的時間是 15 s，通過運算，判定該汽車在這段限速路上是否超速 參考數(shù)據(jù)：31.7 第 6 題學(xué)習(xí)必備歡迎下載利用勾股定理探究動點問題7如圖，在 rt abc中， acb90°， ab5 cm

12、， ac3 cm，動點 p 從點b 動身沿射線 bc以 1 cm/ s 的速度移動，設(shè)運動的時間為t 秒1求 bc邊的長；2當(dāng) abp為直角三角形時，借助圖求t的值；3當(dāng) abp為等腰三角形時，借助圖求t的值 第 7 題答案專訓(xùn) 1 14 第 2 題2解： 1 如圖，過點 c 作 ab的垂線，交 ab的延長線于點 e. abc120°， bce30°.在 rtcbe中， bc20 km，be10 km.由勾股定理可得 ce103 km.在 rtace中， ac2ae2ce2ab be2 ce28 100 3008 400 ，ac202120×4.6 92 km 8

13、0(2) 挑選乘“武黃城際列車”理由如下：乘客車需時間t 1h ，乘11 “武黃城際列車”需時間t92201h 603211804090學(xué)習(xí)必備歡迎下載111 >1，挑選乘“武黃城際列車”390 第 3 題2223c 點撥： 將臺階面綻開，連接 ab，如圖，線段 ab即為壁虎所爬的最短路線由于 bc30× 3 10×3120 cm ，ac 50 cm，在 rt abc中，依據(jù)勾股定理，得 abacbc16 900，所以 ab130 cm. 所以壁虎至少爬行 130 cm.4105解： 如圖，連接 bd交 ac于 o，連接 ed與 ac交于點 p，連接 bp. 第 5

14、題易知 bdac，且 bood， bp pd，就 bp eped，此時最短ae3，ad134，由勾股定理得ed2ae2 ad2 32 422552，edbp ep5.6解： 如圖，作點 b 關(guān)于 mn的對稱點 c，連接 ac交 mn于點 p，就點 p 即為所建的出口此時 a、b兩城鎮(zhèn)到出口 p 的距離之和最小，最短距離為 ac的長作adbb于點 d，在 rt adc中， adab 8 km，dc6 km.acad2dc2 10 km，這個最短距離為10 km. 第 6 題722點撥： 將圓柱體的側(cè)面沿ad剪開并鋪平得長方形aadd，連接ac，如圖線段 ac就是小蟲爬行的最短路線依據(jù)題意得ab2

15、×2×12. 2在 rt abc中，由勾股定理，得ac2 ab2bc2 22228， ac822.學(xué)習(xí)必備歡迎下載 第 7 題8解： 1 圓錐2 扇形(3) 把此立體圖形的側(cè)面綻開，如下列圖，ac為蝸牛爬行的最短路線 4 在 rtasc中，由勾股定理， 得 ac2 10252125， ac125 55.故蝸牛爬行的最短路程為55. 第 8 題 第 9 題 9解： 1 螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的ac 1 和 ac1.222 如圖， ac 14 （ 4 4） 45.ac221（44） 4 45. 所以螞蟻爬過的最短路徑的長是45.10 解： 分為三種情形：(1)

16、如圖，連接 ec，在 rtebc中， eb 12820 cm ， bc 由勾股定理，得 ec202 15225 cm (2) 如圖，連接 ec.130 15 cm ×2依據(jù)勾股定理同理可求ce673 cm>25 cm.(3) 如圖，連接 ec.22依據(jù)勾股定理同理可求ce12 （ 30815） 2 953 cm>25cm.綜上可知，小蟲爬行的最短路程是25 cm. 第 10 題學(xué)習(xí)必備歡迎下載專訓(xùn) 2 1a2解： 由題意易知 adbc， 2 3. bcd與 bcd關(guān)于直線 bd對稱， 1 2. 1 3. ebed.設(shè) ebx，就 edx，aead ed8x.在 rtabe

17、中， ab2ae2 be2，42 8 x 2 x2. x5.de5. s bed1de·ab 21×5×410. 2解題策略： 解決此題的關(guān)鍵是證得edeb，然后在 rt abe中，由 be2ab2 ae2，利用勾股定理列出方程即可求解31 證明： 在正方形 abcd中， ad ab， d b90°.將 ade沿 ae對折至 afe，adaf， deef， d afe90°.abaf， b afg90°.又 agag， rt abgrt afghl 2 解： abg afg， bgfg.設(shè) bgfg x，就 gc6x，e 為 cd的中

18、點，cede ef3，eg3x.在 rtceg中， 32 6 x 23 x 2，解得 x 2.bg2. 41 證明： 由題意知， afcf， aece， afe cfe，又四邊形abcd是長方形，故 adbc， aef cfe. afe aef.aeaf eccf.2 解： 由題意知， aeec a， edb，dc c，由 d90°知， ed2 dc2 ce2，即 b2c2 a2.學(xué)習(xí)必備歡迎下載專訓(xùn) 3 第 1 題1解： 如圖，連接 bd.等腰直角三角形abc中，點 d 為 ac邊的中點，bdac， bd平分 abc等腰三角形三線合一 ， abd cbd45°，又易知 c

19、45°， abd cbd c.bdcd.dedf， bdac， fdc bdf edb bdf. fdc edb.在 edb與 fdc中，ebd c，bd cd，edb fdc， edb fdcasa ，befc 3. ab 7，就 bc7. bf4.在 rtebf中， ef2be2 bf23242 25，ef5. 22a； 3a3證明： cd ad， adc90°，即 adc是直角三角形222由勾股定理，得 adcdac.又 ad22ab2 cd2，222adcd2ab.22ac2ab. abc90°， abc是直角三角形222由勾股定理，得 abbcac，ab

20、2bc2 2ab2，故 bc2 ab2，即 ab bc.方法總結(jié)： 當(dāng)已知條件中有線段的平方關(guān)系時，應(yīng)挑選用勾股定理證明， 應(yīng)學(xué)習(xí)必備歡迎下載用勾股定理證明兩條線段相等的一般步驟：找出圖中證明結(jié)論所要用到的直角三角形；依據(jù)勾股定理寫出三邊長的平方關(guān)系；聯(lián)系已知，等量代換，求之 即可 第 4 題4證明： 如圖，連接 bm.pmab， bmp和 amp均為直角三角形222222bppmbm，appmam.222同理可得 bccmbm.bp2pm2 bc2cm2 .又 cmam，cm2am2 ap2pm2 .bp2pm2 bc2ap2 pm2.222bpbcap. 第 5 題5思路導(dǎo)引： 過點 a

21、作 adbc于 d，圖中顯現(xiàn)兩個直角三角形rt acd和 rt abd，這兩個直角三角形有一條公共邊ad，借助這條公共邊可建立起兩個 直角三角形之間的聯(lián)系解： 如圖，過點 a 作 ad bc于點 d. adc90°. 又 c60°， cad90° c30°， cd1ac5. 2在 rtacd中， adac2cd2 102 5253.在 rtabd中， bdab2ad2 11.bcbd cd11 5 16.方法總結(jié)： 利用勾股定理求非直角三角形中線段的長的方法： 作三角形一邊上的高， 將其轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形， 然后利用勾股定理并結(jié)合條件， 采納推理或列方程的方法解決問題學(xué)習(xí)必備歡迎下載6思路導(dǎo)引：1 要求點 b和點 c的坐標(biāo)，只要分別